初等數(shù)論第二章課件

不定方程是指未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)，且對解有第二章不定方程一定限制（比如要求解為正整數(shù)等）的方程。

是數(shù)論中最古老的分支之一。

古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就

開始研究不定方程，

因此常稱不定方程為丟番圖方程。中國是研究不定方程最早的國家，

公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，

公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究。

秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。

這是一個三元不定方程組問題。1969年，莫德爾較系統(tǒng)地總結(jié)了這方面的研究成果。

近年來，這個領(lǐng)域更有重要進展。

但從整體上來說，

對于高于二次的多元不定方程，人們知道得不多。

另一方面，不定方程與數(shù)學(xué)的其他分支如代數(shù)數(shù)論、

代數(shù)幾何、組合數(shù)學(xué)等有著緊密的聯(lián)系，

在有限群論在有限群論和最優(yōu)設(shè)計中也常常提出不定方程的問題，

這就使得不定方程這一古老的分支繼續(xù)吸引著許多數(shù)學(xué)家的注意，成為數(shù)論中重要的研究課題之一。第一節(jié)二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解決以下三個問題：②有解時決定解的個數(shù)。①判斷何時有解。③求出所有的解。本節(jié)討論能直接利用整除理論來判定是否有解，以及有解時求出其全部解的最簡單的不定方程———二元一次不定方程。注：定理的證明過程實際給出求解方程（1）的方法：注：利用輾轉(zhuǎn)相除法求（a,b)時，前提為a,b為正整數(shù)，且a大于b，因此求解此方程時可以考慮用變量替換。3、下面通過具體例子介紹一種判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法——整數(shù)分離法或先塔求出圣原方擴程的礦一個調(diào)特解吳，再緩給出顧一切排整數(shù)粘解。注：返這種餐解不煉定方曬程的禽算法攤實際瘡上是嘉對整址個不壩定方本程用輾貿(mào)轉(zhuǎn)相弱除法壘，依次隱化為端等價畜的不盆定方饅程，直至柔得到一個拿變量猾的系工數(shù)為窄正負(fù)1的方滅程為族止。這樣林的不頑定方怨程可以蟲直接腦解出殼。再依宗次反巨推上吉去，賓就得突到原照方程謝的通重解。為了寫減少資運算悟次數(shù)循，在記用帶膛余除壤法時倍，總薯取絕蜓對值興最小余數(shù)呈。下面辱我們偷來討練論當(dāng)獵二元田一次清不定滅方程?。?）可常解時刊，它的稍非負(fù)誼解和鳳正解借問題慶。由通運解公曠式知什這可丸歸結(jié)票為去參確定參們數(shù)t的值抱，使x,廚y均為隱非負(fù)林或正趣。顯見需，當(dāng)a,丙b異號訓(xùn)時，不定乒方程變（1）可泛解時攝總有身無窮坡多組豈非負(fù)登解或遠正解睜，理由雨是：所以壯下面脹只討攝論a,躺b均為峽正整隙數(shù)的沿情形性，先來番討論修非負(fù)貸解：下面墾討論菜正整孤數(shù)解絹：例7、求懇方程5x+3y=5唯2的全舊部正興整數(shù)炊解解：x=8品,y=4是一急組特姐解，搞方程勝的全族部解棚為：x=8授+3t,y=4程-5t正整理數(shù)解暈滿足8+繼3t>0,料4-樂5t>0注：塌若只揀求方刷程正笑整數(shù)席解的穿個數(shù)猜，可纖考慮呢以下矛不等纖式的整會數(shù)解蛾個數(shù)技：第二腎節(jié)虛多貴元一頑次不置定方孤程注：識定理1的證終明給肌出了n元一行次不拘定方坊程的括解法款過程賊：即求嫩解方毒程組村（由n-1個方孕程組瞞成）解：志原方籌程化贏為：進一匪步可悶求非成負(fù)整嶄數(shù)解商：由通務(wù)解公迎式給司出非古負(fù)整埋數(shù)解熱中m,辭k應(yīng)滿濱足第三棒節(jié)柱勾股抄數(shù)②再協(xié)證滿骨足條沫件（2）的璃解都辰可以文表成怖（3）的液形式促。例1、求高一個議邊長腫為整截數(shù)的轉(zhuǎn)直角證三角犁形，深它的指面積喉在數(shù)值唇上等聽于它拾的周冶長。例2、求籃不定輩方程物（*仗）的喉滿足鑄條件0<z<2暴6的全腹部互素呢的解繪。baxyz12345235121314158173472425例3、求z=6格5的滿罵足方碎程（狐*）腔的全袋部正御整數(shù)功解。例5、假慘定(x,轎y,援z)是(*辛)的解鋸，并摘且(x,腎y)=風(fēng)1，那柄么在x,蝦y中有一襲個是3的倍綢數(shù)，汁有一毀個是4的倍儀數(shù)，射在x,櫻y,戒z中有隨一個是5的倍捆數(shù)。注意疾：定抬理中提所說栽的在x,雷y中有掉一個縣是3的倍毯數(shù)，咱有一個葡是4的倍稈數(shù)，旋并不荷是說夜在x,故y中一秘個是3的倍醉數(shù)，敞另一個直是4的倍勝數(shù)，由很可損能3的倍變數(shù)與4的倍俯數(shù)是距同一額個數(shù)泊。如（5,街12柏,1莖3），暢又如扎（11檔,6靠0,緊61）3、無多窮遞文降法16茫59年，智法國糞數(shù)學(xué)忽家費曲馬寫管信給億他的般一位城朋友財卡爾卡箱維，稱自姥己創(chuàng)罰造了爹一種竿新的燒數(shù)學(xué)所方法.由于耍費馬涌的信并五沒有獄發(fā)表職，人們績一直亡無從物了解輝他的帳這一績方法.直到18域79年，稀人們紛在荷翼蘭萊桂頓大歌學(xué)圖歐書館惠更頭斯的秤手稿補中發(fā)現(xiàn)了添一篇必論文胸，才刻知道霜這種傭方法樣就是逆無窮朽遞降吸法.無窮遞降援法是亮證明叼某些合不定頂方程車無解統(tǒng)時常毒用的補一種鴿方法.其證明非模式竭大致策是:先假礙設(shè)方男程存賤在一刷個最膝小正騎整數(shù)若解，然后賄在這怪個最允小正任整數(shù)字解的他基礎(chǔ)欣上找翁到一元個更坊小的構(gòu)造匪某種艦無窮肌遞降柜的過假程，再結(jié)陡合最汁小數(shù)螞原理克得到矛盾縮慧，從母而證樓明命錦題.無窮弓遞降劉法在疲解決找問題毒過程念中主要杠有兩勒種表知現(xiàn)形好式:其一述，由芬一組嚷解出叨發(fā)通陸過構(gòu)恭造得到握另一號組解墳，并仁且將添這一港過程養(yǎng)遞降呈下去，襪從而左得出