高中數(shù)學(xué)人教高中選修第講不等式和絕對(duì)值不等式元二次不等式及其解法

命題點(diǎn)2含參不等式(1)

ax2－2≥2x－ax(a∈R).解答(2)12x2－ax＞a2(a∈R).(3)ax2－2x－2≥0(a∈R).當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{－1}；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤－1}；命題點(diǎn)1在R上的恒成立問題典例

(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－

<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為

A.(－3,0] B.[－3,0) C.[－3,0] D.(－3,0)解析題型二一元二次不等式恒成立問題多維探究答案√(2)設(shè)a為常數(shù)，對(duì)于?x∈R，ax2＋ax＋1>0，則a的取值范圍是

A.(0,4) B.[0,4)C.(0，＋∞) D.(－∞，4)解析解析對(duì)于?x∈R，ax2＋ax＋1>0，答案√命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上的恒成立問題典例

設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.解答解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，有以下兩種方法：當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.解得x<1或x>3.故當(dāng)x的取值范圍為(－∞，1)∪(3，＋∞)時(shí)，對(duì)任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零.命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問題典例

對(duì)任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍.解答解由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由題意，知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，(1)對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練

函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解答解∵當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6,2].(2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解答解當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，設(shè)g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三種情況討論(如圖所示)：①如圖①，當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方且滿足條件時(shí)，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如圖②，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，解得a∈?.③如圖③，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，但當(dāng)x∈(－∞，2]時(shí)，g(x)≥0.∴－7≤a≤－6，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－7,2].(3)當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解答解令h(a)＝xa＋x2＋3.當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，h(a)≥0恒成立.題型三一元二次不等式的應(yīng)用師生共研典例

甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100·元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；解答又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，x的取值范圍是[3,10].(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn).解答解設(shè)利潤(rùn)為y元，則故當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝457500元.即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為457500元.求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義.(4)回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果.思維升華跟蹤訓(xùn)練

某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加

x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫出定義域；解答所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定義域?yàn)閤∈[0,2].(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.解答解由題意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，典例

(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值為____.轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用思想方法思想方法指導(dǎo)

函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.9答案思想方法指導(dǎo)解析{a|a>－3}即x2＋2x＋a>0恒成立.即當(dāng)x≥1時(shí)，a>－(x2＋2x)恒成立.令g(x)＝－(x2＋2x)，則g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>－3}.13.若關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.技能提升練12345678910111213141516解析答案16.(2017·宿州模擬)若關(guān)于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.12345678910111213141516答案解析(－∞，0]解析因?yàn)椴坏仁?x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，所以4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立.令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因?yàn)?≤x≤2，所以2≤2x≤4.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)2x＝2，即x＝1時(shí)，y取得最小值0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0].課時(shí)作業(yè)1.不等式(x－1)(2－x)≥0的解集為

A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|1<x<2} D.{x|x<1或x>2}基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析由(x－1)(2－x)≥0可知，(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集為{x|1≤x≤2}.解析答案√2.(2018·河北省三市聯(lián)考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，則A∩B等于

A.(1,3) B.(－∞，－1)C.(－1,1) D.(－3,1)答案12345678910111213141516√解析依題意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1).解析A.[－1,1] B.[－2,2] C.[－2,1] D.[－1,2]答案12345678910111213141516√解析方法一當(dāng)x≤0時(shí)，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；

①當(dāng)x>0時(shí)，－x＋2≥x2，∴0<x≤1. ②由①②得原不等式的解集為{x|－1≤x≤1}.方法二作出函數(shù)y＝f(x)和函數(shù)y＝x2的圖象，如圖所示，由圖知f(x)≥x2的解集為[－1,1].解析4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}解析答案12345678910111213141516√解析由題意知，當(dāng)a＝0時(shí)，滿足條件.得0<a≤4，所以0≤a≤4.5.某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤(rùn).已知這種商品每件售價(jià)提高1元，銷售量就會(huì)減少10件.那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上，售價(jià)每件應(yīng)定為

A.12元 B.16元

C.12元到16元之間D.10元到14元之間解析答案12345678910111213141516√解析設(shè)售價(jià)定為每件x元，利潤(rùn)為y，則y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依題意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得12<x<16，所以每件售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間.6.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是

A.[－4,1] B.[－4,3]C.[1,3] D.[－1,3]解析答案12345678910111213141516√解析原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1<a≤3，綜上可得－4≤a≤3.解析123456789101112131415167.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則a的值為______.解析若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則x2－2ax＋a＝－1有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，答案12345678910111213141516解析答案9.(2018·濟(jì)南模擬)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.12345678910111213141516答案(－2,2]解析解析原不等式等價(jià)于，(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①當(dāng)m－2＝0，即m＝2時(shí)，對(duì)任意x，不等式都成立；②當(dāng)m－2<0，即m<2時(shí)，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，解得－2<m<2.綜合①②，得m∈(－2,2].解析12345678910111213141516答案{x|－ln2<x<ln3}解得－ln2<x<ln3.12345678910111213141516解答解由題意知，F(xiàn)(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n).當(dāng)m＝－1，n＝2時(shí)，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.當(dāng)a>0時(shí)，不等式F(x)>0的解集為{x|x<－1或x>2}；當(dāng)a<0時(shí)，不等式F(x)>0的解集為{x|－1<x<2}.11.設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n(m<n).(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；12345678910111213141516解答解f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，(2)若a>0，且0<x<m<n<，比較f(x)與m的大小.∴x－m<0,1－an＋ax>0.∴f(x)－m<0，即f(x)<m.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解因?yàn)?a＋b)x＋2a－3b<0，所以(a＋b)x<3b－2a，解得a＝3b<0，則不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋a－2>0，等價(jià)于bx2＋(4b－2)x＋3b－2>0，13.若關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.技能提升練12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析方法一

∵x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，令f(x)＝x2＋ax－2，∵f(0)＝－2<0，f(x)的圖象開口向上，方法二由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，14.不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)對(duì)于任意的a，b∈R恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________.解析12345678910111213141516答案[－8,4]解析因?yàn)閍2＋8b2≥λb(a＋b)對(duì)于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0對(duì)于任意的a，b∈R恒成立，即a