2021屆北京市高三上學期期中考試數(shù)學試題(解析版)

北京一六一中學2020—2021學年度第一學期期中測試高三數(shù)學試題一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求．1.已知集合，，則集合可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】逐一驗證選項即可得出結果.【詳解】已知集合，.對于A選項，，則，不合乎題意；對于B選項，，則，不合乎題意；對于C選項，，則，合乎題意；對于D選項，，則，不合乎題意.故選：C.2.若拋物線的焦點為，點在此拋物線上且橫坐標為3，則等于（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】直接利用拋物線焦半徑公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：.故選：B.【點睛】本題考查了拋物線焦半徑公式，屬于簡單題.3.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).對于B選項，，函數(shù)為奇函數(shù)，當時，為遞增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖像關于原點對稱可知函數(shù)在時也是增函數(shù)，且，故函數(shù)在上為遞增函數(shù)，符合題意，B選項正確.對于C選項，函數(shù)的定義域為，函數(shù)在這個區(qū)間上沒有單調(diào)性，C選項不符合題意.對于D選項，由于函數(shù)定義域是，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意.綜上所述，本小題選B.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題.4.“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由得，即或可進行判斷.【詳解】由得，即或，所以能夠得到，但是不一定得到，“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.【點睛】結論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含5.圓心在直線上且與y軸相切于點的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)圓的標準方程得到圓心坐標，代入直線方程驗證是否滿足，再把點代入所給的選項驗證是否滿足，逐一排除可得答案.【詳解】A.圓心為，滿足，即圓心在直線，代入，即成立，正確；B.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯誤；C.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯誤；D.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯誤.故選：A.【點睛】本題考查圓的標準方程，圓與直線的位置關系，屬于基礎題.6.如圖中共頂點的橢圓①②與雙曲線③④的離心率分別為e1，e2，e3，e4，其大小關系為()A.e1<e2<e3<e4 B.e2<e1<e3<e4C.e1<e2<e4<e3 D.e2<e1<e4<e3【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)橢圓越扁離心率越大可得到0＜e1＜e2＜1根據(jù)雙曲線開口越大離心率越大得到1＜e4＜e3∴可得到e1＜e2＜e4＜e34,故選C．7.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把原命題轉化為由兩個零點，再數(shù)形結合分析得到的取值范圍.【詳解】令，所以.當時，在上單調(diào)遞增，則當時，，此時函數(shù)的圖象如圖:函數(shù)有兩個零點,即方程有兩個實數(shù)根.所以故選:C.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解8.以橢圓上任意一點與焦點所連接的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關系是（）A.內(nèi)切 B.相交 C.相離 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，分別是橢圓的左右焦點，點是橢圓上的任意一點，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，然后根據(jù)由三角形中位線定理可得出兩圓圓心的長，進而判斷出位置關系.【詳解】分別是橢圓的左右焦點，點是橢圓上的任意一點，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，由三角形中位線定理可得：，即兩圓的圓心距離等于兩圓的半徑之差，因此，以橢圓上任意一點與焦點所連線的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關系是內(nèi)切.故選：A.【點睛】兩圓的位置關系的判定方法：設兩個圓的半徑為R和r，圓心距為d，（1）d>R+r兩圓外離，（2）d=R+r兩圓外切；（3）d=R-r兩圓內(nèi)切，（4）d<R-r兩圓內(nèi)含，（5）R-r＜d<R+r兩圓相交9.