高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題12 導(dǎo)數(shù)（文科）解答題30題 教師版

專題12導(dǎo)數(shù)（文科）解答題30題1．（新疆兵團(tuán)地州學(xué)校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值與最小值．【答案】(1)答案見解析；(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）求得，對(duì)參數(shù)的值分類討論，在不同情況下根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可容易判斷對(duì)應(yīng)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求得函數(shù)最值.【詳解】（1），定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)，，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，故在上的最大值為，最小值為.2．（寧夏青銅峽市寧朔中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期未考試數(shù)學(xué)(文)試題）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)在上是減函數(shù)，可知知恒成立，利用參數(shù)分離法,求的最大值即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，．由恒成立可知恒成立，則，設(shè)，則，由，知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，∴．3．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期三模文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)(1)若在時(shí)取得極小值，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若過點(diǎn)可以作出函數(shù)的兩條切線，求證：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的概念可知，可求出的值，并進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)是否取得極小值，由此即可求出結(jié)果.（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合點(diǎn)斜式可求出在切點(diǎn)處的切線方程，將點(diǎn)代入，可得，再令，求出的單調(diào)性，并結(jié)合過點(diǎn)可作的兩條切線，可知方程有兩解，由此可知，即可求證結(jié)果.(1)解：∴，∴當(dāng)時(shí)，令，得∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小值，∴(2)證明：設(shè)切點(diǎn)為，∴切線為，又切線過點(diǎn)，∴∴，(*)設(shè)則∴在單詞遞減，在單調(diào)遞增.∵過點(diǎn)可作的兩條切線，∴方程(*)有兩解∴，由，得∴，即.4．（江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測鞏固卷文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，且，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)．【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)切點(diǎn)既在曲線上又在切線上列方程組解決即可；（2）是的兩個(gè)不同的正根，得，又，令，討論單調(diào)性得即可解決.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為．因?yàn)?，與曲線相切，所以，得．令，則．令，解得，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．所以的解為．所以．（2）因?yàn)椋?，所以是的兩個(gè)不同的正根，即，故，且，所以．因?yàn)?，令，則單調(diào)遞增，且，所以在單調(diào)遞增，故．綜上所述，的取值范圍是．5．（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)若，求c的取值范圍；(2)設(shè)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)；(2)函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.【分析】（1）由題意知，用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可；（2）對(duì)求導(dǎo)得，設(shè)，再用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定的正負(fù)，從而知的單調(diào)性.【詳解】（1）等價(jià)于．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．故，所以，即，所以的取值范圍是；（2）且，因此，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞減，因此有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞增，因此有，即，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.6．（河南省濮陽市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，解不等式可得增區(qū)間，解不等式可得減區(qū)間；（2）先由時(shí)不等式成立，得，再將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，代入可解得結(jié)果.【詳解】（1），，令，得或，令，得或，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）關(guān)于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，得，即，令，，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，令，得,令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即.7．（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三階段性測試（四）文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為－4，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在唯一的，滿足，求a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)【分析】（1）求出可得，由、解不等式可得答案；（2）由得，可得方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)函數(shù)，由或，再解不等式組可得答案．【詳解】（1），由題意知，所以，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由，得，即，根據(jù)已知，可得方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為，所以只需或，解得或，即a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)函數(shù)，然后利用根的分布求解，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.8．（青海省海東市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及函數(shù)值的定義，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式即可求解.（2）利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值及基本不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線平行的條件及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】（1），，則，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）設(shè)，令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值2，即.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值2.因?yàn)椋?，?即，所以直線的方程為，即.9．（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)極大值為；極小值為；(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)可構(gòu)造方程組，消元得到；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，則可確定的唯一解為，代回方程組可求得的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；的極大值為；極小值為.（2）假設(shè)與相切于點(diǎn)，，，即，又，，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即有唯一解：，，解得：.10．（甘肅省天水市田家炳中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文科）試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）利用分離參數(shù)法得到恒成立.令，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出a的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)a=1時(shí)，.導(dǎo)函數(shù).令，解得：；令，解得：.所以函數(shù)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.（2）因?yàn)樵诙x域內(nèi)恒成立，所以恒成立.令，只需.的導(dǎo)函數(shù).令，解得：.列表得：1+-單增極大值單減所以.所以.解得：.所以a的取值范圍為.11．（甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)(文科)試題）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上最小值.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知單調(diào)性，分別在、和三種情況下，根據(jù)單調(diào)性確定最小值點(diǎn)，由此求得最小值.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.