鄭君里《信號與系統(tǒng)》

本課的主要參考書1、教材：信號與系統(tǒng)鄭君里楊為理應啟珩編2、信號與系統(tǒng)Signals&SystemsALANV.OPPENHEIMALANS.WILLSKY清華大學出版社（英文影印版）（中譯本）劉樹棠西安交通大學出版社3、信號與系統(tǒng)例題分析及習題樂正友楊為理應啟珩編4、信號與系統(tǒng)習題集西北工業(yè)大學目前一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點本課的主要內(nèi)容第一章緒論信號與系統(tǒng)的概念、分類、分析方法第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析第三章離散時間系統(tǒng)的時域分析第四章拉氏變換（S域分析）第五章付里葉變換（頻域分析、相關、能量譜和功率譜（第六章的部分內(nèi)容）第六章Z變換（Z域分析、序列的付里葉變換）第七章（付里葉變換應用于通信系統(tǒng)-濾波、調(diào)制與抽樣）第八章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析目前二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

第一章

緒論目前三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點第一節(jié)

信號與系統(tǒng)目前四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點一、信號信息通過信號表現(xiàn)，信號蘊含著信息的具體內(nèi)容。即：信號廣泛地出現(xiàn)在各個領域中，以各種各樣的表現(xiàn)形式攜帶著特定的消息。古戰(zhàn)場：以擊鼓鳴金傳達前進或撤退命令近代：廣泛應用于力、熱、聲、光、電等方面。1.信號的概念目前五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點人們尋求各種方法，以實現(xiàn)信號的傳輸。（1）古代用烽火傳送疆警報，這是最原始的光通信系統(tǒng)。（2）利用擊鼓鳴金報送時刻或傳達命令，這是最早的聲信號的傳輸。（3）19世紀初，人們開始研究利用電信號傳送消息。1837年莫爾斯（F.B.Morse)發(fā)明了電報，采用點、劃、空組合的代碼表示字母和數(shù)字，這種代碼稱為莫爾斯電碼。1876年貝爾(A.G.Bell)發(fā)明了電話，直接將聲信號（語音）轉變?yōu)殡娦盘栄貙Ь€傳送。2.信號的傳輸目前六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（４）１９世紀末，人們研究用電磁波傳送無線電信號。赫茲（Ｈ.Hertz）波波夫、馬可尼等作出貢獻。1901年馬可尼成功地實現(xiàn)了橫渡大西洋的無線電通信。（5）光纖通信從此，傳輸電信號的通信方式得到廣泛應用和迅速發(fā)展。如今：（１）衛(wèi)星通信技術為基礎“全球定位系統(tǒng)（GlobalPositioningSystem,縮寫為GPS）用無線電信號的傳輸，測定地球表面和周圍空間任意目標的位置，其精度可達數(shù)十米之內(nèi)。（２）個人通信技術：無論任何人在任何時候和任何地方都能夠和世界上其他人進行通信。（３）“全球通信網(wǎng)”是信息網(wǎng)絡技術的發(fā)展必然趨勢。目前的綜合業(yè)務數(shù)字網(wǎng)（IntegratedServicesDigitalNetwork,縮寫為ISDN),Internet或稱因特網(wǎng)，以及其他各種信息網(wǎng)絡技術為全球通信網(wǎng)奠定了基礎。目前七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