某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物，（1）如不超過200元，則不予優(yōu)惠；（2）如超過200元但不超過500元，則全款按9折優(yōu)惠；（3）如超過500元，其中500元按9折給予優(yōu)惠，超過500元部分按8折給予優(yōu)惠.某人兩次去購物，分別付款168元和423元.若他只去一次購買同樣價值的商品，則應付款（）A.472.8元 B.510.4元 C.522.8元 D.560.4元【答案】D【解析】【分析】求出兩次購物的原價，根據(jù)優(yōu)惠活動計算應付款．【詳解】解：購物500元應付款元，設第二次購物的原價為，則，故，解得．故兩次購物原價為元．若一次購物638元，則應付款元．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)解析式與函數(shù)值的計算，屬于基礎題．10.某中學舉行了科學防疫知識競賽.經(jīng)過選拔，甲、乙、丙三位選手進入了最后角逐.他們還將進行四場知識競賽.規(guī)定：每場知識競賽前三名的得分依次為a，b，c（，且a，b，）；選手總分為各場得分之和.四場比賽后，已知甲最后得分為16分，乙和丙最后得分都為8分，且乙只有一場比賽獲得了第一名，則下列說法正確的是（）A.每場比賽的第一名得分a為4B.甲至少有一場比賽獲得第二名C.乙在四場比賽中沒有獲得過第二名D.丙至少有一場比賽獲得第三名【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四場比賽總得分，結合a，b，c滿足的條件，可求出a，b，c，再根據(jù)已知的得分情況，確定甲、乙、丙的得分情況，問題即可解決.【詳解】∵甲最后得分16分，∴，接下來以乙為主要研究對象，①若乙得分名次為：1場第一名，3場第二名，則，則，而，則，又，，此時不合題意；②若乙得分名次為：1場第一名，2場第二名，1場第三名，則，則，由，且a，b，可知，此時沒有符合該不等式的解，不合題意；③若乙得分名次為：1場第一名，1場第二名，2場第三名，則，則，由，且a，b，可知，此時沒有符合該不等式的解，不合題意；④若乙得分名次為：1場第一名，3場第三名，則，此時顯然，，則甲的得分情況為3場第一名，1場第三名，共分，乙的得分情況為1場第一名，3場第三名，共分，丙的得分情況為4場第二名，則，即，此時符合題意.綜上分析可知，乙在四場比賽中沒有獲得過第二名.故選：C.【點睛】本題考查了學生的邏輯推理能力和閱讀理解能力，屬于中檔題.二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.如圖所示，在復平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都為1,點A,B對應的復數(shù)分別是，則_______.【答案】【解析】由題意，根據(jù)復數(shù)的表示可知，所以．12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且焦距大于4，則雙曲線的標準方程可以為______．（寫出一個即可）【答案】（滿足或即可）.【解析】【分析】由題意結合雙曲線的漸近線可設雙曲線的標準方程為，按照、討論，結合雙曲線的焦距分別求得的取值范圍即可得解.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，設雙曲線的標準方程為，當時，該雙曲線的焦距為即，解得；當時，該雙曲線的焦距為即，解得；雙曲線的標準方程為或，令可得雙曲線的標準方程為.故答案為：（滿足或即可）.【點睛】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應用，考查了運算求解能力，關鍵是對于雙曲線相關概念的熟練應用，屬于基礎題.13.若關于的不等式在區(qū)間上有解,則實數(shù)的取值范圍為_________【答案】【解析】【分析】用分離參數(shù)法得出不等式m＞﹣x在x∈[1，2]上成立，根據(jù)函數(shù)f（x）=﹣x在x∈[1，2]上的單調(diào)性，即可求出a的取值范圍．【詳解】關于x的不等式x2+mx+2＞0在區(qū)間[1，2]上有解，∴mx＞-2﹣x2在x∈[1，2]上有解，即m＞﹣x在x∈[1，2]上有解；設函數(shù)f（x）=﹣x，x∈[1，2]，∴f′（x）=﹣1==0的根x=∴f（x）在[1，]上是單調(diào)遞增，在[，2]上是單調(diào)遞減.∴x=，f（x）=f（）=-2f（1）=-3，f（）=-3且f（x）的值域為（-3，-2]，要m＞﹣x在x∈[1，2]上有解，則m＞﹣3，故答案為：（﹣3，+∞）．【點睛】本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了函數(shù)的圖象的單調(diào)性與性質(zhì)的應用問題，是綜合性題.14.如圖，已知正方形的邊長為6，平行于軸，頂點和分別在函數(shù)，和的圖像上，則實數(shù)的值為__________．【答案】【解析】由于頂點，和分別在函數(shù)，和()的圖象上，設，由于平行于軸，則，有，解得，又，則.【點睛】由于正方形三個頂點在對數(shù)函數(shù)圖像上，且平行于軸，則軸，因此可以巧設出三點的坐標，利用兩點縱坐標相等，橫坐標之差的絕對值為邊長2，以及兩點橫坐標相等，縱坐標之差的絕對值為邊長2，解答出本題.15.已知點，若曲線上存在兩點，，使為正三角形，則稱為型曲線．給定下列三條曲線：①；②；③．其中，是型曲線的有__________．【答案】①③【解析】對于①，到直線的距離為，若直線上存在兩點，，使為為正三角形，則，以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，所以①是．

