有限元基礎六

3.4三維單元3.4.1四面體單元a)線性單元b)二次單元c)三次單元4結(jié)點10結(jié)點20結(jié)點注意：角結(jié)點的編碼順序必須符合右手法則，以保證求出的體積為正值。1423142356789101423體積坐標單元體內(nèi)任一點P的體積坐標是且有L1＋L2＋L3＋L4＝1體積坐標積分式為：線性單元：Ni＝Li(i＝1,2,3,4)二次單元：角結(jié)點：棱內(nèi)結(jié)點次單元：角結(jié)點：棱內(nèi)結(jié)點面內(nèi)結(jié)點14235173.4.2Serendipity單元線性單元：8個角結(jié)點二次單元：20結(jié)點角結(jié)點棱內(nèi)結(jié)點：3.4.4三棱柱單元Serendipity棱柱單元：123456713149815111012注意：在三維單元的各個面上，結(jié)點的配置應與同次同類二維單元相同，插值函數(shù)在各個面上應能縮減為相應的二維單元插值公式，在各個棱邊上又能縮減為相應的一維單元插值公式，以保證三維單元能與相應次的二維和一維單元協(xié)調(diào)。3.5階譜單元問題的提出：有限元計算的精度和計算量決定于網(wǎng)格劃分與單元類型的選擇自適應有限元自適應有限元研究包含兩個方面：研究事前（網(wǎng)格生成以后，計算以前）和事后誤差估計的理論與技術(shù)研究修改計算模型（改變單元類型和網(wǎng)格），進行重分析，以提高計算精度的方法誤差事先估計技術(shù)目前還很不成熟誤差事后估計技術(shù)可以比較準確地判斷計算結(jié)果在總體上或在某個局部區(qū)域內(nèi)是否達到預期精度提高計算精度的途徑h方案：加密網(wǎng)格，縮小單元尺寸，增加單元數(shù)量主要困難在于新舊網(wǎng)格間物理量的正確傳遞。適合于采用迭代算法的非線性問題和大變形大位移問題p

方案：升高單元插值函數(shù)的階次，提高單元精度標準Lagrange單元：結(jié)點參數(shù)具有明確的物理意義。插值函數(shù)滿足：Nij＝ijNi=1缺點：當單元階次升高時，插值函數(shù)完全改變階譜單元：當單元階次升高時，已生成的低階單元的剛度等特性矩陣仍能被利用3.5.1一維階譜單元在一維Lagrange單元中，單元內(nèi)場函數(shù)可以表示成：(3.5.1)當單元只有兩個結(jié)點時，插值函數(shù)為：當單元內(nèi)增加結(jié)點3，成為二次單元時，各插值函數(shù)可以寫成：(3.5.3)(3.5.4)將此3個插值函數(shù)代入場函數(shù)表達式(3.5.1)(3.5.5)或改寫為：（3.5.6）其中（3.5.7）注意欠：在階拼譜單羽元中地，由泛于結(jié)援點參朗數(shù)并稀不都責具有濤結(jié)點機函數(shù)房誠值的些物理神意義銷，因粒而原莫標準C0型插幼值函箭數(shù)所碎具有右的性侵質(zhì)也池不再饅保持Hi(j)賄≠ijHp≠申1因此器為區(qū)脫別起壞見，斑稱它槐們?yōu)殡A譜摟函數(shù)，用棄符號H表示但單浪元的轎收斂意性質(zhì)應并未擁改變?nèi)f。階譜男函數(shù)H3在形玩式上致并不摸唯一甩。實篩際上器任何抵能在酬結(jié)點剛1航和竿2易保癥持為伸0浸的沃二次沙函數(shù)泳都是虧可能頂?shù)倪x戰(zhàn)擇，踐當然啦此時渡結(jié)點鴿參數(shù)a3的意凳義也恰將相長應改紫變。當把淺二次消單元甘升階鉗為三刃次單稱元時標準錫單元像：伯調(diào)整還結(jié)點豈3位達置，俊增加丘結(jié)點攜4，錫重新淺構(gòu)造插獸值函部數(shù)N1，N2和N3階譜秒單元誦：掙要求棗保持翅原階蕉譜函距數(shù)H1，H2和H3不變，峽新構(gòu)跳造一忙個三數(shù)次函游數(shù)H4，使棉其在結(jié)點攏1、皇2等聞于零叮。例如忍，可察將H4構(gòu)造乞成（3耗.5服.8處）此時H4(-潑1)來＝H4(1蘭)托＝膽0,H4(0柿)桶＝飼0單元慎函數(shù)遞可用談階譜目函數(shù)首表示鋤為：（3發(fā).5悅.9燭）由則由此嬸可知進一管步還擋可構(gòu)惱造更爪高階譽的階涼譜函鬧數(shù)：與之濁相對遣應的球參數(shù)a5，a6的物芽理意確義就晨更加鴨不明戚確。渾因此論沒有辟必要禮去識紹別這龜些參避數(shù)的近物理糞意義統(tǒng)。階譜短函數(shù)苗的形吐式不紐奉唯一另一所種階頓譜函腸數(shù)的菌形式窄為：由上堆式可撐以得鄭到：此類宜階譜給函數(shù)逝具有治以下吸性質(zhì)陰：于是凝易知ap的物析理意響義：一維延階譜畏單元宴的剛丸度矩毒陣線性兔單元二次剃單元三次脊單元階譜真單元系剛度誘陣解牽耦即