現(xiàn)代通信的通信方式不是任意兩點之間信號的直接傳輸，而是要利用某些集中轉接設施組成復雜的信息網(wǎng)絡，即經(jīng)“交換”的功能以實現(xiàn)任意兩點之間的傳輸。3.信號的交換目前八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點對信號進行某種加工或變換。其目的是：削弱信號中的多余內(nèi)容；濾除混雜的噪聲和干擾；或者將信號變換成容易分析與識別的形式，便于估計和選擇它的特征參量。信號處理的應用已遍及許多科學技術領域。（1）從月球探測器發(fā)來的電視信號可能被淹沒在噪聲之中，可利用信號處理技術予以增強，在地球上得到清晰的圖像。（2）石油勘探、地震測量以及核試驗監(jiān)測中所得數(shù)據(jù)的分析都依賴于信號處理技術的應用。（3）心電圖、腦電圖分析、語音識別與合成、圖像數(shù)據(jù)壓縮、工業(yè)生產(chǎn)自動控制以及經(jīng)濟形勢預測（股票分析）等各領域廣泛應用。4.信號的處理目前九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點它們之間相互密切聯(lián)系（可認為交換是屬于傳輸?shù)慕M成部分），又各自形成了相對獨立的學科體系。它們共同的理論基礎之一是研究信號的基本性能（進行信號分析），包括信號的描述、分解、變換、檢測、特征提取以及為適應指定要求而進行信號設計。5.信號傳輸、信號交換和信號處理關系目前十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點二、系統(tǒng)系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。通常，利用通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)和計算機系統(tǒng)進行信號的傳輸、交換與處理。實際上，往往需要將多種系統(tǒng)共同組成一個綜合性的復雜整體。如宇宙航行系統(tǒng)。1.系統(tǒng)的概念目前十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點通常，組成通信、控制和計算機系統(tǒng)的主要部件中包括大量的多種類型的電路。稱之。2.電路或電網(wǎng)絡或網(wǎng)絡目前十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點研究系統(tǒng)所關心的問題是：對于給定信號形式與傳輸、處理的要求，系統(tǒng)能否與其相匹配，它應具有怎樣的功能和特性。3.系統(tǒng)的研究內(nèi)容目前十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點離開了信號，電路與系統(tǒng)將失去意義。信號作為待傳輸消息的表現(xiàn)形式，可以看作運載消息的工具。電路或系統(tǒng)則是為傳送信號或對信號進行加工處理而構成的某種組合。研究電路問題著眼在于：為實現(xiàn)系統(tǒng)功能與特性應具有怎樣的結構和參數(shù)。有時認為系統(tǒng)是比電路更復雜、規(guī)模更大的組合體。確切地說：系統(tǒng)與電路二詞的主要差異在于：觀察事物的著眼點或處理問題的角度方面。系統(tǒng)問題注意全局，而電路問題則關心局部。4.信號、電路（網(wǎng)絡）與系統(tǒng)的關系目前十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點在電路分析中，注意研究其各支路、回路的電流或電壓；而從系統(tǒng)的觀點來看，可以研究它如何構成具有微分或積分功能的運算器。由于大規(guī)模集成化技術的發(fā)展，系統(tǒng)、網(wǎng)絡、電路及器件這些名詞劃分發(fā)生了困難，它們互相滲透，需要統(tǒng)一分析、研究和處理。在本書中三個名詞通用。目前十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點系統(tǒng)可分為物理系統(tǒng)與非物理系統(tǒng)，人工系統(tǒng)以及自然系統(tǒng)。物理系統(tǒng)：包括通信系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、機械系統(tǒng)等；非物理系統(tǒng)：政治結構、經(jīng)濟組織、生產(chǎn)管理等；人工系統(tǒng)：計算機網(wǎng)、交通運輸網(wǎng)、水利灌溉網(wǎng)以及交響樂隊等；自然系統(tǒng)：小至原子核，大如太陽系，可以是無生命的，也可是有生命的（如動物的神經(jīng)網(wǎng)絡）。5.系統(tǒng)的分類目前十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點在系統(tǒng)或網(wǎng)絡理論研究中，進行系統(tǒng)分析與系統(tǒng)綜合（網(wǎng)絡分析與網(wǎng)絡綜合）兩方面。系統(tǒng)分析：研究在給定系統(tǒng)的條件下，系統(tǒng)對于輸入激勵信號所產(chǎn)生的輸出響應。系統(tǒng)綜合：按某種需要先提出對于給定激勵的響應，而后根據(jù)此要求設計（綜合）系統(tǒng)。分析與綜合二者關系密切，但又有各自的體系和研究方法，一般講，學習分析是學習綜合的基礎。本書討論范圍：著重系統(tǒng)分析，以通信系統(tǒng)和控制系統(tǒng)的基本問題為主要背景，研究信號經(jīng)系統(tǒng)傳輸或處理的一般規(guī)律；著重基本概念和基本分析方法。6.系統(tǒng)的研究問題方法目前十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點第二節(jié)

