世紀(jì)金榜第十三章第二節(jié)

第二節(jié)圓周角定理與圓的切線1.圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的___________.推論1：同弧(或等弧)所對的圓周角_____.同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_____.推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于_____.90°的圓周角所對的弧為_________________.度數(shù)的一半相等相等90°半圓(或弦為直徑)2.切線的判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的_____.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的_____.推論：經(jīng)過圓心且與切線垂直的直線必經(jīng)過_____.經(jīng)過切點(diǎn)且與切線垂直的直線必經(jīng)過_____.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長_____.切線半徑切點(diǎn)圓心相等3.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的度數(shù)的_____.推論：同弧(或等弧)上的弦切角_____，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角_____.一半相等相等判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)經(jīng)過半徑端點(diǎn)且垂直于半徑的直線一定是圓的切線.()(2)如果兩條弧長相等，那么它們所對的圓心角一定相等.()(3)相等的圓周角所對的弧也一定相等.()(4)弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù).()【解析】(1)錯(cuò)誤.根據(jù)切線判定定理可知，錯(cuò)誤.(2)錯(cuò)誤.必須說明在“同圓或等圓”中，所以錯(cuò)誤.(3)錯(cuò)誤.必須說明在“同圓或等圓”中，所以錯(cuò)誤.(4)錯(cuò)誤.弦切角等于它所夾弧所對的圓周角，所夾的弧的度數(shù)等于所對圓心角的度數(shù)，即所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù)的2倍.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×考向1圓周角定理的應(yīng)用【典例1】(2012·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長至點(diǎn)C，使BD=DC，連結(jié)AC，AE，DE．求證：∠E=∠C.【思路點(diǎn)撥】欲證∠E=∠C，需尋找一個(gè)中間量，因∠B和∠E是同弧所對圓周角，相等；又由AB是圓O的直徑和BD=DC可知AD是線段BC的中垂線，從而可得到∠B=∠C，即∠B為中間量.【規(guī)范解答】連結(jié)AD.∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD.又∵BD=DC，∴AD是線段BC的中垂線，∴AB=AC，∴∠B=∠C.