，，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解在上的最小值的基本思路是通過分類討論的方式，確定在上的單調(diào)性，由此確定最小值點(diǎn).12．（甘肅省蘭州市第五十七中學(xué)2022-2023學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué)(文科)試題）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)2;(2)見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；（2）令g（x）＝0，得到；設(shè)，通過討論m的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的草圖求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：（1）當(dāng)m＝e時(shí)，，∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是減函數(shù)；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；∴當(dāng)x＝e時(shí)，f（x）取最小值．（2）∵函數(shù)，令g（x）＝0，得；設(shè)，則′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是減函數(shù)；當(dāng)x＝1是（x）的極值點(diǎn)，且是唯一極大值點(diǎn)，∴x＝1是（x）的最大值點(diǎn)；∴（x）的最大值為，又（0）＝0結(jié)合y＝（x）的圖象，可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；當(dāng)或m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，是一道中檔題．13．（陜西省聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的值.【答案】(1)函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，結(jié)合題意，求得a的值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，令得，；令得，或，結(jié)合定義域得，∴函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）①當(dāng)時(shí)，，∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，∴，∴符合題意；②當(dāng)且時(shí)，令得，+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)∴，∴，∴不符合題意，舍去；③若，即時(shí)，在上，∴在上是增函數(shù)，故在上的最大值為，∴不符合題意，舍去，綜合以上可得.14．（2022屆普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一模擬招生考試4月份聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)的最大值為m，證明：.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間.（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.∴，令，得.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.故函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）由，令，得.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.∴.令，則.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.∴，即.15．（全國“星云”大聯(lián)考2022屆高三第三次線上聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若至少有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．附：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；(2).【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)分五種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析得解.【詳解】（1）解：由可得．列表如下：區(qū)間的符號(hào)負(fù)正負(fù)的單調(diào)性遞減遞增遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．（2）解：由題意，，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上，故只可能在上存在零點(diǎn)．又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，在上．因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故符合題意；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，且在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以恰好有三個(gè)零點(diǎn)，故符合題意；（ⅳ）當(dāng)時(shí)，和（ⅱ）理由類似，恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故符合題意；（ⅴ）當(dāng)時(shí)，和（?。├碛深愃疲疃嘀挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，故不符合題意．綜上所述，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，常用的方法有：1、方程法（直接解方程分析得解）；2、圖象法（直接作出函數(shù)的圖象分析得解）；3、方程+圖象法（令得到，再分析函數(shù)的圖象得解）.要根據(jù)已知條件，靈活選擇方法求解.16．（山西省晉城市2022屆高三第三次模擬文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線經(jīng)過第二?四象限且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求a的值.(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程，可得曲線在處的切線方程，結(jié)合題意可知，再根據(jù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，建立方程，即可求出結(jié)果；（2）因?yàn)?，所以，令，求出，?dāng)時(shí)，可知，即可判斷此時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，可知此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用可知在上單調(diào)遞增，可得，由此可知恒成立，由此即可證明結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意可知，，所以，所以曲線在處的切線方程為.因?yàn)榻?jīng)過第二、四象限，所以，即，令，則，令，則，又與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以，又，，解得或.（2）證明：因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞減，則，即成立；當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，綜上所述，恒成立，即當(dāng)時(shí)，成立.17．（內(nèi)蒙古2023屆高三仿真模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式求切線方程即可；（2）分，，兩種情況解決，當(dāng)時(shí)，參數(shù)分離得，設(shè)，得，設(shè)，求導(dǎo)討論單調(diào)性，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即可解決.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以所求切線方程為，即.（2）對(duì)任意的，恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立.①當(dāng)時(shí)，顯然成立.②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.設(shè)，所以.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，又因?yàn)樵谥校?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為.18．（四川省內(nèi)江市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文科）試題）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對(duì)給定的，函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍；【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到只需滿足，解得答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.故函數(shù)在減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）對(duì)給定的，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)取得最小值，故函數(shù)要有零點(diǎn)，則需有，即，故.所以對(duì)給定的，函數(shù)有零點(diǎn)，的取值范圍為.19．（寧夏銀川市賀蘭縣景博中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)(1)若在處有極值，求實(shí)數(shù)的值和極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)，極大值為0；(2)答案見解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由解出實(shí)數(shù)a的值，并代入求出單調(diào)性檢驗(yàn)求出極值即可；（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)即可研究函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，在x=1處取到極值，∴，解得a=1，.