信號的描述、分類和典型示例目前十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點1.信號的描述信號一般可表示為一個或多個變量的函數(shù)。即描述信號的基本方法是寫出它的數(shù)學表達式。所以通常把信號與函數(shù)兩名詞通用。目前十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點2.信號的分類確定信號，周期信號確定信號，非周期信號（1）（2）本課程著重討論確定信號（周期與非周期）分析。目前二十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（3）連續(xù)信號離散信號目前二十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點信號可以表示為一個或多個變量的函數(shù)。語音信號可表示為聲壓隨時間變化的函數(shù)，這是一維信號。一張黑白圖像每個點（像素）具有不同的光強度，任一點又是二維平面坐標中兩個變量的函數(shù)，這是二維信號。實際上，還可能出現(xiàn)更多維數(shù)變量的信號。如電磁波在三維空間傳播，如再考慮時間變量就構成四維信號。還可將信號分為能量受限信號與功率受限信號；調(diào)制信號、載波信號和已調(diào)信號等。（4）一維信號與多維信號目前二十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點3.典型的連續(xù)時間信號信號將隨時間而增長信號將隨時間而衰減；信號不隨時間而變化，為直流信號指數(shù)信號的時間常數(shù)，越大，指數(shù)信號增長或衰減的速率越慢。目前二十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（對時間的微、積分仍是同頻率正弦）K為振幅w為角頻率為初相角正弦信號是周期信號，其周期T與角頻率w和頻率f滿足下列關系式：（2）正弦信號：衰減的正弦信號目前二十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點實部、虛部都為正（余）弦信號，指數(shù)因子實部表征實部與虛部的正、余弦信號的振幅隨時間變化的情況，表示信號隨角頻率變化的情況。目前二十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點-p

0

p

t

Sa(t)具有以下性質(zhì)：與Sa(t)函數(shù)類似的有sinc(t)函數(shù)：此時t與Sa(t)中差一，兩符號通用。目前二十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

（高斯函數(shù)）

0

t

f(t)

E

0.78E

鐘形信號在隨機信號分析中占有重要地位。目前二十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點作業(yè)一P37，1-1，1-2，1-3目前二十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點第三節(jié)

連續(xù)時間信號的運算目前二十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點信號的運算分類在信號的傳輸與處理過程中需要進行信號的運算，它可分為：1.信號的相加2.信號的相乘3.信號的反褶（折）4.信號的移位5.信號的尺度變換（壓縮與擴展）（倍乘）6.信號的微分7.信號的積分目前三十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點1.兩信號的相加例子：

0

t

f5(t)

1

0

t

f6(t)

1

t

-1

f7(t)

1

目前三十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點2.兩信號的相乘

0

t

f5(t)

1

0

t

f6(t)

1

t

-1

f8(t)

1

例子：目前三十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點時間軸反轉3.信號的反折目前三十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點左移:

在雷達、聲納以及地震信號檢測等問題中容易找到信號移位現(xiàn)象的實例。如在通信系統(tǒng)中，長距離傳輸電話信號中，可能聽到回波，這是幅度衰減的話音延時信號。4.信號的移位

目前三十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點例子：壓縮，此磁帶以二倍速度加快播放的結果。問題：？5.信號的尺度變換目前三十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點例子已知信號f(t)的波形如圖，求f(-2t+1)的波形。解：圖形變換的過程為：先反折、尺度變換、時移。（1）反折（2）尺度變換（3）時移目前三十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點作業(yè)P381-4，1-5，1-6目前三十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點6.信號的微分若f(t)是一幅黑白圖像信號，那么經(jīng)微分運算后將其圖形的邊緣輪廓突出。微分運算例子：目前三十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點7.信號的積分信號經(jīng)積分運算后其效果與微分相反，信號的突變部分可變得平滑，利用這一作用可削弱信號中混入的毛刺（噪聲）的影響。例子：積分運算目前三十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點第四節(jié)

