初等數(shù)論不定方程

1、什么是不定方程？顧名思義即方程的解不定.一般地有第二章不定方程定義：不定方程是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，或未知數(shù)受到某種限制(如整數(shù)，正整數(shù)等）的方程和方程組。2、主要研究問題

a.不定方程有解的條件

b.有解的情況下，解的個數(shù)

c.有解的情況下，如何解3、本章學習內(nèi)容(1）二元一次不定方程（2）多元一次不定方程（3）勾股數(shù)組（4)費馬大定理簡介(5)幾類特殊的不定方程§1二元一次不定方程定義：形如其中()a,b,c為整數(shù)的方程稱為二元一次不定方程。例：2X+3Y=55U+6V=21定理：有解的充要條件是(a,b)|c證：設方程有解則有因為（a,b)|a,(a,b)|b,因而(a,b)|c反之，設(a,b)|c,則由最大公因數(shù)的性質(zhì)存在s,t使得as+bt=(a,b)令即為方程的解3、二元一次不定方程有解的情況下解的結(jié)構(gòu)定理：設是方程的一組解，則不定方程有無窮解，其一切解可表示成

其中證：把代入不定方程成立，所以是方程的解。又設是不定方程的任一解，又因為是一特解則有,即有有因為令即得到了方程的解。方程有解情況下不定方程的解法（1）觀察法：當a,b的絕對值較小時可直接觀察不定方程的一組特解，然后用得到其所有解。2、公式法：當a,b的絕對值較小時，可用公式得到特解然后用公式寫出一切解。為a,b作輾轉(zhuǎn)相除時不完全商(見書)3、整數(shù)分離法：當a,b中系數(shù)不同時，用絕對值較小的系數(shù)后的變量表示另一個變量，通過變量替換得到一個新的不定方程。如此反復，直到一個參數(shù)的系數(shù)為1.從而得到不定方程的解。4、化為同余方程（同余方程中再講）注:方法(1)(3)(4)用得較多,(2)不太實用.例1：求解不定方程解：因為（9，21）=3，3|144所以有解；化簡得考慮,有解所以原方程的特解為，所以方程的解為注：解的表達式是不惟一的例2、用整數(shù)分離法解解：因為（107，37）=1，所以有解；故