對于②，化為，圖形是第二象限內(nèi)的四分之一圓弧，此時連接點與圓弧和兩坐標軸交點構成的三角形頂角最小為，所以②不是．

對于③，根據(jù)對稱性，若上存在兩點存在兩點，，使為正三角形，則兩點連線的斜率為1，設，所在直線方程為，由題意知到直線距離為直線被所截弦長的倍，列方程解得，所以曲線③是T型線．

故答案為①③．【點睛】本題是新定義問題，解題的關鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問題轉化為代數(shù)方法解決，同時需要注意的是每條曲線的范圍．三、解答題：共6小題，共85分．解答題寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知是等比數(shù)列，，．數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）首項求出，然后求出，然后可得；（2）分別算出數(shù)列、的前項和即可.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得．所以．設等差數(shù)列的公差為，由題意得．所以．從而．（2）由（1）知．數(shù)列的前項和為；數(shù)列的前項和為．所以，數(shù)列的前項和為．17.已知函數(shù)，，且的最小正周期為.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知可得，且由，得，解三角方程并注意，取相應范圍的根；（Ⅱ）將變形為，利用復合函數(shù)的單調(diào)性，只需，解不等式并表示成區(qū)間的形式，即得單調(diào)遞增區(qū)間.試題解析：（Ⅰ）解：因為最小正周期為，所以，解得．由，得，即，所以，.因為，所以.（Ⅱ）解：函數(shù)，由，解得．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.考點：1、三角方程；2、兩角和與差的三角函數(shù)；3、三角函數(shù)的單調(diào)性.18.某中學有初中學生1800人，高中學生1200人，為了解學生本學期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）寫出的值；試估計該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)；

（2）從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，并用表示其中初中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）,870人（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率頻率直方圖的性質(zhì)，可求得的值；由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時間不小于30小時的學生的頻率及人數(shù)，求和；

（2）分別求得，初高中生中閱讀時間不足10個小時的學生人數(shù)，寫出的取值及概率，寫出分布列和數(shù)學期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得，，解得；由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.因為初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為，所以所有的初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生約有人，同理，高中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為，學生人數(shù)約有人.所以該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)約有450+420=870人.（2）初中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為，樣本人數(shù)為人.同理，高中生中，閱讀時間不足10個小時的學生樣本人數(shù)為人.故X的可能取值為1，2，3.則，，.123所以的分布列為：所以.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，分布列和期望求法，考查計算能力，屬于中檔題.19.已知，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）當時，判斷與交點的個數(shù).（只需寫出結論，不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】試題分析：（1）求出的導數(shù)，計算，，求出，的值即可；（2）求出的導數(shù)，得到導函數(shù)的單調(diào)性，得到在遞增，從而求出的最大值；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可得與有兩個交點.試題解析：（1），由已知可得，，解之得．（2）令．則,故當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；所以，故在單調(diào)遞增，所以．（3）當時，與有兩個交點.20.如圖，已知橢圓:，直線:交橢圓于兩點．過左焦點且斜率為（）的直線交橢圓于兩點，線段的中點為．（1）求橢圓的離心率及實軸長；（2）若點在直線上，試求的關系式；（3）在（2）的前提下，是否存在實數(shù),使得的面積是面積的6倍？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；4；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由題意可知,，可得答案；（2）設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求出P點坐標，代入直線方程化簡可得答案；（3）知點A到直線CD的距離與點B到直線CD的距離相等，的面積是面積的6倍，?BCP的面積是?ACP面積的3倍，推得P為OA中點，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結合根與系數(shù)關系求得P坐標，由P的坐標相等列式求得k的值.【詳解】（1）由題意可知,所以，于是，實軸長2a=4.（2）設，，，即，所以，，，，于是，又因為點在直線上，所以.化簡得關系式：.（3）若的面積是面積的6倍，則?BCP的面積是?ACP面積的3倍，又因為點C到直線AB的距離與點D到直線AB的距離相等，則|BP|=3|AP|，因為|OB|=|OA|，于是P為OA中點，設點A的坐標為，則，因為，解得.于是，解得，所以.【點睛】本題主要橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線方程聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求具備較強的運算推理的能力，是難題.21.已知數(shù)列的首項其中，，令集合.（1）若，寫出集合中的所有的元素；（2）若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項構成等比數(shù)列，求的所有可能取值構成的集合；（3）求證：.【答案】（1）4，5，6，2，3，1；（2）{,}；（3）證明見解析.【解析