2019-2020年北師大版數(shù)學(xué)選修1-2講義第3章§2 數(shù)學(xué)證明及答案

n2222222019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案n222222

數(shù)學(xué)證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解演繹推理的概念．重點(diǎn))

核心素養(yǎng)通過(guò)對(duì)演繹推理的理解2．掌握演推理的基本模式，并能用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單及應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)的推理．(重點(diǎn))3．能用“段論”證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題．(難點(diǎn))

學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).1．證明證明命題的依據(jù)：命題的條件和已知的定義、公理、定理．證明的方法：演繹推理．2．演繹理的主要形式演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：大前提：提供了一個(gè)一般性道理．小前提：研究對(duì)象的特殊情況．結(jié)論：根據(jù)大前提和小前提作出的判斷．[特別提醒]運(yùn)用三段論推理時(shí)省略大前提或小前提復(fù)雜的證明，也常把前一個(gè)三段論的結(jié)論作為下一個(gè)三段論的前提1．下面幾推理中是演繹推理的為()A．由金銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電B．猜想數(shù)列

11，，，…的通項(xiàng)公式為＝(N)1×2233×4n＋C．半徑為r圓的面積S＝r

2

，則單位圓的面積S＝D．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(－)＋(－b)＝r，推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(－a)

＋－b)

＋(－)

＝r

2C[AB歸納推理，D為類比推理，C為演繹推．]-18

2an12019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案2an12．下面幾推理過(guò)程是演繹推理的是()A．兩條線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠與∠B兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠＝180°B．某校高三(有55人班有54，(3)有52，由此得出高三所有班級(jí)中的人數(shù)都超過(guò)人C．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)1D．在數(shù)列{}，a＝1＝n1出a的通項(xiàng)公式n

1a＋，通過(guò)計(jì)算a，aa猜想－3nA

[A演繹推理，B，是歸納推理，是類比推理．3．函數(shù)＝2＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：_____________________________________________小前提：_____________________________________________結(jié)論：[答案]一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y＝2＋5一次函數(shù)函數(shù)y＝2＋5圖像是一條直線把演繹推理寫成三段論的形式【例1】

將下列演繹推理寫成三段論的形式．一切奇數(shù)都不能被2除，75能被整除，所以是奇數(shù)；三角形的內(nèi)角和為180°，RtABC的角和為；通項(xiàng)公式為a＝3n＋2(n2)的數(shù)列{a}等差數(shù)列．nn思路點(diǎn)撥：三段論推理是演繹推理的主要模式推理形式為“如果?，a?b則?.其中?c為大前提提供了已知的一般性原理?b小前提，提供了一個(gè)特殊情況；ac為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結(jié)果．[解]一切奇數(shù)都不能被整除．(大前提)75能被整除(前提)-28

n2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案n75奇數(shù)．(論)三角形的內(nèi)角和為180°.(前提)Rt△是三角形．(前提)Rt△的內(nèi)角和為180°.(論)數(shù)列{}果當(dāng)≥時(shí)

－a為同一常{nn1

n

}差數(shù)列大前提)通項(xiàng)公式＝32，n≥2，na

－a＝n2[3n1＋2]＝常數(shù))．(前提)nn通項(xiàng)公式為＝＋2(n≥2)數(shù)列{n

n

}差數(shù)列．(結(jié)論)把演繹推理寫成“三段論”的一般方法1．“三段論”寫推理過(guò)程時(shí)，鍵是明確大、前提，段論中大前提提供了一個(gè)一般性原理，小前提提供了一種特殊情況兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái)，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．2．尋找大前提時(shí)，保證推理的正確性，以尋找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．1．將下列繹推理寫成三段論的形式．平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分；等腰三角形的兩底角相等∠∠B是腰三角形的兩底角則∠A∠.[解]平行四邊形的對(duì)角線互相平分，(前提)菱形是平行四邊形，小前提)菱形的對(duì)角線互相平分．(論)等腰三角形的兩底角相等，(前提)-38