又∵D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，∴∠B=∠E，∴∠E=∠C.【互動(dòng)探究】當(dāng)已知條件中含有“中點(diǎn)”條件時(shí)，可聯(lián)想到“中線”“中位線”等性質(zhì)，上述證法是利用了等腰三角形中的“三線合一”，如從中位線的角度考慮應(yīng)如何證明？【證明】連結(jié)OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC,于是∠ODB=∠C.因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB=∠B，于是∠C=∠B，又∠E=∠B，故∠E=∠C.【拓展提升】1.圓周角定理的應(yīng)用利用圓周角定理證明等量關(guān)系是一類重要的數(shù)學(xué)問題,在解決此類問題時(shí),主要分析圓周角、圓心角、弧之間的關(guān)系,經(jīng)常與三角形聯(lián)系在一起進(jìn)行考查.2.直徑的應(yīng)用在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對的圓周角是直角，所對的弧是半圓，因此在圓中，通常遇直徑則利用直徑所對的圓周角是直角，轉(zhuǎn)化為直角三角形解決問題.【變式備選】如圖，已知，半圓的直徑AB＝6cm，CD是半圓上長為2cm的弦，當(dāng)弦CD在半圓上滑動(dòng)時(shí)，BC與AD相交于E，AC和BD延長線相交于P.試證：∠P＝∠DEB且∠P的度數(shù)是定值.【解析】方法一：∵AB為直徑，∴∠PCB＝∠ADB＝90°.又∠PBC＝∠EBD，∴△PCB∽△EDB，∴∠P＝∠DEB.∵∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠EBA,∴△CED∽△AEB,∴從而說明∠P的度數(shù)是定值.方法二：根據(jù)條件可證∠PCE+∠PDE＝180°，從而P,C,E,D四點(diǎn)共圓，也可得∠P＝∠DEB,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可直接證明△PCD∽△PBA,從而得說明∠P的度數(shù)是定值.考向2切線的性質(zhì)與判定的應(yīng)用【典例2】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，OA＝r.(1)求證：CD是⊙O的切線.(2)求AD·OC的值.(3)若求CD的長.【思路鋪點(diǎn)撥】(1役)要證CD是⊙O的切睬線，裂由于D在⊙O上，稅所以密只需連伴結(jié)OD，證OD棒⊥D沃C即可.(2祖)求AD段·O噸C的值渾，一澤般是繪利用罵相似礦把AD尾·O科C轉(zhuǎn)化驗(yàn)為其蹤蝶他線擋段長的屑乘積顫，若煙其他頁兩條米線段邪長的幼乘積濫能求雪出來麗，則帶可完昆成.(3酷)由AD近·O宿C的值總，茅可求少出OC，根披據(jù)勾胸股定污理即閘可求出CD逝.【規(guī)范莖解答】(1自)連結(jié)OD，∵OC庫∥A惑D，∴倚∠1=羽∠2蜓,云∠A糾=∠雜3.又∵OA蛾=O踐D,蒼∴∠員1=厘∠A蓋,∴∠籍2=目∠3陶.∵O誓D=這OB腰,O內(nèi)C=卻OC謎,∴△姥OC上D≌僚△O爪CB臺(tái).∵B段C為⊙O的切篇線,∴∠拾OD腫C=服∠O曠BC但=9須0°蔑,∴C匠D是⊙O的切卡線.(2隙)連結(jié)BD鑰,∵箏AB為⊙O的直祥徑，鍬∴∠AD辯B＝90覽°.∵∠垮OB糠C＝90治°，∴晌∠AD臟B＝∠OB桐C.又∠A＝∠3，∴委△AD燥B∽慨△O沖BC償,∴瞧∴A微D·償OC棋=O煙B·足AB裙=2桂r2.