階躍信號與

沖激信號目前四十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點奇異信號（奇異函數(shù)）信號與系統(tǒng)分析中，常遇到函數(shù)本身有不連續(xù)點（跳變點）或其導數(shù)與積分有不連續(xù)點的情況，這類函數(shù)稱為奇異函數(shù)或奇異信號。通常將實際信號按某種條件理想化，即可運用理想模型進行分析。奇異信號分類：（1）斜變信號（2）階躍信號（最重要）（3）沖激信號（最重要）（4）沖激偶信號目前四十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點1.斜變信號斜變信號也稱斜升信號。它是從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號。如果增長的變化率是1，就稱為單位斜變信號。如果將起始點移至t0,則可寫成(1)單位斜變信號目前四十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點(2)截平的斜變信號在時間以后斜變波形被切平，如圖所示信號波形。目前四十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點(3)三角形脈沖信號三角形脈沖信號也可用斜變信號表示。目前四十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點2.單位階躍信號單位階躍信號的波形如圖所示，通常以符號u(t)表示。在跳變點t=0處，函數(shù)值未定義，或在t=0處規(guī)定函數(shù)值單位階躍函數(shù)的物理背景：在t=0(或t0)時刻對某一電路接入單位電源（直流電壓源或直流電流源），并且無限持續(xù)下去。例子：單位階躍信號延時的單位階躍信號(1)單位階躍信號目前四十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點(2)矩形脈沖信號矩形脈沖信號可用階躍及其延時信號之差表示。下標T表示矩形脈沖出現(xiàn)在0到T時刻之間。如果矩形脈沖對于縱坐標左右對稱，則可用GT(t)表示。下標T表示其矩形脈沖寬度。目前四十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點(３)描述各種信號的接入的接入特性階躍信號鮮明地表現(xiàn)信號的單邊特性。即信號在某接入時刻t0以前的幅度為零。例子：目前四十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點(４)符號函數(shù)（signum)簡寫作sgn(t),可用階躍信號表示。與階躍函數(shù)類似，對于符號函數(shù)在跳變點也可不予定義，或規(guī)定sgn(0)=0.顯然，階躍信號來表示符號函數(shù)目前四十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點某些物理現(xiàn)象需要用一個時間極短，但取值極大的函數(shù)模型來描述。例如：力學中瞬間作用的沖擊力，電學中的雷擊電閃，數(shù)字通信中的抽樣脈沖……等等。沖激函數(shù)可有不同的定義方式：（１）由矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)。（２）由三角形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)。（３）還可利用指數(shù)函數(shù)、鐘形函數(shù)、抽樣函數(shù)、狄拉克(Dirac)函數(shù)等單位沖激函數(shù)：記作(t),又稱為“函數(shù)”。３.單位沖激信號沖激函數(shù)的表示：用箭頭表示。表明，(t)只在t=0點有一“沖激”，在t=0點以外各處，函數(shù)值都是零。目前四十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點寬度為，高為1/的矩形脈沖，當保持矩形脈沖面積＝１不變，而使脈寬趨近于零時，脈沖幅度1/必趨于無窮大，此極限情況即為單位沖激函數(shù)。（１）矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)目前五十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點一組底寬為２，高為1/的三角形脈沖，若保持其面積＝１不變，而使趨近于零時，幅度1/必趨于無窮大，此極限情況即為單位沖激函數(shù)。（２）三角形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)目前五十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（３）雙邊指數(shù)脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)目前五十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（４）鐘形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)目前五十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（５）Sa(t)信號（抽樣信號）演變?yōu)闆_激函數(shù)K越大，函數(shù)的振幅越大，且離開原點時函數(shù)振蕩越快，衰減越迅速。曲線下的凈面積保持１。當k時，得到?jīng)_激函數(shù)。

目前五十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（６）狄拉克（Dirac)給出函數(shù)定義也稱函數(shù)為狄拉克(Dirac)函數(shù)。描述在任一點t=t0處出現(xiàn)的沖激，可定義(t-t0)函數(shù)：目前五十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（７）函數(shù)性質(zhì)單位沖激信號(t)與一個在t=0點連續(xù)（且處處有界）的信號f(t)相乘，則其乘積僅在t=0處得到f(0)(t),其余各點之乘積均為零。

