高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義-不等式地證明

實(shí)用文案§14等式的明不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競(jìng)賽和高考的熱門題.證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下：不等式的性質(zhì)：的依據(jù)

aa

這是不等式的定義，也是比較法對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：（）

（對(duì)稱性）（）

a

（加法保序性）（）

cbc;a,（）

b

n

bn

n

n

(nN*).對(duì)兩個(gè)以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性.（）

ba

（傳遞性）這放縮法的依.（）（）

cda,.（）

a0,d

a,.d含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：（）（）

ax(a0)

2a2a

ax（）

||

（三角不等式）（）

aaaa||12n證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等當(dāng)在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時(shí)，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而.此外，具體地證明一個(gè)不等式時(shí)，可能交替使用多種方.標(biāo)準(zhǔn)文檔

實(shí)用文案1．

,b,c

求證：

(a))()6abc.2a,c，求證a

a

b

b

c

a(33．a(chǎn),

求證

a

2

2b2c2bc.2cbbccaab4．設(shè)

a,a,2n

*

，且各不相同，求證：

111aa132322

.5．利用基本不等式證明

bc標(biāo)準(zhǔn)文檔

實(shí)用文案6．已知

b

求證：

a4

18

.7．利用排序不等式證明8．證明：對(duì)于任意正整數(shù)R，

(1

11))n.nn9．

為正整數(shù)，證明：

n)

1123n

n

.標(biāo)準(zhǔn)文檔

aa1.證：

實(shí)用文案ab()b)((

2

2

)(a

2

2

ac(

2

2

)()0

2(c)())()(評(píng)述）題所證不等式為對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變式解或配方時(shí)，往往采用輪換技.再證明

2ab時(shí)可將abcca)

配方為

12

[()

)

c)

]

，亦可利用

a

2

2

2abb

2

2

bc,

2

a

2

2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，是指數(shù)式，故嘗試用商較.不等式關(guān)于

a,c

對(duì)稱，不妨

ac,則a,b,

，且

ab,bc

，ac

都大于等于1.abc

a

c

a

c

c()

)

)

)

評(píng)述）明對(duì)稱不等式時(shí)，不妨假定n個(gè)母的大小順序，可方便解.（2）本題可作如下推廣：若

ai則i

aan

aa12

n

an

（）題還可用其他方法得證。因

abb

，同理

b

,c

a

a

，另

aacb

，式相即得證（）則lgalgblgc

例3等價(jià)于algabblga,

類似例4可證

algalgblgclgblgcaalgba.

事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理標(biāo)準(zhǔn)文檔

2.i．．2.i．．設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組序和）

實(shí)用文案aa,bb，ab1n2112n

（順ab1j2jn

j

（亂序和）abb1n

n1

（逆序和）其中

j,j,12

j

n

是1,2,

的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)

aa1

n

或

時(shí)等號(hào)成立排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形.如

a,,R

時(shí),

3b22

2b2c11a2acaabc3.思路分析：中間式子中每項(xiàng)均兩個(gè)式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證.不妨設(shè)

a則2

1111，則a222acab

（亂序和）

112（逆序和），同理222abb

（亂序和）

12ab

（逆序和）兩式相加再除以2，得原式中第一個(gè)不等再考慮數(shù)組

a333及

11ab

，仿上可證第二個(gè)不等式.4.分析：不等式右邊各項(xiàng)

1iai2i2

；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等設(shè)

b,1

,

是a,an1

,a

n

的重新排列，滿足

bb12

n

，又

1

1223n2所以a

aa2n232

bn

.由于

bbb1n

是互不相同的正整數(shù)，故

,b.n

從而b

bbb113n22222n

，原式得證評(píng)述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，

22a

aaabc.5.思分析：左邊三項(xiàng)直接用基不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的法標(biāo)準(zhǔn)文檔

12n23實(shí)用文案12n23a

2

2

,同理b

2

3

,c

2

a

2

2

；三式相加再除以2即得證.評(píng)述）用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技.2x2x如n，在不等式兩邊同時(shí)加上231再如證

)

3(bb2

,,0)

時(shí)，可連續(xù)使用基本不等式（本不等式有各種變式如

(

a)222

2

等但本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的如式左右兩邊次數(shù)均為，系數(shù)和為1.16.思路分析：不等式左邊是的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次8呢要證

a44

11,證44(a)488評(píng)述）本題方法具有一定的普遍如已知

xxx0,123i

求證：

x31

32x

11右側(cè)的可解為xx).33

再如已知

xxx0，證：xx12+

x1

，此處可以把0理解為

38

(x)23

，當(dāng)然本題另有簡(jiǎn)使證.（）本不等式實(shí)際上是均值不等式的特（一般地，對(duì)于個(gè)數(shù)aa,)1調(diào)和平均

Hn

a1幾何平均

n

n

aa12

n算術(shù)平均

An

1

n平方平均

a22

這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：HA

，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

aa12

n時(shí)成立7.證明:令bi

ain

,(i1,2,

則b2

，故可取

x,,01

，使得標(biāo)準(zhǔn)文檔

12nn12nnb1b,2

,bn

實(shí)用文案由排序不等式有：=

2x12nx21

（亂序和）111xn

（逆序和）=，aaaa2n,即1Gn

n

.n評(píng)述:對(duì)

11,,aaa

各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，G

.8.分析:原不等式等價(jià)于n

(1

1)n

故設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)的幾何平均，而右邊為其算術(shù)平均.

11n1))(1)))nnnnnn

評(píng)述:（1）利用均值不等式證明等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近類可證

(1

1))n.nn（）題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，但較.9.證明:先證左邊不等式[(1)

11(13

1)

n)

1nn

4n3

(*)標(biāo)準(zhǔn)文檔