故

§2多元一次不定方程2.1定義：形如的不定方程多元一次不定方程。2.2定理有解的充要條件是證：必要性，若不定方程有解,則有由。充分性：用數(shù)學歸納法(n=2）時已證假設對n-1時條件是充分的，令則方程有解，設解為又有解，設為,這樣就是方程的解。注：從證明過程也提供了方程的解法。則等價于方程組設先解最后一個方程的解，得然后把其代入倒數(shù)第二個方程求得一切解，如此向上重復進行，求得所有方程的解。例1：求不定方程的整數(shù)解.解因為（25，13）=1，（1，7）=1|4，所以方程有解我們將它分為兩個二元一次不定方程來求解25x+13y=t,t+7z=4.先求t+7z=4的解為t=4-7u，z=u。因為25*(-1)+13*2=1，所以25x+13y=1的特解為=-1，=2故25x+13y=t的解為x=-t-13v，y=2t+25v所以的解為x=-4+7u-13v，y=8-16u+25v，z=u.u，v為整數(shù)。§3勾股數(shù)定義：一鏡般地側(cè)稱x2+y2=z2的正挖整數(shù)掘解為督勾股軟數(shù)例（3，4，5），鵲（5，12，13）（8，15向,1歉7）規(guī)為勾丘股數(shù)x2+y2=z2方程損解的彈分析（1）若x，y，z是方殘程解爐，則dx，dy，dz也是朽方評程解（2）由剛（1）只掀要考調(diào)慮（x，y，z）=1的解掃即可粒，而紹實際兇上只古要納（x，y）=1即可塘，假餅設（x，y）=d，則d|剩x，d|良y，則有d|眨z（3）由（2）可尤設（x，y）=1，則x，y為讀一奇餃一偶囑。若x，y都為重奇數(shù)揉，則z為偶壤數(shù)，段則方詠程左公邊為4K怒+2，右邊鬧為4K，矛盾溝。所親以x，y為一交奇一披偶。由上奮分析錯，我義們對炭（x字,y）作了瞎一些惱限制炊，而杠這些怨限制聾并不存影響蟲其一柔般性步。即可往假設炎在x>抬0，y>匙0，z>趙0，（x，y）=1，2∣凳x的條禍件下卵給出x2+y2=z2的通返解公打式。定理：在譯條件x>濕0，y>卻0，z>脆0，（x，y）=1，2∣撐x的條呆件下x2+y2=z2的通蓄解公般式為x=店2a徹b，y=干a2-b2，z2=a2+b2，a>日b>肉0漂,速(a站,堡b)事=1，a器,b一奇燦一偶夾。為了匪證明丘定理乘的結(jié)梨論，若先給投出下沈面引臉理。引理：設u>毀0，v>閱0，（u塞,v）=1，則貞不定傍方程uv=w2的解妻為u=卸a2，v=允b2，w=ab其中a>謎0，b>欄0，（a擋,b）=1。證：境設u，v，w是方自程的糞解，傲令不含多平方箱數(shù)，又（u，v）=1，不能挪被衫整味除.故所以u=孟a2，v=怖b2，w=ab。a>記0，b>捉0，（a壤,b）=1下面位進行技定理受的證貿(mào)明.定理究的證傅明：x=藝2a咳b，y=灰a2-b2，z2=a2+b2，a>儲b>沙0堂,勁(a工,尚b)懸=1，a電,b一奇牧一偶那。顯充然是維方程x2+y2=z2的解灘，滿濤足x>專0，y>增0，z>孟0，2∣往x，且設（x，y）=d，則有由（a，b）=1，有d=廁1，或d=犬2,又由y為奇掃數(shù)，煮所以d=燙1。設x，y，z是滿白足條類件的術(shù)一組廚解，希由2|駱x，及（x，y）=1知y，z是單慕數(shù)，植有執(zhí)且因為津設絕則有d|王z，d|記y，因而偷有d|等x，所以d=影1于是珠由引庸理令于是文有x=咐2a酷b，y=拘a2-b2，z2=a2+b2，a>啞0,橡b>況0,左(a映,b厲)=卸1由y>旺0,知a>惠b>拼0種,又y單，殊所以a畝,b一奇膀一偶敏。推論：單糟位圓生上的尋有理覽點可似寫成證：逗由卻兩邊劣同除有歇，令所以灘有抬即為揚單位拿圓的勉方程而有頌理點輔的坐央標都今是有亞理數(shù)芹，即鄭為可張約分鐮數(shù)的山形式掘，分淚數(shù)的櫻分子具正好秘為x2+y2=z2的x和y分母疊為z，且正凈負都烘可，崗又可湊交換男即有例1：勾股桃數(shù)的礎勾股抄中至洽少有賓一個帥是3的倍六數(shù)。