對于延遲t0的單位沖激信號有（a)抽樣特性（篩選特性）目前五十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點證畢。證明：（b)(t)是偶函數(shù)目前五十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點可知：（c)沖激函數(shù)的積分是階躍函數(shù)反之：階躍函數(shù)的微分應等沖激函數(shù)積分微分目前五十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點證明：（d)沖激函數(shù)的尺度變換目前五十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（e)(t)沖激函數(shù)的復合函數(shù)的性質(zhì)（見書77頁）例子：化簡解：有二個實根，分別位于t1=-a和t2=a,則有目前六十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點電流ic(t)為：例子從物理方面理解函數(shù)的意義。電路圖如下：電壓源vc(t)接向電容元件Ｃ，假定vc(t)是斜變信號。目前六十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點如果0的極限情況，則vc(t)成為階躍信號，它的微分——電流ic(t)是沖激函數(shù)其表達式為：00目前六十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點結論若要在無限短時間內(nèi)使電容兩端建立一定的電壓，那么必須在無限短時間內(nèi)提供足夠的電荷，所以，需要一個沖激電流，或者說，由于沖激電流的出現(xiàn)，允許電容兩端電壓跳變。根據(jù)網(wǎng)絡對偶理論，可將此應用于理想電感模型。由于沖激電壓的出現(xiàn)，允許電感電流跳變。目前六十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點沖激函數(shù)的微分（階躍函數(shù)的二階導數(shù)）：將呈現(xiàn)正、負極性的一對沖激，稱為沖激偶信號，以’(t)表示。4.沖激偶信號目前六十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

現(xiàn)以三角形脈沖系列為例，波形如下：三角形脈沖s(t)其底寬為2，高度為1/，當0時，s(t)成為單位沖激函數(shù)(t)。（1）沖激偶信號推導利用規(guī)則函數(shù)系列取極限的概念引出’(t)。求導求導0的極限0的極限目前六十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點證明：（2）沖激偶信號性質(zhì)1對于延遲t0的沖激偶’(t-t0),同樣有此處f’(t)在0點連續(xù)，f’(0)為f(t)導數(shù)在零點的取值。目前六十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（3）沖激偶信號性質(zhì)2（見書79頁）普通函數(shù)f(t)與沖激偶相乘普通函數(shù)f(t)與沖激偶相卷積目前六十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（4）沖激偶信號性質(zhì)3沖激偶信號的另一個性質(zhì)是：它所包含的面積等于零。這是因為正、負兩個沖激的面積相互抵消了。目前六十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（5）沖激偶信號性質(zhì)4（見書79頁）沖激偶的時間尺度變換目前六十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點舉例1.1

如圖所示波形f(t)，求y(t)=df(t)/dt解：求導目前七十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點舉例1.2

解1：解2：目前七十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點作業(yè)P38,1-7,1-8,1-9,1-10,1-111-12,1-13,1-14,1-15,1-16目前七十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點第五節(jié)信號的分解目前七十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點信號的分解

研究信號的傳輸與信號處理的問題，需要將一些信號分解為比較簡單的（基本的）信號分量之和。猶如：力學中將任一方向的力分解為幾個分力一樣。

信號從不同角度分解；直流分量與交流分量偶分量與奇分量脈沖分量實部分量與虛部分量正交函數(shù)分量利用分形理論描述信號目前七十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點1.直流分量與交流分量fA(t)其中fD為直流分量,即信號的平均值；為交流分量,即去掉信號的平均值。直流分量fD與交流分量fA(t):-1

0

1

t

-1

1

如：時間函數(shù)f(t)為電流信號，則時間間隔T內(nèi)流過單位電阻所產(chǎn)生的平均功率等于：直流功率交流功率信號的功率=直流功率+交流功率目前七十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

-1

0

1

t

-1f(t)

