高中數(shù)學(xué)人教高中必修第三章不等式必修基本不等式

游戲：四個(gè)全等的直角三角形，

怎樣拼成一個(gè)正方形？

趙爽弦圖勾股圓方圖《周髀算經(jīng)》

東漢末年（222）勾股定理SABCD=4S△ABE+SEFGHc2=2ab+(a-b)2=a2+b2探究1：你能在圖形的變化過程中找出面積

間的一些不等關(guān)系嗎？1、正方形ABCD的面積S=２、四個(gè)直角三角形的面積和S’

=思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立適用范圍：a,b∈R探究2：你能從“結(jié)論”出發(fā)，繼續(xù)得到

其他的不等關(guān)系嗎？探究3：你能找到上述不等式的幾何意義嗎？SABCD≥4S△ABESABCD=a+b4S△ABE=2證明：∵即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，∴你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?探究4②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?OD_____CD≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCabRR+（1）兩個(gè)不等式的適用范圍不同,

而等號(hào)成立的條件相同（2）稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)

稱為它們的算術(shù)平均數(shù)。兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

例1：(1)如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設(shè)BC=x

，CD=y

，則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2(x+y)m.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時(shí)x=y=10.x=yABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值_______.例1：(2)如圖，用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)x+y的值是常數(shù)S時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值_______；①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14不正不定不等小結(jié)：求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)