證：捷設N=婚3m階1，（m為整芬數(shù)）鈔，則=3賀k+純1設響中，孔若x，y都不遣是3的倍揉數(shù)，都是3K史+1，則其連和為3k癥+2。不可莖能是餡平方軍數(shù)，秧所以煌是抱不甘可能濫的?！?費爾隊馬大談定理舒和無剛窮遞仰降法1、費爾刷馬大圣定理：不吼定方陵程xn+yn=zn，n≥塘3無正燭整數(shù)擱解。由于抬一個陜大于2的整愈數(shù)n，當n是偶助數(shù)時癢，必門為4的倍行數(shù)或萌為某芝個奇茅質(zhì)數(shù)銳的偶郵數(shù)倍鍬，當n是奇響數(shù)時舉，必休是一渠個奇閥質(zhì)數(shù)p的倍蚊數(shù)。福因此廈，實息際上用只需益證明趕和（p為奇墳質(zhì)數(shù)袍）都換沒有惕正整活數(shù)解遞就可歇以了西。對鮮可用蒼無窮拖遞降吃法證防明，屈而無正庭整數(shù)怒解的潔證明扔是非煉常困鹿難的。2、無頸窮遞書降法盈的渴邏輯虜步驟（1）若臭一個叮關(guān)于安正整林數(shù)的彎命題P（n）對若齊干正沿整數(shù)n是下塞正確垂的，畢則在晚所有n中一齒定有誘最小怖者。（2）若甘正確少，則火有芳使佩正確楚。由（1）（2），餅則P（n）不能閉成立撲。例2:證明熊是無抓理數(shù)證：長假設臨是有透理數(shù)表，則易有欠正整莖數(shù)解.設自島然數(shù)(a,炒b)所有墳解中畜使得a最小頓一組劣解.即有獨容易盒知道a是偶勾數(shù)，孫設a=2a1，代入皆又得導到b為偶類數(shù)，脾設則,即也是損方程無的解,這里這與a的最平小性沖矛盾.∴無理狐數(shù)。例2:證明呈是無丸理數(shù)證：懸假設迫是有役理數(shù)溝，則柴存在榨自然收數(shù)a,乎b使得捐滿足來，即春容夫易知糾道a是偶纏數(shù)，斜設a=2a1，代入皺又得絮到b為偶濱數(shù)，娘設,則,這里這樣亡可以盟進一森步求反得a2，b2…且有a>值b>想a1>b1>a2>b2>…但是偽自然洪數(shù)無案窮遞定降是傻不可塊能的恩，于岔是產(chǎn)赴生了青矛盾朋，∴無理共數(shù)。幾個架特殊聾的不崖定方鑄程的肺初等榨解法1、奇睬偶分羊析法例：求不幫定方緩程加的正榮整數(shù)歇解解：硬因為32爪8為偶校數(shù)，順即左烘邊為書偶數(shù)建，x，y的奇種偶性素相同冶，不改妨設x>際y設則有…同理肚有一奇鏡一偶,則亭得解進一扭步有所發(fā)懲原方摧程的跳解為(2漏,1諒8)和(1客8,涂2)2、利鞠用特把殊模備的余姨數(shù)例2：證貸明恨無整皇數(shù)解舌。證：扒由求逃根公劑式得原方朱程要盛有整而數(shù)解原則樂為完疾全平漫方而出所以音有不可斥能為嫌平方惰數(shù)。所以陸原方繩程無培整數(shù)蹄解。3、數(shù)觸與式萄的分拘解例3：求否的整訓數(shù)解蕩。解：艇原方紡程通看過變手形得則有從而揪原方凡程的仁解為4、不件等分染析法例4：求威的感正整央數(shù)解青。解：直因繩所也以又因?qū)榻闉槔媾紨?shù)乖，所室以丈只能餡為4，16代入申得=1嘩6，所以欲原方緊程的拉解為笨（4，3）5、分灘離整渡數(shù)部菊分法例5：求雞的整摔數(shù)解漆。解：熱因為x=娛-1不是銹方程辨的解候，所敢以原逗方程垮為所以善有x+底1|惹2，即x=信0，-2，1，-3得原琴方程要的解虜為(0樓,4賽),謹(-甲2,約0)速,(奪1,巧3)闖,(碰-3比,1心).6、求退根公話式法例6：求綿的整情數(shù)解者。解：牛把它尋看成x的二屋次方鳥程有由根凍號里闊面大誰于等字于0，得y只能1，2，3代入經(jīng)得到悉方程調(diào)的解幣為(2術(shù),1扮),池(1機,1行),使(1勺,2繞),誘(3遇,2巨),好(3櫻,3謹),攀(2臉,