結(jié)構(gòu)力學(xué)第四章

●§4-1.結(jié)構(gòu)位移計(jì)算目的●§4-2.結(jié)構(gòu)的外力虛功和虛變形功§4-3.虛功原理§4-4.單位荷載法§4-5.圖乘法及其應(yīng)用§4-6.其他外因引起的位移計(jì)算§4-7.互等定理第四章結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算DisplacementofDeterminateStructures§4-1.結(jié)構(gòu)位移計(jì)算目的一、結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)AFP線位移，角位移，相對(duì)線位移、角位移等統(tǒng)稱廣義位移線位移角位移相對(duì)線位移CDFP相對(duì)角位移制造誤差等鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:

二、計(jì)算位移的目的引起結(jié)構(gòu)位移的原因1、剛度要求如：荷載、溫度改變

T、支座移動(dòng)c、在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。3、理想聯(lián)結(jié)(IdealConstraint)。三、本章位移計(jì)算的假定

(2)超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求疊加原理適用（principleofsuperposition)1、線彈性(LinearElastic),2、小變形(SmallDeformation),§4-2.結(jié)構(gòu)的外力虛功和虛變形功一、功(Work)、實(shí)功(RealWork)和虛功(VirtualWork)兩種狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP/2FP/2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）無關(guān)（虛）位移狀態(tài)q注意：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。（1）屬同一體系；一些基本概念：實(shí)功：廣義力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功功：力×力方向位移之總和廣義力：功的表達(dá)式中，與廣義位移對(duì)應(yīng)的項(xiàng)功：廣義力×廣義位移之總和虛功：廣義力與廣義位移無關(guān)時(shí)所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21變力功微段拉伸微段剪切微段彎曲平面桿系結(jié)構(gòu)k狀態(tài)微段外力、m狀態(tài)的變形為整個(gè)平面桿系結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的虛變形功為微段受力二、結(jié)構(gòu)的虛變形功Ude

=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds§4-3.虛功原理原理的表述：任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功Wex，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和Ude。也即恒有如下虛功方程成立一、變形體的虛功原理Wex=Ude

任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功Wex,恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和Ude。變形體虛功原理的證明:1.利用變形連續(xù)性條件計(jì)算所有微段的外力虛功之和Wex微段外力分為兩部分體系外力相互作用力微段外力功分為兩部分體系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:Wex

=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe2.利用平衡條件計(jì)算所有微段的外力虛功之和Ude微段外力功分為兩部分在剛體位移上的功dWg在變形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:Ude

=∫dWi=δWi微段位移分為兩部分剛體位移變形位移故有Wex

=Ude成立。幾個(gè)問題:1.虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。2.原理的證明表明:原理適用于任何(線性和非線性)的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。3.原理可有兩種應(yīng)用：實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解。實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解。Wex=Ude=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds二、虛功原理的兩個(gè)運(yùn)用

1、虛功原理用于虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與實(shí)際的平衡力狀態(tài)之間。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。解：去掉A端約束并代以反力X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bPX(b)P(c)直線待分析平衡的力狀態(tài)虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)由外力虛功總和為零，即：將代入得:通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無關(guān),故可設(shè)(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。(4)用幾何法來解靜力平衡問題例.求A端支座發(fā)生豎向位移c時(shí)引起C點(diǎn)的豎向位移.

2、虛功原理用于虛設(shè)的平衡力狀態(tài)與實(shí)際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置單位荷載。ABaCbc1ABC由求得：解得：這是單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod(1)所建立的虛功方程,實(shí)質(zhì)上是幾何方程。(2)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力P=1(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。(4)是用靜力平衡法來解幾何問題。虛功方程為：?jiǎn)挝晃灰品ǖ奶摴Ψ匠唐胶夥匠虇挝缓奢d法的虛功方程幾何方程第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為“虛位移原理”，而將第二種應(yīng)用稱為“虛力原理”。

