對數(shù)學選修課程設計與開發(fā)的論文：《斐波拉契數(shù)列》

對數(shù)學選修課程設計與開發(fā)的論文：《斐波拉契數(shù)列》

對數(shù)學選修課程設計與開發(fā)的論文：《斐波拉契數(shù)列》

李紅

（浙江省杭州建德市新安江中學）

摘要：在深化普通高中課程改革的指引下，基于對高中數(shù)學選修課程開發(fā)現(xiàn)狀的思考，開發(fā)了《斐波拉契數(shù)列》選修課程。探討了如何基于知識拓展來開發(fā)《斐波拉契數(shù)列》選修課程。主要內(nèi)容包括：《斐波拉契數(shù)列》選修課程如何開發(fā)運作；選修課程的開發(fā)如何實現(xiàn)學生在數(shù)學學習上的有效拓展；選修課程如何采用多元評價方式促進學生的終身學習與發(fā)展。

關鍵詞：選修課程；斐波拉契數(shù)列；設計；開發(fā)

一、《斐波拉契數(shù)列》選修課程開發(fā)背景

根據(jù)《浙江省深化普通高中課程改革方案》要求，增開普通高中數(shù)學選修課程，是推進普高多樣化和特色化發(fā)展的必然要求。選修課程的開發(fā)與設置有助于提高學生的學習興趣，拓展學生的知識技能，并帶動教師的專業(yè)成長。

自從增開選修課程以來，教師根據(jù)自身特長和學科特點來開發(fā)選修課程，一度出現(xiàn)了“百花齊放，百家爭鳴”的熱鬧景象。但好景不長，選修課成了必修課的翻版或者成為某門課的補偏課。究其原因，首要的是缺乏經(jīng)驗和系統(tǒng)的頂層設計，走一步，算一步；其次，選修課程不成體系，教師沒做充足的準備，學生的重視程度不夠，導致選修課的隨意性，做練習，小測試；再者，在評價方式上存在不足，缺乏靈活多元的評價標準，仍舊采用單一的紙筆考形式給出評定，甚至缺失評價。一方面，教師缺乏正確的選修課教學理念和課程整合能力；另一方面，是迫于高考壓力的學校行政干預和以高考成績?yōu)楹饬繕藴实纳鐣r值取向所導致。

在此情況下，筆者對本校高一、高二學生進行問卷調(diào)查，對數(shù)學學科及數(shù)學選修課內(nèi)容的開設進行了調(diào)查。調(diào)查統(tǒng)計如下：

問題（1）：你覺得學習數(shù)學的作用是什么？

22%培養(yǎng)邏輯思維；49%高考考試科目；20%拿學分、學業(yè)考試；9%有用，但具體說不出原因。

問題（2）：你喜歡數(shù)學課嗎？

20%非常喜歡；41%喜歡；22%無所謂喜歡不喜歡；17%不喜歡。

問題（3）：你喜歡邏輯推理嗎？

40%非常喜歡；37%喜歡；22%無所謂喜歡不喜歡；1%不喜歡。

問題（4）：在我校開設的眾多知識拓展類選修課中，你愿意選修數(shù)學學科知識是想拓展類哪方面的知識？

22%數(shù)學競賽；44%數(shù)學文化探究；16%必修內(nèi)容補偏；18%無所謂。

根據(jù)以上調(diào)查可以得出：問題（1）說明，學生學習數(shù)學是為高考、學業(yè)水平考試和拿學分，而不知人類的文明離不開數(shù)學，數(shù)學在滿足人類生活需要方面起著十分重要的作用；更重要的是數(shù)學可以培養(yǎng)邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力，為學生的終身學習、可持續(xù)發(fā)展打下堅實有力的基礎。同時，問題（2）（3）和（4）說明，學生有數(shù)學學習的需求和興趣，并期待選修課程里能有數(shù)學文化知識；通過對當前選修課開展的現(xiàn)狀分析和學生對數(shù)學認識的現(xiàn)狀調(diào)查，凸顯了在數(shù)學選修課程的開發(fā)中，可以開發(fā)與數(shù)學文化有關的數(shù)學選修課程。在高中數(shù)學教材人教版必修5第二章《數(shù)列》中，《斐波拉契數(shù)列》在“閱讀與思考”欄目中呈現(xiàn)。筆者對這塊內(nèi)容加以挖掘、整理、補充、豐富，形成具體的教學內(nèi)容，在數(shù)學知識拓展類選修課程中予以實施。

