精選方向向量和法向量講義

（優(yōu)選）方向向量與法向量目前一頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點lAP１．直線的方向向量直線ｌ的向量式方程換句話說,直線上的非零向量叫做直線的方向向量一、方向向量與法向量目前二頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點1．直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線

的向量．平行或共線目前三頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點例1:已知長方體ABCD—A’B’C’D’的棱長AB=2,AD=4,AA’=3.建系如圖,求下列直線的一個方向向量:(1)AA’;(2)B’C;(3)A’C;(4)DB’.A’B’C’D’ABCD解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A’(4,0,0),B’(4,2,0),C’(0,2,0),D’(0,0,0).目前四頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前五頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前六頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前七頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點例2:已知所有棱長為的正三棱錐A-BCD,試建立空間直角坐標系,確定各棱所在直線的方向向量.ABCDEFxyz(O)解:建系如圖,則B(0,0,0)、目前八頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點BEFxyz(O)目前九頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點2、平面的法向量AlP平面α的向量式方程換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量目前十頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點

2．平面的法向量直線l⊥α，取直線l的

a，則a叫做平面α的法向量.

方向向量目前十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標為___________平面OABC的一個法向量坐標為___________平面AB1C的一個法向量坐標為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)目前十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點如何刻畫平面的方向？二、平面的法向量：例3：長方體中，求下列平面的一個法向量：（1）平面ABCD;(2)平面ACC’A’;(3)平面ACD’.xyzABCDA’B’C’D’234目前十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點xyzABCDA’B’C’D’234目前十四頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點xyzABCDA’B’C’D’234目前十五頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前十六頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前十七頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前十八頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前十九頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點求平面向量的法向量

目前二十四頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十五頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十六頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十七頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十八頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點目前二十九頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.用向量方法解決立體問題目前三十頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點二、立體幾何中的向量方法——證明平行與垂直目前三十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點ml（一）.平行關(guān)系：目前三十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點α目前三十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點αβ目前三十四頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點（二）、垂直關(guān)系：lm目前三十五頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點lABC目前三十六頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點αβ目前三十七頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點四、平行關(guān)系：目前三十八頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點五、垂直關(guān)系：目前三十九頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點例1

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點，DF:FB=CG:GP=1:2

.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG證：如圖所示,建立空間直角坐標系.//幾何法呢？目前四十頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點例3四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，(1)求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG法1幾何法目前四十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點ABCDPEXYZG法2：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點G,連結(jié)EG目前四十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點ABCDPEXYZ法3：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1(1)證明：設(shè)平面EDB的法向量為目前四十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點XYZABCDPE法4：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1(1)證明：解得x＝－２,ｙ＝１目前四十四頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點，求證：D1F例2

正方體中，E、F分別平面ADE.

證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，所以目前四十五頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點A1xD1B1ADBCC1yzEF目前四十六頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點,E是AA1中點，例3

正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長為2,建立如圖所示坐標系平面C1BD的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個法向量是平面C1BD.

平面EBDxyz目前四十七頁\總數(shù)四十八頁\編于十七點期中22．如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是