(3份)由(2滿)知AD跳·O耍C=清2r2，又脅知∴AD，OC是關(guān)臨于x的方弊程山的愈兩根去，解此爐方程倉得∵OC＞r，∴OC＝4r請,∴【拓展聚提升】圓的劣切線殲判定訊的三緣瑞種方撞法(1滋)根據(jù)塵直線扇與圓零有惟疏一公槐共點(diǎn)嶺來判器斷,實(shí)為摔數(shù)形扇結(jié)合遵思想.(2長)已知巖該直危線經(jīng)寨過圓岔周上號(hào)一點(diǎn)笨時(shí)，洪只要豪將此奸點(diǎn)與夜圓心欺連結(jié)動(dòng)，證鈴此半室徑垂菌直于雄直線捷，此城法實(shí)類為判兔定定辱理.(3罰)未知拴直線孟是否哀經(jīng)過澡圓周躬上一仁點(diǎn)時(shí)躲，證遼圓心盟到直忍線的碰距離景等于設(shè)半徑成，此鋪法的襖理論創(chuàng)依據(jù)畢是直呀線與橡圓的脈位置煉關(guān)系性的幾絮何定妙義.【變式非訓(xùn)練】已知礙，如病圖，刻△AB籍C內(nèi)接騾于⊙O，點(diǎn)D在OC的延直長線稈上，∠CA斃D=熔30套°.(1辛)求證土：AD是⊙O的切趙線.(2幸)若OD曾⊥A亮B，BC漫=5，求AD的長.【解析】(1泥)如圖替，連厘結(jié)OA，因?yàn)槊C所囑以∠B=弓30雷°，故∠O=淹60邪°.又OA貞=O毅C，所以螺△AC摩O是等至邊三蛋角形,故∠OA柱C=鞋60是°.因?yàn)槭帯螩A勸D=叉30獲°，所以牙∠OA嚴(yán)D=圈90蒼°,故AD是⊙O的切落線.(2同)∵雁OD圾⊥A泥B，∴OC垂直館平分AB，則AC幻玉=B放C=格5，∴OA昌=5域.在△OA談D中，臣∠OA培D=獵90思°，所以考向3弦切哨角定敘理的意應(yīng)用【典例3】(2展01茫2·遼寧促高考)如圖斑，⊙O和⊙O′相交捆于A，B兩點(diǎn)規(guī)，過A作兩辟圓的疊切線跪分別廢交兩伸圓于C，D兩點(diǎn)喝，連級(jí)結(jié)DB并延抽長交華⊙O于點(diǎn)E.證明雅：(1姨)A傅C·先BD濤=A研B·線AD會(huì).(渠2)唇AC愚=A筋E.【思路竟點(diǎn)撥】根據(jù)齡弦切燥角等奴于圓界周角燒可證篩三角革形相稅似，濟(jì)從而妹得對應(yīng)遍邊成乏比例辰，證烏明第(1科)題;運(yùn)用念三角磚形相舒似及滔比例菜的性徑質(zhì)證明第(2感)題.【規(guī)范冶解答】(1岸)由AC與圓O′相切幣于點(diǎn)A，得盼∠CA隨B=你∠A西DB車;同理，繞∠AC梳B=話∠D枯AB，從而挨△AC輛B∽村△D荷AB，所匪以?AC切·B田D=娘AB宋·A蔥D.(2冰)由AD與圓O相切沃于點(diǎn)A，得姻∠AE院D=克∠B吧AD們.又∠AD雀E=秩∠B儉DA魂,從而擊△EA貍D∽騙△A申BD，所以?AE療·B條D=留AB蒙·A按D，又由(1胸)知，AC慚·B懲D=蘇AB懇·A財(cái)D，所以AC欺·B眾D=守AE獻(xiàn)·B社D?AC蠢=A石E.【互動(dòng)釣探究】本題少第(1尼)題的旅結(jié)論糊提示念了考犁生，史利用匹比例善線段聚證第(2咬)題，灶如無塌此暗濤示，茂連結(jié)CE，則霉線段AE和AC在△AC捆E中，魂能否意利用隆“等鐮角對慕等邊吹”的悠方法秤證之稠？【解析】由條糾件可割得∠BA失D=灶∠A管EB，∠CE苗B=?！螩紅AB潑=∠登AD厲B，從偽而∠AB逢E=誓∠B京AD底+∠唯AD伐B=皇∠A岡EB貪+∠都CE泛B=恨∠A畏EC，又∠AB恩E=鋸∠A護(hù)CE，故懶∠AE事C=京∠A開CE，故AC否=A掛E.【拓展槳提升】圓周押角、槽圓心貧角、鬼弦切篩角的計(jì)關(guān)系弦切皮角定僵理能檢得到黎一個(gè)堪重要塑推論:弦切爪角等武于它均所夾碰的弧笛所對罷的圓班周角.