二、理論依據(jù)

1.《普通高中數(shù)學課程標準》的要求

《普通高中數(shù)學課程標準》提出：“鼓勵學生學習選修課程，加強對選修課的指導?！边@就要求教師在積極開發(fā)選修課程的基礎上，更應注重提高選修課的質(zhì)量和有效性；“必修和選修課程共同促進學生數(shù)學素養(yǎng)的形成，滿足學生的個人需求”，告知我們選修課程與必修課程是相輔相成，形成互補的?！鹅巢ɡ鯏?shù)列》選修課程是對必修教材的數(shù)列知識進行拓展和延伸，教師應對教學資源深度分析和開發(fā)，創(chuàng)造性地完成課程標準提出的目標和任務，滿足學生的需求。

2.浙江省普通高中知識拓展類選修課程框架（數(shù)學）的指導

浙江省普通高中知識拓展類選修課程框架（數(shù)學）對知識拓展類選修課給予了專業(yè)指導：“全面提升學生的數(shù)學文化素養(yǎng)，滿足學生的興趣和對未來發(fā)展的需求，為學生進一步學習、獲得較高數(shù)學修養(yǎng)奠定基礎。課程是為對數(shù)學有興趣和希望進一步提高數(shù)學素養(yǎng)的學生而設置的，所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學思想，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎，提高應用意識，有利于學生終身的發(fā)展，有利于開闊學生的數(shù)學視野，有利于提高學生對數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值的認識?！庇纱丝芍?，以知識拓展為基點的《斐波拉契數(shù)列》選修課程是數(shù)學素養(yǎng)提升類的選修課程，培養(yǎng)學生對數(shù)學學科的專業(yè)興趣，讓學生獲得更為全面的知識與能力，滿足學生進一步提高數(shù)學運用能力和升學的愿望。

《斐波拉契數(shù)列》選修課程，加深學生對生活數(shù)學的認識，培養(yǎng)數(shù)學興趣，通過學生對斐波拉契數(shù)列的探究，培養(yǎng)學生的研究意識。同時，通過學習，學生對斐波拉契數(shù)列有更深的了解和認識。

三、《斐波拉契數(shù)列》選修課程設計

1.《斐波拉契數(shù)列》選修課程目標設計

浙江省普通高中選修課開設的意義之一是：轉(zhuǎn)變育人模式，讓學生有個性地學習，滿足不同學生的發(fā)展需求，滿足學生多樣化的學習需要。本課程不以高考為目標，不以解題為目的，而是要通過問題解決使學生能經(jīng)歷自主體驗，促成思維活動，產(chǎn)生認知，獲取結論等，并通過生生、師生之間的交流，產(chǎn)生思維碰撞、交流、反思，相互學習，取長補短，拓寬思維，并在教師的指導下，歸納、概括出問題背后所具體有的數(shù)學文化、數(shù)學內(nèi)涵和數(shù)學本質(zhì)等。

選修課是必修課的補充和延伸。教師應依據(jù)《普通高中數(shù)學新課程標準（實驗）》的綜合衡量，尋找必修課教材中弱化或缺失的內(nèi)容，加工整合，作為選修課的主要內(nèi)容，實現(xiàn)對必修教材的補缺和擴充?！鹅巢ɡ鯏?shù)列》是必修5第二章《數(shù)列》中“閱讀與思考”欄目內(nèi)容，是對數(shù)列塊知識的補充，筆者開發(fā)《斐波拉契數(shù)列》選修課程是對必修2中數(shù)列知識的延伸。

在數(shù)學必修課堂教學中，教師主講時間多于學生自主學習的時間，學生跟著教師學的情境多于學生自主思考的情境，以構建知識網(wǎng)絡、學習知識與掌握方法為重。那么在選修課的開設中，筆者改變數(shù)學學習途徑，整個選修課授課過程中學生自主探究占主導，教師只是做引導。因此，本課程采用“學生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學方式。即課程實施時，教師要先放手，只作為活動中的一位成員，參與學生的活動。了解學生所思、所得，一是將其及時地展示給其他同學，二是根據(jù)學生的了解所得，作好點評準備。