1

-1

0

1

t

-1

1

-1

0

1

t

-1

1

信號的平均功率=偶分量功率+奇分量功率2.偶分量與奇分量偶分量與奇分量：目前七十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點一個信號可近似分解為許多脈沖分量之和。（1）一種分解為矩形窄脈沖分量：3.脈沖分量0（2）另一分解為階躍信號分量之疊加。（不做介紹）目前七十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點4.實部分量與虛部分量對于瞬時值為復數(shù)的信號f(t)可分解為實、虛部兩個部分之和。它的共軛復函數(shù)為：其實部為：其復數(shù)信號的模為：雖然實際信號都為實信號，但它常用于表示正、余弦信號，在通信系統(tǒng)、網(wǎng)絡理論、數(shù)字信號處理等方面，復信號的應用日益廣泛。其虛部為：目前七十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點5.正交函數(shù)分量用正交函數(shù)集來表示一個信號，組成信號的各分量就是相互正交的。即：正交函數(shù)分量：由正交函數(shù)集表示目前七十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點6.利用分形理論描述信號分形（fractal)幾何理論：簡稱分形理論或分數(shù)維理論。分形理論創(chuàng)始人：B.B.Mandelbrot在20世紀80年代中期提出。分形概念：是部分與整體有相似性的體系，是一類“組成部分與整體相似的形態(tài)”。Sierpinski三角形集合目前八十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（1）是簡單空間中出現(xiàn)的復雜幾何體，它具有任意小尺度下的細節(jié)，或說有精細的結構。（2）它不能用傳統(tǒng)的幾何語言描述，不是滿足某些約束點集的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。（3）分形集可以具有形態(tài)、功能、信息等方面自相似性。它可以是嚴格確定的，也可以是統(tǒng)計意義上的。（4）分形問題大多可由不復雜的方法定義、通過迭代、變換產(chǎn)生。分形結構特點：目前八十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點自然界中的許多事物都表現(xiàn)出局部與整體具有自相似性的分形特征：（2）山地的輪廓（3）海岸線的分布（4）流體的湍流自然界中事物的分形特征：（1）云彩的邊界（5）粒子的布朗運動軌道（6）生物的形態(tài)分形幾何被稱為更接近大自然的數(shù)學。目前八十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點分形理論廣泛應用于生物學、化學、物理學、天文學、地球物理學、材料科學、經(jīng)濟學以及語言和情報學等領域。（1）圖像數(shù)據(jù)壓縮（2）語音合成分形理論的應用在信號傳輸與信號處理領域應用分形技術的實例：（3）地震信號或石油探井信號分析（5）通信網(wǎng)業(yè)務流量描述其共同特點是有一定的相似性，借助分形理論可提取信號特征，并利用一定的數(shù)學迭代方法簡化信號的描述，或自動生成某些具有自相似特征的信號。分形理論具有獨特風格和進一步應用的潛力。（4）聲納或雷達信號檢測目前八十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點作業(yè)P40，1-17，1-18目前八十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

第六節(jié)系統(tǒng)模型及其分類目前八十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

一、建模

科學的每一分支都要建立一套自己的“模型”理論。在此模型基礎上運用數(shù)學工具進行研究。建模工作僅是進行系統(tǒng)分析的第一步。

所謂模型：是系統(tǒng)物理特性的數(shù)學抽象，以數(shù)學表達式或具有理想特性的符號組合圖形來表征系統(tǒng)特性。

系統(tǒng)建模需要一定條件。對于同一物理系統(tǒng)，在不同條件下，可得到不同形式的近似的數(shù)學模型。從另一方面講，對于不同物理系統(tǒng)，經(jīng)過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數(shù)學模型。即，同一數(shù)學模型可以描述物理外貌截然不同的系統(tǒng)。

系統(tǒng)分析中，同樣需要建立系統(tǒng)的模型。它可分為數(shù)學模型和框圖模型。目前八十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點二、系統(tǒng)分析的數(shù)學模型

對于復雜的系統(tǒng)，根據(jù)其數(shù)學模型分為兩大類：具體可分為：（1）連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)（2）即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)（3）集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)（4）線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)（5）時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)（6）可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)（8）穩(wěn)定系統(tǒng)與非穩(wěn)定系統(tǒng)（7）因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)目前八十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點連續(xù)時間系統(tǒng)：若系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號，且其內(nèi)部也未轉換為離散時間信號，則稱之。（1）連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)如：RLC電路為連續(xù)時間系統(tǒng)。而數(shù)字計算機為一典型離散時間系統(tǒng)。實際上離散時間系統(tǒng)經(jīng)常與連續(xù)時間系統(tǒng)組合，稱為混合系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程，而離散時間系統(tǒng)則用差分方程描述。目前八十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

例子

R、L、C串聯(lián)回路，若激勵信號是電壓源e(t)，求解電流i(t)。解：建立數(shù)學模型：為獨立條件目前八十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點

