豎直平面內的圓周運動與臨界問題

問題1：繩拉球模型

長為r的細繩拴著質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動。

oALv1Bv2試分析：（1）當小球在最低點A的速度為v1時，繩的拉力與速度的關系如何？（2）當小球在最高點B的速度為v2時，繩的拉力與速度的關系又如何？目前一頁\總數三十三頁\編于十六點v1omgF1可見：小球速度V越大，繩的拉力越大

最低點：得目前二頁\總數三十三頁\編于十六點o思考：小球過最高點的最小速度是多少?

最高點：v2小球剛好能過最高點F2mg（1）臨界條件:當F2=0時，恰好由重力提供向心力即（臨界速度）速度V越大，繩的拉力越大最小速度：（2）當v<，小球不能通過最高點（3）當v≥

，小球能夠通過最高點目前三頁\總數三十三頁\編于十六點在“水流星”表演中，杯子在豎直平面做圓周運動，在最高點時，杯口朝下，但杯中水卻不會流下來，為什么？對杯中水：mgFNFN=0水恰好不流出表演“水流星”，要保證最高點杯中水不流下來，速度必須滿足：實例一：水流星目前四頁\總數三十三頁\編于十六點思考：過山車為什么在最高點也不會掉下來？實例二：過山車目前五頁\總數三十三頁\編于十六點

要保證過山車在最高點不掉下來，此時的速度必須滿足：FNmg目前六頁\總數三十三頁\編于十六點問題2：小球沿豎直圓軌內側運動

有一豎直放置、內壁光滑圓環(huán)，其半徑為r，質量為m的小球沿它的內表面做圓周運動，分析小球在最高點A的速度應滿足什么條件？A思考：小球過最高點的最小速度是多少?小球剛好能夠通過最高點mgFN（1）臨界條件:當FN=0時，（臨界速度）最小速度：（3）當v≥

，小球能夠通過最高點。（2）當v＜，小球不能通過最高點目前七頁\總數三十三頁\編于十六點問題3：桿球模型：長為r的輕桿一端固定著一質量為m的小球，使小球在豎直平面內做圓周運動。

試分析：（1）當小球在最低點A的速度為v2時，桿的受力與速度的關系怎樣？（2）當小球在最高點B的速度為v1時，桿的受力與速度的關系怎樣？AB目前八頁\總數三十三頁\編于十六點v1o可見:球速度越大，桿的拉力越大問題3：桿球模型：AB最低點：(拉力)mgF1目前九頁\總數三十三頁\編于十六點F3mgF2v2o思考:在最高點時，⑴最小速度是多少？⑵臨界速度是多少？⑶何時桿表現為拉力？⑷何時表現為支持力？⑸過最高點的條件是什么？問題2：桿球模型：AB最高點：目前十頁\總數三十三頁\編于十六點F3mgF2v2o問題2：桿球模型：AB最高點：(1)最小速度：V=0,mg=F3（二力平衡）(2)臨界速度：F=0時,恰好由重力提供向心力(3)當0＜v＜，桿對球有向上的支持力(4)當v＞

，桿對球有向下的拉力(5)過最高點的條件：v≥v0當V＞V0時，速度越大，拉力越大當V＜V0時，速度越大，支持力越小，當V=V0時，拉力F=0目前十一頁\總數三十三頁\編于十六點問題4：小球在豎直圓管內的運動如圖，有一內壁光滑、豎直放置的管型軌道，其半徑為R，管內有一質量為m的小球有做圓周運動，小球的直徑剛好略小于管的內徑。問：（1）小球運動到最高點時，速度與受力的關系如何？（2）小球運動到最低點時，速度與受力的關系又是如何？目前十二頁\總數三十三頁\編于十六點V2mgF1V1F2F3最高點:;

最低點：思考：小球在最高點的最小速度可以是多少？最小速度v=0，此時mg=F3mg目前十三頁\總數三十三頁\編于十六點最高點:;

V2mgF1V1F2F3mg思考：(2)什么時候內外管壁對小球都沒有壓力？(3)什么時候外管壁對小球有壓力?(4)什么時候內管壁對小球有支持力?(1)在最高點時，小球的最小速度是多少？（5）小球過最高點的條件是什么？目前十四頁\總數三十三頁\編于十六點最高點：(1)最小速度：V=0,mg=F3（二力平衡）(2)臨界速度：F=0時,恰好由重力提供向心力(3)當0＜v＜，內管壁對球有向上的支持力(4)當v＞

，外管壁對球有向下的壓力(5)過最高點的條件：v≥0V2mgF1V1F2F3mg目前十五頁\總數三十三頁\編于十六點;

mgO外軌道v1omgF1oF2mgmgFNmgFNmgO繩如圖所示，繩子系小球在豎直平面內運動和小球在光滑圓形軌道的內側做圓周運動時小球的受力情況等效，故視為同一模型細繩模型：目前十六頁\總數三十三頁\編于十六點;

V2mgF1V1F2F3mgF3mgF2v2oBv1oAmgF1mgON輕桿mgON圓管如圖所示，小球與輕桿相連或小球在光滑圓管內做圓周運動，其受力效果與輕桿模型相同輕桿模型：目前十七頁\總數三十三頁\編于十六點豎直平面內圓周運動的臨界問題物理情景圖示在最高點的臨界特點做圓周運動條件細繩拉著小球在豎直平面內運動T=0