2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案∠A，∠B等腰三角形的兩底角，(小前提)∠A∠.(結(jié)論)演繹推理在幾何中的應(yīng)用【例2】如圖所示，D，EF分別是，CA邊上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A∥BA，求證＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理．思路點(diǎn)撥：用三段論的模式依次證明：DF，四邊形AEDF平行四邊形，DEAF[解]同位角相等，直線平行，(大前提)∠BFD∠是同位角，∠BFD∠，小前提)所以DF.(結(jié)論)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(前提)DE且DF∥EA，(前提)所以四邊形AEDF平行四邊形．結(jié)論)平行四邊形的對(duì)邊相等，(前提)DEAF平行四邊形對(duì)邊，(小前提)所以＝AF結(jié)論)“三段論”證題的步驟及一般原理1．“三段論”明命題的步驟理清楚證明命題的一般思路；找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；把每個(gè)結(jié)論的推出過(guò)程用“三段論”表示出來(lái)．2．何證明問(wèn)題中，一步都包含著一般性原理，可以分析出大前提和小-48

32019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案3前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論．2．證明：果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對(duì)角線必平分另一底上的兩個(gè)角．[解]已知在梯形中(圖所示)＝DCAD和它的對(duì)角線，證CA平分∠BCD，BD分∠CBA.證明：①等腰三角形的兩底角相等(前提)△DAC等腰三角形，DCDA，小前提)∠1∠2.(論)②兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等，(大前提)∠1∠3平行線，被所截的內(nèi)錯(cuò)角，(小前提)∠1∠3.(論)③等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等(前提)∠2，∠3等于∠1，小前提)∠2∠3等．(結(jié)論)即分∠BCD.④同理平分∠演繹推理在代數(shù)中的應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．繹推理的結(jié)論一定正確嗎？[提示]演繹推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍所以在演繹推理中只要前提和推理形式正確，其結(jié)論一定正確．12．為對(duì)數(shù)函數(shù)＝xa0a≠是增函數(shù)，而＝對(duì)數(shù)函數(shù)，-58

aa2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案aa所以ylog

13

x是增函數(shù)．上面的推理形式和結(jié)論正確嗎？[提示]推理形式正確，結(jié)論不正確．因?yàn)榇笄疤崾清e(cuò)誤的【例3】

b＋m已知a，b，m均為正實(shí)數(shù)，ba，用三段論形式證明：<.a＋m思路點(diǎn)撥：利用不等式的性質(zhì)證明[解]因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，等號(hào)不改變方向，(大前提)b<a，m>0，小前提)所以mb.(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁由弦粋€(gè)數(shù)不等號(hào)方向不變，(大前提)<，(小前提)所以mbabmaab，ama(b)(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁砸粋€(gè)正數(shù)不等號(hào)方向不變，(大前提)bama(b)，a)>0，小前提)所以

ba＋m，即<結(jié)論)aaa代數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的利用三段論證明的命題1．?dāng)?shù)問(wèn)題：比如函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、周期性和對(duì)稱性等．2．?dāng)?shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)，函數(shù)的極值和最值，明與函數(shù)有關(guān)的不等式等．3．角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4．列的通項(xiàng)公式遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì)．5．等式的證明-68

2b2019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及答案2ba＋b3．當(dāng)a，b為正實(shí)數(shù)時(shí)，求證：≥ab[解]因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)實(shí)數(shù)，(大前提)ab而－ab2

a2

－

實(shí)數(shù)的平，(前提)2所以

aba－ab非負(fù)實(shí)數(shù)，即－ab0.22所以

ab2

≥ab結(jié)論)1．演繹的提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中．在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系只要前提是真實(shí)的推理的形式是正確的那么結(jié)論也必定是正確的因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具．2．“三段”的常用格式可以解釋為大前提：M是P；解釋為中的元素都具有P性質(zhì)小前提：S是M；解釋為中的元素都是M中的元素)結(jié)論：S是P.(解釋為S中的元素都具有性質(zhì))3段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái)，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個(gè)命題——結(jié)論．三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個(gè)前提是否正確，推理形式即與M的包含關(guān)系)是否正確．1．判斷正“三段論”就是演繹推理．()演繹推理的結(jié)論是一定正確的．()演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()[答案]×

(2)×

×-78

22019-2020年師大版數(shù)學(xué)選修1-2講：第章§2數(shù)證明及22三論證明命題任何實(shí)數(shù)的平方大于0為a是實(shí)數(shù)以

2

>0”，你認(rèn)為這個(gè)推理()A．大前錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤

B．小前提錯(cuò)誤D．是正確的A

[這個(gè)三段論推理的大前提是“何實(shí)數(shù)的平方大于0”小前提是a實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a>0”．然結(jié)論錯(cuò)，原因是大前提錯(cuò)誤．]3．如圖所，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危訟B＝CD，＝AD.又因?yàn)椤鰽BC和△的三邊