這樣的教學方法，是對學習方式的一種改變，也是在彌補當前課堂教學的不足。希望這一改變能使學生更充分地認知數(shù)學學習的方法，提高學生學習數(shù)學的興趣。

要獲取數(shù)學發(fā)現(xiàn)，理解數(shù)學文化，數(shù)學發(fā)展的脈絡，必須讓學生有充分的獨立思考、探索機會，為此，要有一個用時規(guī)定：在一節(jié)課中，教師講解時間必須少于學生自主活動的時間，同時，教學中，不必以完成內(nèi)容為目標，要以促成活動、提煉成果為追求。

課程的體例中，每一個模塊均有若干個問題組成，旨在問題引導下，促成學習者思維的自主活動，并能通過互相交流，獲取一些發(fā)現(xiàn)、理解。在自主學習中，教師僅幫助學習者把握各個問題的教學目標，獲得新知。

《斐波拉契數(shù)列》選修課程每一個模塊均以有斐波拉契數(shù)列數(shù)學史料或生活知識為背景的問題解決構成學習內(nèi)容?！鹅巢ɡ鯏?shù)列》選修課程提供：或通過個體思維活動，群體相互交流，教師點評小結，獲取新知的機會；或通過學生自己閱讀材料，產(chǎn)生想法，交流所思，并在教師的引導下，豐富認知的機會。這能彌補當前教學不足，充實學習途徑?！鹅巢ɡ鯏?shù)列》選修課程深信：知識可能被遺忘，而文化、精神、觀念會長期影響人一生的工作與學習，把包括數(shù)學思想方法、數(shù)學意識、數(shù)學觀念在內(nèi)的數(shù)學精神列入教學目標，引入數(shù)學課堂教學。

《斐波拉契數(shù)列》選修課程主要針對高一和高二年級學生開設，整個課程通過問題解決或史料閱讀，創(chuàng)設學生在原有認識基礎上的思維活動，相互交流，發(fā)現(xiàn)或獲知、歸納或概括問題背后的數(shù)學本質(zhì)、本源、特點，展現(xiàn)數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，還原斐波拉契數(shù)列的發(fā)現(xiàn)和形成歷程，充實數(shù)學教學內(nèi)容，彌補數(shù)學必修學習的不足，使學生更全面地認知數(shù)學，提高學習數(shù)學的興趣。同時，提高學生分析問題和解決問題的能力，實現(xiàn)學生綜合發(fā)展，彰顯數(shù)學學科特點的教學理念。

設定的選修課程目標是：

（1）通過《斐波拉契數(shù)列》選修課的自主學習，了解研究斐波拉契數(shù)列數(shù)學歷史文化以及研究的方法。

（2）通過解決問題，增強學生數(shù)學活動能力，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力；通過交流，拓展學生的數(shù)學思路；通過問題解決后的歸納、概括，發(fā)現(xiàn)新知、獲取新的數(shù)學認知與數(shù)學理解。

（3）通過解決問題，認識社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用，數(shù)學的社會需要，培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣。

（4）通過選修課程的學習，讓學生明白：要重視重要的數(shù)學方法，知道概括同質(zhì)問題；拓寬對數(shù)學的認知，知道學習數(shù)學并不僅是解題，而有文化與思想；改善對數(shù)學的看法，形成正確的數(shù)學觀，會進行理性思考。

2.《斐波拉契數(shù)列》選修課程主干內(nèi)容設計

《斐波拉契數(shù)列》選修課程在教學過程中，需要做題，這是活動的出發(fā)點，但不以解決題目為目標，而是提供一次感悟的機會，提供機會發(fā)現(xiàn)問題背后的數(shù)學思想與方法，獲取普適性的結論，以指導個體更好地學習數(shù)學；課程借助互聯(lián)網(wǎng)帶來的方便，讓學生能快捷地收集、整理資料，探究斐波拉契數(shù)列的數(shù)學奧秘，發(fā)現(xiàn)斐波拉契數(shù)列在大自然和藝術領域的秘密，解決與高中數(shù)學為背景的數(shù)學問題，也基于學生原有的數(shù)學學習基礎，創(chuàng)設有數(shù)學味的學習活動，促進對必修課的學習。