從而濱“圓溝周角苗、圓友心角浴、弦藍(lán)切角升”之鼻間存應(yīng)在著碌密切釀的關(guān)受系,所以艘通常線利用迎這種濃關(guān)系,證兩血三角鵲形相京似,計(jì)算敲角的惕度數(shù)新或由偽比例辣線段黎計(jì)算軍邊長.【提醒】弦切鄰角等惜于它及所夾黎的弧防所對各的圓劃周角砍，這緞一結(jié)粱論在瞇實(shí)際龍應(yīng)用幟中比細(xì)定理樸本身秋更為野常用.【變式母備選】如圖耐，AB是半羊圓O的直舞徑，C是圓倚周上房誠一點(diǎn)(異于A，B)，過C作圓O的切燃線l，過A作直圖線l的垂肯線AD，垂而足為D，AD交半節(jié)圓于嚷點(diǎn)E.求證求：CB碎=C有E.【證明】連結(jié)AC，BE，在DC延長傅線上貸取一炎點(diǎn)F,因?yàn)锳B是半迫圓O的直美徑，C為圓些周上糞一點(diǎn)耗，所體以∠AC棒B=配90°，即先∠BC慰F+∠AC抗D=富90°.又因底為AD⊥l，所將以∠DA灶C+∠AC品D=算90°,所以籍∠BC置F=∠DA哄C.又因揚(yáng)為直布線l是圓O的切往線，饒所以盡∠CE博B=∠BC臭F.又因舒為∠DA禍C=∠CB闊E，所橋以∠CB架E=∠CE愧B，所淹以CE鬧=C鬼B.1.領(lǐng)(2械01盆2·新課趁標(biāo)全緊國卷)如圖盞，D，E分別氣為△AB臥C邊AB，AC的中露點(diǎn)，萌直線DE交△AB紙C的外腿接圓陰于F，G兩點(diǎn)敬，若CF上∥A薪B，證幕明：(1箏)C結(jié)D=紹BC轎.(2卸)△價(jià)BC誕D∽改△G社BD還.【證明】(1姻)因?yàn)镈，E分別喜為AB，AC的中猛點(diǎn)，遷所以DE典∥B扛C.又已撥知CF得∥A知B，故換四邊閘形BC銜FD是平搜行四園邊形裝，所奮以CF有=B叢D=嚼AD握.又CF夫∥A趁D，連唇結(jié)AF，所祥以AD礎(chǔ)CF是平飛行四警邊形續(xù)，故CD＝AF，因泉為CF黑∥A味B，所背以BC板=A易F，故CD終=B亞C.(2耽)因?yàn)镕G字∥B乳C，故GB桐=C凝F.由(1琴)可知BD賄=C療F，所梢以GB糠=B拉D.而∠DG幟B=墻∠E梁FC緩=∠羅DB降C，故卡△BC冒D∽貸△G染BD煎.2.皆(2顧01仔3·南通臟模擬)如圖震，已湯知AD為圓O的直征徑，夾直線BA與圓O相切陷于點(diǎn)A，直線OB與弦AC垂直搜并相剝交于大點(diǎn)G，與博弧AC相交禾于M，連待結(jié)DC，AB敏=1受0，AC罷=1遷2.(1陣)求證找：BA曲·D切C=地GC塘·A踐D.(2濃)求BM尤.【解析】(1亭)因?yàn)锳C隨⊥O早B，所匪以∠AG滅B=豈90移°.又AD是圓O的直網(wǎng)徑，柄所以慮∠DC割A(yù)=轟90闊°.又因斥為∠BA紛G=樣∠A咱DC，所以Rt變△A耕GB及∽R(shí)填t△的DC悟A，所朝以又因軍為OG丑⊥A棋C，所暗以GC狹=A克G，所以結(jié)即BA塊·D捉C=外GC莫·A飲D.(2拆)因?yàn)锳C暢=1些2，所現(xiàn)以AG栗=6裁.因?yàn)锳B辦=1銀0，所口以由(1羨)知，Rt捐△A控GB喘∽R(shí)伏t△驢DC點(diǎn)A，所煮以所以AD飯=1綢5，即挨圓的件直徑2r幻玉=1礙5.又因紗為AB2=B使M·脊(B懸M+轟2r改)，即BM2+1流5B扶M-制10襲0=要0，解得BM戲=5或BM湖=-饑20聚(舍去).即BM的長銀為5.3.如圖嘩，已傲知△AB種C中，AC＝BC，∠CA坐B＝α(定值)，⊙O的圓國心O在AB上，嫂并分拐別與AC，BC相切窩于點(diǎn)P，Q.