即時系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸出信號只決定于同時刻的激勵信號，與它過去的工作狀態(tài)（歷史）無關，則稱之。（2）即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)；如果系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關，稱之。例子：只由電阻元件組成的系統(tǒng)就是即時系統(tǒng)。凡是包含有記憶作用的元件（如電容、電感、磁芯等）或記憶電路（如寄存器）的系統(tǒng)屬動態(tài)系統(tǒng)。即時系統(tǒng)用代數(shù)方程描述。動態(tài)系統(tǒng)用微分方程或差分方程描述。目前九十頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（3）集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)：只由集總參數(shù)元件組成的系統(tǒng)稱之。分布參數(shù)系統(tǒng)：含有分布參數(shù)元件的系統(tǒng)稱之。集總參數(shù)系統(tǒng)用常微分方程描述，分布參數(shù)系統(tǒng)用偏微分方程描述。這時描述系統(tǒng)的獨立變量不僅是時間變量，還要考慮空間位置。例子含傳輸線、波導等分布參數(shù)的系統(tǒng)為分布參數(shù)系統(tǒng)。目前九十一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（4）線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)：具有疊加性與均勻性（也稱齊次性，homogeneity)的系統(tǒng)稱之。疊加性：指當幾個激勵信號同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出響應等于每個激勵單獨作用所產(chǎn)生的響應之和。均勻性：當輸入信號乘以某常數(shù)時，響應也倍乘相同的常數(shù)。非線性系統(tǒng)：不具有疊加性與均勻性的系統(tǒng)稱之。目前九十二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（5）時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)時變系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的參數(shù)隨時間而變化，則稱之時不變系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化，則稱之。（或非時變系統(tǒng)，定常系統(tǒng)）在系統(tǒng)分析中，常遇到線性時不變系統(tǒng)、線性時變系統(tǒng)、非線性時不變系統(tǒng)、非線性時變系統(tǒng)。例子R、L、C都是線性時不變元件，組成一個線性時不變系統(tǒng)，其數(shù)學模型為常系數(shù)微分方程。目前九十三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點（6）可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)可逆系統(tǒng)：若系統(tǒng)在不同的激勵信號作用下產(chǎn)生不同的響應，則稱之。對于每個可逆系統(tǒng)都存在一個“逆系統(tǒng)”，當原系統(tǒng)與此逆系統(tǒng)聯(lián)組合后，輸出信號與輸入信號相同。例子：輸出r1(t)與輸入e1(t)具有如下約束的系統(tǒng)是可逆的：r1(t)=5e1(t)此可逆系統(tǒng)輸出r2(t)與輸入e1(t)滿足如下關系：r2(t)=e1(t)/5不可逆系統(tǒng)：r3(t)=e23(t)，無法根據(jù)輸出r3(t)決定輸入e3(t)的正、負號。即不同激勵信號產(chǎn)生了相同的響應，因而是不可逆的。此概念在信號傳輸與處理技術中應用廣泛。如傳輸信號中對信號的編、解碼需要可逆的，對信號加密、解密需可逆的。目前九十四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點三、系統(tǒng)條件

初始條件：系統(tǒng)原來的儲能情況。即先前激勵（或擾動）作用的后果。

為了求得給定激勵條件下系統(tǒng)的響應，還應當知道激勵接入瞬時系統(tǒng)內(nèi)部的能量儲存情況。（即初始條件、起始條件）

起始條件：系統(tǒng)激勵接入瞬時系統(tǒng)的狀態(tài)。目前九十五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點四、系統(tǒng)的框圖模型

每個方框圖反映某種數(shù)學運算功能，給出該方框圖輸出與輸入信號的約束條件，若干個方框圖組成一個完整的系統(tǒng)。

借助方框圖（blockdiagram)表示系統(tǒng)模型。

例子：

對于線性微分方程描述的系統(tǒng)，它的基本單元是相加、倍乘（標量乘法運算）和積分（或微分）。相加aa倍乘積分目前九十六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點舉例1.3