根據(jù)課程目標和教學內(nèi)容，考慮教學可用時間、學生學習基礎以及教師能把握水平，本課程安排了九個模塊內(nèi)容，共計18課時。

課程框架和主干內(nèi)容安排如下：

緒論斐波拉契說（課時安排：1課時）

斐波拉契數(shù)列歷史及文化

模塊一兔子問題和斐波拉契數(shù)列（課時安排：1課時）

問題1：一對大兔子每月生一對小兔子，每對新生兔在出生一個月后又下崽，假若兔子都不死亡，一對兔子一年能繁殖成多少對兔子？

問題2：根據(jù)每月兔子的數(shù)量歸納斐波拉契數(shù)列的遞推公式。

問題3：請構造一個三階遞推公式。

模塊二斐波拉契數(shù)列的數(shù)學奧秘（課時安排：2課時）

問題1：對于斐波拉契數(shù)列的遞推公式，如果僅僅依靠遞推關系式求解恐怕很麻煩，你有什么好的辦法嗎？它的通項公式是什么？

問題2：通過計算和觀察，請你說說斐波拉契數(shù)列有哪些性質(zhì)（如通項公式，項之間的關系等）。

問題3：斐波拉契數(shù)列還與其他一些數(shù)學知識有著微妙的關系，你能找出來嗎？（楊輝三角、黃金分割）

模塊三斐波拉契數(shù)列與植物（課時安排：1課時）

問題1：觀察葉子的生長規(guī)律，它與斐波拉契數(shù)列有什么聯(lián)系嗎？

問題2：觀察身邊的花朵，說說它們與斐波拉契數(shù)列的關系。

問題3：觀察植物的果實，從中找出斐波拉契螺旋。

模塊四斐波拉契數(shù)列與動物（課時安排：1課時）

問題1：你知道，蜜蜂的繁殖有什么規(guī)律嗎？它和斐波拉契數(shù)列有什么聯(lián)系？

問題2：細菌的傳播與斐波拉契數(shù)列有關嗎？

問題3：動物身上也有斐波拉契螺旋嗎？

模塊五斐波拉契數(shù)列與藝術（課時安排：1課時）

問題1：請你試著分析斐波拉契數(shù)列在樂曲中應用規(guī)律，并按照這個規(guī)律創(chuàng)作一段簡單的樂曲。如有困難，也可以請教音樂老師。

問題2：樂器中也能找到斐波拉契數(shù)列呢，試試看吧！

模塊六斐波拉契數(shù)列大觀（課時安排：2課時）

觀賞1：了解斐波拉契數(shù)列與股票間的關系（艾略特波浪理論）。

觀賞2：影視中的斐波拉契數(shù)列介紹（達·芬奇密碼、考試之神）。

觀賞3：斐波拉契比率（黃金分割）的分析。

模塊七斐波拉契數(shù)列與高中數(shù)學（課時安排：5課時）

問題1：探究人教版必修2第90頁“探究與發(fā)現(xiàn)”魔術師的地毯的奧秘，設計一個類似的魔術。

問題2：蜂房問題的探究。

問題3：爬樓梯問題的分析。

問題4：以“斐波拉契數(shù)列”為背景數(shù)學試題賞析。

模塊八構建神奇的數(shù)列（課時安排：2課時）

問題1：將斐波拉契數(shù)列的開始兩項改變，數(shù)列的一些性質(zhì)發(fā)生了哪些變化？

問題2：查閱資料了解盧卡數(shù)列、托里波那契數(shù)列，這些數(shù)列與斐波拉契數(shù)列有什么關系嗎？

模塊九成果展示（課時安排：2課時）

通過對斐波拉契數(shù)列的學習，分成小組，分工合作，撰寫研究報告，制作PPT，展示所學及感興趣模塊內(nèi)容和小組深入研究方向。

四、《斐波拉契數(shù)列》選修課程編寫原則

《斐波拉契數(shù)列》選修課程不是必修課的延續(xù)，因此，需要提供有別于必修課的教學途徑。以問題解決為主線，以學生思維活動，生生或師生交流，教師點評為途徑來設計每個內(nèi)容?！鹅巢ɡ鯏?shù)列》選修課程不是數(shù)學史料的簡單閱讀，因此，需要以問題解決為載體，承載史料內(nèi)容的教育功能?！鹅巢ɡ鯏?shù)列》課程是數(shù)學選修課，因此，需要有數(shù)學的教育價值，也要適合學生的數(shù)學認知基礎。

