高二上學期期末復習-空間向量與立體幾何部分

111233334111233334a|2222μv|高二上學期期末復習-空間向量與立體幾何【】用1.線關(guān)證明設(shè)直線l的向向量為＝a，，)平面α，的法向量分別為＝(a，b，，v＝，，)則：(1)線面平行l(wèi)α?a⊥?μ＝0?a＋b＋c＝12(2)線面垂直lα?a∥?＝k?a＝，＝kb，c＝.11(3)面面平行αβ?∥v?μ＝v?a＝，＝，＝.22323(4)面面垂直αβ?⊥v?μv＝0a＋bb＋＝0.22夾角和離設(shè)直線lm的向向量分別為a＝(a，b，)，＝(a，，)．平面α，的法向量分別為μ＝(，，12c)，＝(a，，)(以下相同．(1)線線夾角π設(shè)l，m的角為≤≤)，a則cos＝＝

a＋b＋|121212＋b＋ca＋b＋c112

(2)線面夾角π設(shè)直線l與面夾角為θ≤≤)aμ則sinθ＝|cos〈，μ|.aμ(3)面面夾角設(shè)平面、的夾角為θ(0≤<，則θ＝

μv

＝〈，〉|.(4)距離問題①利用法向求點到面距離定理如圖，設(shè)n是平

的法向量，AB平面

的一條射線其中A

，/8

123222123222則點B到面的離為

|n|

.②.異面直線間距離

d

CDn

(

l

l

是兩異面直公垂向為n、D分別是l,l2

上任一點，為l

l

間的距離).【】向量基礎(chǔ)知識點、坐標及本運算空間向量的標空直角坐標的x軸是橫（對應(yīng)為橫坐標軸是縱（對應(yīng)為坐標軸豎（對應(yīng)為豎坐標.=(,a,),bb)，123a)，

,)()，2abb，133向量平行：,,a(123向量垂直：abb12

。bb123向量的模：

aa

2

2

2

特例：向量與向量之的轉(zhuǎn)化：

a2a空間兩個向的夾角公：

,b

ab13|a2b233空間兩點的離公式：d()yy)).2211、念（1）共線向量共線向量亦平行向量指空間向的有向線段所在直線互相平行或重.注：①若a與b共線，與c共線，則與c共線（×）[當時，成立/8

．．．．．．．．．．．．．．．．3．．．．．．．．．．．．．．．．3②向量a,,c共面它們所在直共面.（×）可能面③若a∥，則存在小一實數(shù)使a.（×）[與b不成立④若a為零向量，則

a

.（√）這里用(b之仍為向量]（2）共線向量理對空間任意個向量(b，a∥的充要條件存在實數(shù)具唯一性.（3）共面向量若向量之平于平面

或在

內(nèi)，則a與

的關(guān)系是平，記作a∥

.（4）證明四點面的常用法①共面向量理：如果個向量a不共線則向量P與向量a面的充要條件是存在實對、y使Pxayb.②空間任一O和不共線三點A、B，則

P

xOAzOC(xy

是PABC四共面的充要條件.（證：

y)OAyOBAPyABAC四共面）、理如果三個向a,,c

不共面么對空任一向量存在一個一的有序數(shù)組使xa.推論O不共面的點空間一點P都存在一的有序數(shù)組xOPxOAyOB(這里隱含x+y+z≠1).

注：設(shè)四面ABCD的三條棱，ABACAD其

1中Q是△BCD的重心，則向量AQ()AMMQ即.對空間任一O和不共線的三點AB、C，滿足OPxOAyOB

，

則四點PA、B、C是共

xy【】【】如圖，在直三棱柱ADE—BCF中，面和都正方形且互垂直，點的中點，點O為DF的點．運向量方法證明：/8

2→1→→→→→2→1→→→→→1112(1)OM∥平面；(2)平面MDF⊥平面EFCD證明方法一ADAE1A(0,0,0)(1CD(1,0,1)M0，.(1)(1,0,0)→→→→∴BA0,∴⊥∵ADEBCF→∴AB∴BCFOMBCF∴OMBCF.(2)MDFn(zn(x)111222∵(1DMCF1,1)

→DF0→1

yx1x1n，.11(0,1,1)2∵n0∴MDF⊥EFCD.1→→→→1→→1→方法二OMOFFBDFBA→→→1→1→1→→)BABDBF2222→→→1()BF2→1→BC.2/8

→→→→→→→→2→→→→→22→→→∴OMFOMBCF∴OM∥BCF.(2)→→→→→∵CDFC∴CDBCBFBA0FCBF·(BC)→→0.∴⊥OMFC∩∴⊥EFCD.OM?MDF∴MDF⊥EFCD思維升華

用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線∥b，只需證明向量＝(∈R即可．若用線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外．【】圖，在四棱錐－中已知PA⊥平面，且四邊形ABCD直角梯形，＝∠π＝，PA＝AD2，＝＝(1)求平面PAB與面所二面角的余弦值；(2)點Q是線段BP的動點，當直線CQ與DP所的角最小時，求線段長．解

→→→{ADAP}Axyz(1,0,0)D/8

λ222222λ222222→→(1)⊥PABADPABAD→→C(1,12)PD2)PCDm(→→PC0mPD

y1x1.PCD→→m→3AD|

→(2)P(1,0,2)→→Q(λ0,2λ≤≤→→→→CB(0C(λ1,2λ)→DP(02,2)→→→→CQDP2CQDP→→2||DP1λtt→→2t2DP≤tt520109→→310t，時|cosCQDPπyx0DP15BQBP.5思維升華

(1)運用空間向量坐標運算求空間的一般步驟：①立恰當?shù)目臻g直角坐標系；②求出相關(guān)點的坐標；③出向量坐標；④結(jié)公式進行論證、計算；⑤化為幾何結(jié)論．(2)空間角注意：①條異面直線所成的角不定是直線的方向向量的夾角βα＝|cos|.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補角．③直和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化．/8

AM|AM|存在探索性問題的基本特征是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對(數(shù)值圖函等)是否存在或某一結(jié)論是否成立決這類題的基本策略是先假設(shè)題中的數(shù)學對象存(或結(jié)論成立)或暫且認可其中的一部分結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出定結(jié)論．【】圖所示，四邊形是邊長為的方形，⊥面，NB平面ABCD，MD＝NB＝1E為BC的點．(1)求異面直線NE與AM所角余弦值；(2)在線段AN上是否存在點，使得ES⊥平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．解

(1)DM⊥DMDC⊥DDMzD(1,0,0)M(0,1,0)N(1,1,1)(1,0)→→(，1,0,1)NEθ→→|cosNEAM|→→AM210→→10×NEAM

(2)ANES⊥AE.→N→→S(0λ)∈→1(1,0)/8

2→→→1SEA(λ1λ)ES⊥AMN→→AMλ→→AN0