已知高階微積分方程，求出系統(tǒng)的輸入輸出系統(tǒng)框圖。解：目前九十七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點第七節(jié)線性時不變系統(tǒng)目前九十八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點LTI系統(tǒng)的特性在確定性輸入信號作用下的集總參數(shù)線性時不變系統(tǒng)（Lineartime-invariant,縮寫為LTI系統(tǒng)。本章著重討論：LTI系統(tǒng)其基本特性：（1）疊加性與均勻性（2）時不變特性（3）微分特性（4）因果特性目前九十九頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點1、疊加性與均勻性若起始狀態(tài)非零，必須將外加激勵信號與起始狀態(tài)的作用分別處理才能滿足疊加性與均勻性。給定系統(tǒng)分別代表兩對激勵與響應系統(tǒng)系統(tǒng)合并系統(tǒng)由常系數(shù)線性微分方程描述LTI系統(tǒng)。如果起始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)滿足疊加性與均勻性。目前一百頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點2、時不變特性此特性表明：當激勵延遲一段時間t0時，其輸出響應也同樣延遲t0時間，波形形狀不變。系統(tǒng)對于時不變系統(tǒng)，若激勵為產(chǎn)生響應當激勵為產(chǎn)生響應系統(tǒng)延遲系統(tǒng)系統(tǒng)目前一百零一頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點3、微分特性系統(tǒng)對于時不變系統(tǒng)滿足微分特性，若激勵為產(chǎn)生響應當激勵為產(chǎn)生響應系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)目前一百零二頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點4、因果性因果系統(tǒng)：是指系統(tǒng)在t0時刻的響應只與t=t0和t<t0時刻輸入有關，否則，即為非因果系統(tǒng)。此為因果系統(tǒng)。例子：系統(tǒng)模型若為；因果性（Causality)：激勵是產(chǎn)生響應的原因，響應是激勵引起的后果。系統(tǒng)模型若為；此為非因果系統(tǒng)。常把t=0接入系統(tǒng)的信號（在t<0時函數(shù)值為零）稱為因果信號。在因果信號的激勵下，響應也為因果信號。由電阻器、電感線圈、電容器構成的實際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。利用后一時刻的輸入來決定前一時刻的輸出（如信號的壓縮、擴展、求統(tǒng)計平均值等），構成的非因果系統(tǒng)。信號自變量不是時間（如靜止圖像），研究系統(tǒng)因果性就不重要。目前一百零三頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點作業(yè)P40，1-19，1-20，1-21，1-22，1-23目前一百零四頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點第八節(jié)系統(tǒng)分析方法目前一百零五頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點一、LTI系統(tǒng)分析重要意義在系統(tǒng)分析中LTI系統(tǒng)的分析具有重要意義。因為實際應用經(jīng)常遇到LTI系統(tǒng)。且一些非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)在限定范圍與指定條件下，遵從線性時不變特性的規(guī)律；另一方面，LTI系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)形成了完整的、嚴密的體系，日趨完善和成熟。目前一百零六頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點二、LTI系統(tǒng)分析方法在建模方面，從系統(tǒng)的數(shù)學描述方法可分為兩大類：1.輸入——輸出描述法；2.狀態(tài)變量描述法從系統(tǒng)數(shù)學模型的求解方法來講，可分為：1.時域法（時間域方法）2.變換域法（頻域、拉氏域、Z域）目前一百零七頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點1.輸入——輸出描述法輸入——輸出描述法著眼于系統(tǒng)激勵與響應之間的關系，并不關心系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況。對于在通信系統(tǒng)中大量遇到的單輸入——單輸出系統(tǒng)，應用這種方法較方便。2.狀態(tài)變量描述法狀態(tài)變量描述法：其不僅可以給出系統(tǒng)的響應，還可提供系統(tǒng)內(nèi)部各變量的情況，也便于多輸入——多輸出系統(tǒng)的分析。在近代控制系統(tǒng)的理論研究中，廣泛采用狀態(tài)變量方法。目前一百零八頁\總數(shù)一百一十八頁\編于六點3.時間域方法時間域方法：直接分析時間變量的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時間響應特性，或稱時域特性。在信號與系統(tǒng)研究的發(fā)展過程中，曾一度認為時域方法運算煩瑣、不夠方便，隨著計算技術與各種算法工具的出現(xiàn)，時域分析又重新受到重視。時域法的優(yōu)點：物理概念清楚。時域法分析法有：經(jīng)典法、算子法、卷積法、及借助計算機利用數(shù)值方法求解微分方程（如歐拉