結合上述，本課程編寫的基本思路是：以斐波拉契數(shù)列為背景設計問題，以問題解決為主線安排內(nèi)容，以能產(chǎn)生活動、交流、點評為要素安排過程，能將各個問題解決，落實在數(shù)學文化上，落實在數(shù)學思想上，落實在數(shù)學方法上，從而使學生感受數(shù)學文化的力量，吸取數(shù)學發(fā)展史中的營養(yǎng)，了解數(shù)學家發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造數(shù)學的過程，體會數(shù)學的內(nèi)涵與特點，故在課程編寫上遵循以下五個原則。

1.典型性

斐波拉契數(shù)列在發(fā)展歷程中，內(nèi)容十分豐富，考慮到課程目標、選修課開設時間，課程開發(fā)時，定位選擇斐波拉契數(shù)列中具有典型性的案例，能保證實現(xiàn)：每一個點的學習，一是能明白一個結論，二是在學生完成選修課后，有進一步學習的可能，即有條件“由點及面”。

2.學科性

堅持做數(shù)學。即本課程的內(nèi)容既要有“數(shù)學味”，也要有一定的數(shù)學“思維量”，同時要求通過每一講的學習，使學生能發(fā)現(xiàn)數(shù)學內(nèi)在的、本質(zhì)的東西，獲取新的認知、理解。

3.活動性

相比必修課的學習，設計時應充分考慮到，能讓學生有更多的主動性，能參與學習過程，發(fā)表自己的理解與發(fā)現(xiàn)，交流各自的所得，并在教師的參與下，提升、概括，獲取新知。

4.適合性

在選取斐波拉契數(shù)列案例時，盡力控制在學生可接受的知識領域，同時考慮：對不喜歡數(shù)學的學生，可選擇課程的部分內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)斐波拉契數(shù)列內(nèi)含的文化、斐波拉契數(shù)列廣泛的應用性、數(shù)學思維的特點等，改變對數(shù)學的認知；對喜歡數(shù)學的學生，能通過本課程的學習，更全面地了解斐波拉契數(shù)列，發(fā)現(xiàn)數(shù)學內(nèi)在的思想、數(shù)學研究的方法等，從而奠定進一步學好數(shù)學的基礎。

5.易用性

考慮選修課程實施時，教師的可操作性。即能根據(jù)課程提供的材料組織起學生的活動，促成生生或師生之間的交流，并保障教師對活動成果進行有價值的概括、歸納、提升。同時，也考慮到本課程可當作學生的課外讀物，即能引導學生通過自學完成課程學習。

五、《斐波拉契數(shù)列》選修課程多元評價方式

根據(jù)高中生的認知、學習、領悟能力，建立相應的課程評價體系，以促進學生自主學習方式的養(yǎng)成，培養(yǎng)學生良好的學習習慣，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣為原則，促成學生知曉自主研究數(shù)學的方法，能自主做一些基本的探索與簡單的研究，挖掘?qū)W生的潛能，激發(fā)他們分析問題和解決問題的能力。因此，特別從以下兩個方面加強對課程的考評。

1.過程性評價與終結性評價相結合

過程性評價指的是學生的出勤率與課堂表現(xiàn)，占50%，終結性評價指的是學生的學習成果，占50%。兩者成績疊加大于60%即可得學分。本課程設滿分100分。

（1）學時學分：出勤情況占總分20%。滿勤得20分，但一次未出勤扣15分。

（2）課業(yè)學分：占總分30%。