虛位移原理:一個(gè)力系平衡的充分必要條件是:對(duì)任意協(xié)調(diào)位移,虛功方程成立.虛力原理:一個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是:對(duì)任意平衡力系,虛功方程成立”?！?-4.單位荷載法一.單位荷載法求k點(diǎn)豎向位移.由變形體虛功方程:變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(m)平衡的力狀態(tài)(k)Wex=Ude適用于各種桿件體系(線性,非線性).求k點(diǎn)豎向位移.適用于線彈性直桿體系,對(duì)于由線彈性直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：荷載作用下，m換成p注：無支座移動(dòng)例1：已知圖示粱的E、G,求A點(diǎn)的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).l對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲變形相比可略去不計(jì).位移方向是如何確定的?例2：求曲梁B點(diǎn)的豎向位移(EI、EA、GA已知)ROBAP解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示P=1RθPRθ小曲率桿可利用直桿公式近似計(jì)算;軸向變形,剪切變形對(duì)位移的影響可略去不計(jì)在桿件數(shù)量多的情況下,不方便.下面介紹計(jì)算位移的圖乘法.4-5圖乘法及其應(yīng)用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)剛架與梁的位移計(jì)算公式為：一、料圖乘碎法(對(duì)纖于等截面尾桿)(對(duì)橋于直特桿)圖乘從法求仍位移扭公式令為:圖乘鑄法的適用坐條件砍是什么乘?圖乘蹲法是激Ve潤(rùn)re信sh遲ag膨in風(fēng)于19房誠(chéng)25針年提積出的遷，他銷當(dāng)時(shí)為莫攜斯科摔鐵路環(huán)運(yùn)輸砌學(xué)院的學(xué)生。例.匯試殖求圖吳示梁夸B端芹轉(zhuǎn)角歷.解:MPMk為什握么彎鞭矩圖撐在桿件成同側(cè)崖圖乘內(nèi)結(jié)果為唯正?例.凈試克求圖率示結(jié)乒構(gòu)B恩點(diǎn)豎仿向位病移.解:MPMk二、駐幾種蹤蝶常見驅(qū)圖形標(biāo)的面變積和展形心堅(jiān)位置鵲的確觀定方屋法二次拋物線h圖（

）圖BAq例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長(zhǎng)為l)B截面轉(zhuǎn)角解:三、恨圖形鍵分解求MPMi三、季圖形晶分解求MPMi當(dāng)兩嚇個(gè)圖鴉形均為直南線圖充形時(shí)退,取奮那個(gè)圖攤形的槽面積姻均可題.MP三、素圖形期分解求Mi取yc的圖彈形必索須是直線億,不坦能是戒曲線或折籮線.能用Mi圖面垃積乘MP圖豎損標(biāo)嗎籮?三、溪圖形蛇分解求MPMi三、哪圖形丙分解求MPMi三、聞圖形裙分解求C聽截面古豎向撥位移MPMi三、緞圖乘吐法小惜結(jié)1.秩圖惱乘法僑的應(yīng)驗(yàn)用條榨件：（1偷）等券截面裂直桿棋，EI為常虛數(shù)；（2艦）兩耗個(gè)M圖中崖應(yīng)有株一個(gè)僑是直狠線；（3）應(yīng)取自直線圖中。2.若與在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負(fù)值。3.大如傅圖形炎較復(fù)乳雜，貍可分酷解為寫簡(jiǎn)單框圖形傅.例1.已知EI為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移。三、押應(yīng)用泰舉例lqhqMP解：吼作荷脈載彎桶矩圖嶄和單扶位荷集載彎征矩圖例2.已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角。三、隨應(yīng)用端舉例解：作荷嘩載彎嘉矩圖撫和單忽位荷派載彎餡矩圖lqllqMP例認(rèn)3.問已仗知EI為常物數(shù)，單求A洪點(diǎn)豎勁向位訪移詳。三、霸應(yīng)用案舉例解：捏作荷側(cè)載彎宜矩圖黑和單幣位荷準(zhǔn)載彎東矩圖qlllqMP例辟4.旨圖法示梁EI為常授數(shù)，蓋求C點(diǎn)豎污向位俱移。三、宜應(yīng)用使舉例l/2ql/2MP例沿4.羽圖柱示梁EI為常本數(shù)，言求C點(diǎn)豎馳向位談移獄。三、債應(yīng)用廟舉例l/2ql/2MP例交4.填圖及示梁EI為常扔數(shù)，銜求C點(diǎn)豎蔑向位坡移沿。l/2ql/2MP注：盾C處巡壽剪力盼不為付零。lPlPl圖示噸結(jié)構(gòu)EI為常之?dāng)?shù)，縣求AB兩點(diǎn)莫(1瘡)相盜對(duì)豎首向位移,緣瑞(2歐)相遲對(duì)水庭平位盞移,堆(3個(gè))相萄對(duì)轉(zhuǎn)囑角嶺。MP練辱習(xí)1111對(duì)稱盛彎矩疤圖反對(duì)屑稱彎糖矩圖對(duì)稱揉結(jié)構(gòu)艱的對(duì)考稱彎匯矩圖暈與其反古對(duì)稱箱彎矩卷圖圖弟乘,汗結(jié)果為零左.11作變?cè)仔尾堇韴DPP11繪制忘變形息圖時(shí)念，應(yīng)妹根據(jù)尖彎矩沃圖判體斷桿返件的執(zhí)凹凸埋方向苗，注努意反悼彎點(diǎn)殺的利垂用。網(wǎng)如：求B壘點(diǎn)水宮平位議移。練習(xí)解：作荷炒載彎寶矩圖桿和單頸位荷禾載彎尾矩圖MPll注意濱:各龜桿剛何度可能醉不同

已知EI為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移,并畫出變形圖。MP解：逝作荷橋載彎固矩圖昂和單業(yè)位荷戴載彎爐矩圖lq