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內(nèi)蒙古鄂爾多斯市康巴什區(qū)鄂爾多斯一中2023年3月2日線上考試高三數(shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)()的圖象過點,則()A.函數(shù)的值域是 B.點是的一個對稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對稱軸2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.3.如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.4.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]5.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.47.由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.9.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.404010.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.11.平行四邊形中,已知,,點、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.12.已知實數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級為12人,則抽取的樣本容量為________人.14.記復(fù)數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為,已知z=2+i,則_____.15.若復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則________.16.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到一個偶函數(shù)圖象,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.18.(12分)已知在中,角、、的對邊分別為,,,,.(1)若,求的值;(2)若,求的面積.19.(12分)某社區(qū)服務(wù)中心計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶5元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為(單位:瓶)時,的數(shù)學(xué)期望的取值范圍?20.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.21.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,側(cè)棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.22.(10分)已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖像過點,求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)()的圖象過點,可得,即,,,故,對于A,由,則,故A正確;對于B,當(dāng)時,,故B錯誤;對于C,,故C錯誤;對于D,當(dāng)時,,故D錯誤;故選:A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
先利用最高點縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示:由圖可知,該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體,該幾何體的體積為.故選:C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積,考查空間想象能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.5、B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.7、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵.8、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.9、D【解析】
計算,代入等式,根據(jù)化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10、B【解析】,選B11、C【解析】
將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.12、A【解析】
畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù),化為直線,當(dāng)直線過點A時,此時直線在y軸上的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選A.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:【點睛】本題考查了分層抽樣的知識,算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14、3﹣4i【解析】
計算得到z2=(2+i)2=3+4i,再計算得到答案.【詳解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,則.故答案為:3﹣4i.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.15、【解析】
設(shè),代入已知條件進行化簡,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,求得的值.【詳解】設(shè),由,得,所以,所以.故答案為:【點睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù),考查復(fù)數(shù)相等的條件,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)平移后關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱,進而利用特殊值構(gòu)造方程,從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象,即關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱即:本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸,進而利用特殊值的方式來進行求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時,化為,當(dāng)時,不等式化為,無解;當(dāng)時,不等式化為,解得;當(dāng)時,不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為18、(1)7(2)14【解析】
(1)在中,,可得,結(jié)合正弦定理,即可求得答案;(2)根據(jù)余弦定理和三角形面積公式,即可求得答案.【詳解】(1)在中,,,,,,.(2),,,解得,.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理邊化角,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值為300,500,600,結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計算對應(yīng)概率,即得解;(2)由題意得,分,及,分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關(guān)系式,得到對應(yīng)的分布列,分析即得解.【詳解】(1)由題意:X的可能取值為300,500,600故:六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列為300500600(2)由題意得.1°.當(dāng)時,利潤此時利潤的分布列為.2.時,利潤此時利潤的分布列為.綜上的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計綜合,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項公式;(2)利用錯位相減求和法可求出數(shù)列的前項和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因為數(shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結(jié)合可得,∴數(shù)列的通項公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項公式,考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.21、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)中點為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)中點為,連接、,因為,所以.又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因為,所以,,,平面,又平面,平面平面;(2)由于是底面直角三角形的斜邊的中點,所以點是的外心,由(1)知平面,所
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