(1脅)求∠PO拖Q.(2相)設(shè)D是CA延長尚線上累的一艙個(gè)動(dòng)盯點(diǎn)，DE與⊙O相切增于點(diǎn)N，點(diǎn)E在CB的延旦長線舅上，倚試判將斷∠DO容E的大姻小是埋否保果持不恰變，授并說子明理寸由.【解析】(1董)連結(jié)OC終,O搬P,擁OQ稱,∵話AC田,B慣C分別盞切⊙O于P，Q，∴OP遭⊥C食A，OQ丘⊥C啊B，∵CA＝CB，∠AC甩O=刷∠B觸CO，∴CO逆⊥A顯B，∴∠CO慘P＝∠CA鑒B，∠CO咸Q＝∠CB軌A.∵∠悅CA士B＝α，∴益∠PO解Q＝∠CO嘆P＋∠CO屬Q(mào)＝2α俯.(2封)∠績DO尾E保持江不變.由CD，DE，CE都與撐⊙O相切戶得：蛇∠OD非E＝∠CD姻E，∠OE集D＝∠CE助D，∴∠DO律E＝18也0°－(∠釀OD淋E＋∠OE豈D)＝18套0°－＝18茂0°均-［18餅0°－(1勇80棋°－2α宏)］＝18澆0°粗-α林.∴∠鵝DO永E為定紋值.4.鴉(2領(lǐng)01再3·徐州注模擬)如圖緩，在Rt催△A招BC中，懂∠C=夸90灣°，BE平分此∠AB曲C交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE孤⊥E鋪B.(1搏)求證啄：AC是△BD秧E的外學(xué)接圓茄的切巴線.(2顛)若AE己=6，求EC的長.【解析】(1械)取BD的中月點(diǎn)O，連歪結(jié)OE都.∵B么E平分騎∠AB至C，∴則∠CB烈E=嘗∠O惠BE夏.又∵OB記=O指E，∴侮∠OB推E=醉∠B浙EO，∴∠CB紙E=蓄∠B潑EO，∴BC考∥O飼E.∵∠房誠C=衫90量°，∴OE舌⊥A旋C，∴AC是△BD餅E的外冠接圓蹤蝶的切濫線.(2奔)設(shè)⊙O的半薦徑為r，則視在△AO功E中，∴OA慌=2案OE，∴苗∠A=辯30蟲°，∠AO想E=攝60暮°，∴∠CB衣E=綁∠O呆BE乖=3察0°，∴5.如圖葡，△AB趴C內(nèi)接推于⊙O，AB妙=A撇C，直線MN切⊙O于點(diǎn)C，弦BD件∥M弓N，AC與BD相交體于點(diǎn)E.(1噴)求證盜：△AB堤E≌執(zhí)△A圈CD巧.(2嗽)若AB逆=6，BC退=4，求AE榜.【解析】(1親)在△AB談E和△AC反D中，暈∵AB忽=A殘C，∠AB炊E=秘∠A址CD剖.又∠BA業(yè)E=皇∠E平DC，BD豎∥M編N，∴彈∠ED狹C=零∠D恢CN銅.∵直線MN是圓O的切低線，車∴∠DC幕N=海∠C共AD，∴∠BA廁E=添∠C絲式AD，∴免△AB蒜E≌姿△A蛋CD葬.(2旺)∵流BD柔∥M果N,滾∴∠腳EB歌C=竿∠B勾CM，∠BC旨M=惠∠B淹DC，∴輝∠EB穗C=較∠B擇DC嗎=∠且BA丸C，BC叢=C聚D=系4.又∠BE躍C=湊∠B裝AC介+∠擾AB缺E=煎∠E雞BC傭+∠盒AB受E=司∠A黎BC帳=∠眠AC啄B，∴BC熊=B拒E=淘4.設(shè)AE槳=x，易巖證△AB貌E∽楚△D稠CE騙.∴又AE歡·E六C=困BE塞·E掌D，EC選=6倦-x，∴6.如圖課，已康知：C是以AB為直奸徑的星半圓O上一切點(diǎn)，CH擺⊥A底B于點(diǎn)H，直羽線AC與過B點(diǎn)的滅圓O的切愛線相錯(cuò)交于霉點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)脅，連茶結(jié)AE并延貪長交BD于點(diǎn)F，直攤線CF交直榆線AB于點(diǎn)G.(1秧)求證鍬：F是BD的中篩點(diǎn).(2鍵)求證樹：CG是⊙O的切盲線．【證明】(1翼)∵動(dòng)CH漲⊥A李B，DB瓶⊥A繡B，∴位△AE榨H∽洋△A柱FB，△AC悅E∽損△A慚DF澤,∴∵H憶E＝E