在最高點時速度應不小于小球在豎直放置的光滑圓環(huán)內側運動N=0

在最高點時速度應不小于小球固定在輕桿上在豎直面內運動V>0F向>0F向=FT+mg或F向=mg-Fn在最高點速度應大于0小球在豎直放置的光滑管中運動V>0F向>0F向=FT+mg或F向=mg-Fn在最高點速度應大于0目前十八頁\總數三十三頁\編于十六點mgOmgON臨界問題：由于物體在豎直平面內做圓周運動的依托物（繩、軌道、輕桿、管道等）不同，所以物體恰好能通過最高點的臨界條件也不同。mgON繩桿mgO軌道管道物體在最高點的最小速度取決于該點所受的最小合外力。目前十九頁\總數三十三頁\編于十六點作業(yè)：如圖所示，質量m=0.2kg的小球固定在長為Ｌ＝0.9m的輕桿的一端，桿可繞Ｏ點的水平軸在豎直平面內轉動，g=10m/s2，求：（１）當小球在最高點的速度為多大時，小球對桿的作用力為零？（２）當小球在最高點的速度分別為６m/s和1.5m/s時，桿對小球的作用力的大小和方向（３）小球在最高點的速度能否等于零？目前二十頁\總數三十三頁\編于十六點例1：繩子系著裝有水的小水桶，在豎直平面內做圓周運動，水的質量m=0.5kg，繩長L=1m，若不考慮桶的尺寸，求：

（1）桶通過最高點時至少要有多大的速度水才不會流出？

（2）若水在最高點速度為V＝5m/s，水對桶的壓力是多少？（g=10m/s2）

目前二十一頁\總數三十三頁\編于十六點練習1：如圖，質量為0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內做“水流星”表演，轉動半徑為1m，小杯通過最高點的速度為6m/s，g取10m/s2,求：(1)在最高點時，繩的拉力？(2)在最高點時水對小杯底的壓力？(3)為使小杯經過最高點時水不流出,在最高點時最小速率是多少?目前二十二頁\總數三十三頁\編于十六點 例2（99年高考題）如圖4所示，細桿的一端與一小球相連，可繞過O的水平軸自由轉動?，F給小球一初速度，使它做圓周運動。圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球作用力可能是（）

A、a處為拉力，b處為拉力

B、a處為拉力，b處為推力

C、a處為推力，b處為拉力

D、a處為推力，b處為推力abA、B目前二十三頁\總數三十三頁\編于十六點例3.長度為L＝0.5m的輕質細桿OA，A端有一質量為m＝3.0kg的小球，如圖所示，小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，則此時細桿OA受到（）A、6.0N的拉力 B、6.0N的壓力C、24N的拉力 D、24N的壓力B目前二十四頁\總數三十三頁\編于十六點例4：長L＝0.5m的輕桿，其一端連接著一個零件A，A的質量m＝2kg.現讓A在豎直平面內繞O點做勻速圓周運動，如圖所示．在A通過最高點時，求下列兩種情況下A對桿的作用力：(1)A的速率為1m/s；(2)A的速率為4m/s.(g＝10m/s2)目前二十五頁\總數三十三頁\編于十六點例5：質量為m的小球在豎直平面內的圓形軌道的內側運動，經過最高點而不脫離軌道的臨界速度值是v．當小球以2v的速度經過最高點時，對軌道的壓力值是（）A.0B.mgC.3mgD.5mgvc目前二十六頁\總數三十三頁\編于十六點例6：一根長為L的輕質硬桿，兩端各固定一質量為m的小球?，F以桿的中點為軸心，使兩小球在豎直平面內勻速轉動，其周期。在如圖所示豎直位置時，桿對兩球的作用力。答案:A球:B球:目前二十七頁\總數三十三頁\編于十六點例7：如圖所示，有一個半徑為R的圓弧形的軌道，滑塊A、B分別從軌道上面和下面沿軌道滑動，如果要求它們在最高處不離開軌道，對它們在最高點的速率有什么限制？目前二十八頁\總數三十三頁\編于十六點例8：如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置在水平地面上，兩個質量均為m的小球a、b以不同的速度進入管內，a通過最高點A時，對管內壁上側的壓力為3mg，b通過最高點A時，對管內壁下側的壓力為0.75mg，求：

（1）a、b兩球通過半圓管最高點A時的速度大小分別為多少？

（2）a、b兩球落地點間的距離。目前二十九頁\總數三十三頁\編于十六點練習2：如圖所示，用細線把小球懸掛在墻壁的釘子O上，小球繞懸點O在豎直平面內做圓周運動。小球質量為m，繩長為L，懸點距地面高度為H。小球運動至最低點時，繩恰被拉斷，小球著地時水平位移為S，當地重力加速度為ｇ．求：（1）細線剛被拉斷時，小球的速度多大？（2）細線所能承受的最大拉力？OLHS目前三十頁\總數三十三頁\編于十六點練習3：如圖所示，一個人用一根長1m，只能承受46N拉力的繩子，拴著一個質量為1kg的小球，在豎直平面內做圓周運動.已知圓心O離地面h=21m，轉動中小球在最低點時繩子斷了.求：（1）繩子斷時小球運動的線速度多大？（2）繩斷后，小球落地點與拋出點間的水平距離目前三十一頁\總數三十三頁\編于十六點練習4：如圖位于豎直平面上半徑為R的1/4圓弧光滑軌道AB，A點距離地面高