當(dāng)0<x<1時(shí)，，則在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因此在x=1處取得極大值，故a的值為1，且極大值為；（2）∵x>0，，當(dāng)a≤0時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，令，令，在(0,a)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.20．（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題）已知在處的切線方程為．(1)求函數(shù)的解析式：(2)是的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，都有．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，令，然后求導(dǎo)得到其在上的最大值，即可得證.【詳解】（1）由題意可得，，且，則，即，即，所以（2）由（1）可知，，所以，令，則，所以時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即21．（四川省成都石室中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一診模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)①若，求實(shí)數(shù)的值；②設(shè)，求證：.【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)①；②見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）①首先根據(jù)題意得到,從而將題意等價(jià)為,再結(jié)合的單調(diào)性分類討論求解即可;②根據(jù)（1）知:,從而得到,再化簡得到,累加即可證明.【詳解】（1）由已知的定義域?yàn)?令,有兩根,因?yàn)椋瑫r(shí),單調(diào)遞減;,時(shí),單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）①因?yàn)?所以等價(jià)于.由（1）知:,當(dāng)時(shí),,故滿足題意.當(dāng)時(shí),時(shí)，單調(diào)遞減，故不滿足題意.當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞增，故不滿足題意.綜上可知：.②證明:由（1）可知:時(shí),,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故當(dāng)時(shí),可得即，即.故故22．（江西省撫州市金溪縣第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期11月段考數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，．(1)設(shè)，當(dāng)a＝3，b＝5時(shí)，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)若g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）代入a，b的值，求的單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)得，研究的單調(diào)性得，再將所證變形為由比值代換法令可轉(zhuǎn)化成，研究的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，，的定義域?yàn)?，∴，令，解得或，令，解得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由得：，令∴在有兩個(gè)交點(diǎn).由得：，由得：∴在上單增，在上單減，又∵，，當(dāng)時(shí)，由于，是方程的實(shí)根，∴，不妨設(shè)由，，∴，，∴，．要證：，只需證：，即證：，即證：．設(shè)，則，代入上式得：．∴只需證：設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，故．【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題的解法(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．23．（廣西柳州市2023屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的值域；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，列表根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可解決；（2），令，則有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，分，兩種情況討論，其中時(shí)，，由于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，得，由，令函數(shù)，求導(dǎo)計(jì)算得即可解決.【詳解】（1）由可知令則，0減極小值增所以無最大值，所以的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，，令，則有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，于是在上單調(diào)遞增.所以，因此在上沒有零點(diǎn)即在上沒有零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令得，在上，在上所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為由于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以因?yàn)?，?duì)于函數(shù)，，所以在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增；所以所以所以由零點(diǎn)存在性定理得時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，可得的取值范圍是.24．（廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，請(qǐng)判斷的符號(hào)，并說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)，理由見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，然后分，和三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）知在上遞增，在上遞減，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1），令，則或，若，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減.（2）當(dāng)，時(shí)，由（1）知在上遞增，在上遞減，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，第（1）問解題的關(guān)鍵是正確分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求得導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)學(xué)分類思想，屬于中檔題.25．（貴州省貴陽市五校2022屆高三年級(jí)聯(lián)合考試（一）數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，無極大值；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意可得，從而可求出的值，然后由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值，（2）由，令，求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值小于等于零即可【詳解】（1）解：定義域：，∵，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，無極大值．（2）證明：由（1）知，令，則，，，，∴，即在上單調(diào)遞減，，∴當(dāng)時(shí)，．26．（貴州省2023屆高三333高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（文）試題）已經(jīng)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求當(dāng)時(shí)，a的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩種情況討論.(2)求出，首先證明只需要求即可.【詳解】（1）(1)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增.(2)時(shí)，時(shí)，時(shí)所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上：時(shí)在單調(diào)遞增時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2），要求，即求設(shè)，則，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以即設(shè)，，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.所以當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，又因?yàn)樗?，所?27．（貴州省貴陽市白云區(qū)2023屆高三上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的極大值為，極小值為(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為.（2）由題意，得，因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以，即在上恒成立，即；令，，則，令，即，得，令，即，得，所以是的極大值，也是的最大值，則.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.28．（山西省運(yùn)城市2022屆高三5月考前適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)（文）試題（A卷））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)值.【答案】(1)減區(qū)間為和，增區(qū)間為(2)4【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性的步驟即可求解；（2）將不等式對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?所以，令，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題得對(duì)任意恒成立，即，即可.設(shè)，，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，又，，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，即，當(dāng)時(shí)，，所以，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也為最小值