二重積分的計算法

二重積分的計算法目前一頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點一、利用直角坐標計算二重積分二重積分定義為積分和式的極限．如果直接用二重積分的定義去計算它的值，是相當困難的，甚至是不可能的.下面我們根據(jù)二重積分的幾何意義—曲頂柱體的體積來導出二重積分的計算方法.這個方法就是把二重積分的計算轉化為接連計算兩次定積分，即二次積分.目前二頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為A(x)的立體.aV

復習：平行截面面積為已知的立體的體積b目前三頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點二重積分的計算(D是矩形區(qū)域)y0xz

yabcdDD是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

目前四頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點y0xz

yabcdDD是矩形區(qū)域z=f(x,y)

問題：Q(y)是什么圖形？是曲邊梯形。.二重積分的計算(D是矩形區(qū)域).目前五頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點0xz

yyabcdD.Q(y

)=同理，也可以先對y積分.z=f(x,y)D是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

二重積分的計算(D是矩形區(qū)域)目前六頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)cyd

二重積分的計算（D是曲線梯形區(qū)域）目前七頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).y問題：Q(y)是什么圖形？D:(y)x(y)cyd也是曲邊梯形!

.Q(y

)

I=

二重積分的計算（D是曲線梯形區(qū)域）.目前八頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點0xz

yx=(y)ycdD.D:(y)x(y)cyd.Q(y

)

=二重積分的計算（D是曲線梯形區(qū)域）x=(y)z=f(x,y)目前九頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).直角坐標系下計算二重積分［X－型］目前十頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點設函數(shù)

在區(qū)域上連續(xù),且當時，如果區(qū)域是由直線，與曲線所圍成(X

型區(qū)域),如下圖,即目前十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點若D是X型區(qū)域，則積分先Y后X。通常寫成目前十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點把計算二重積分的問題化為計算兩次定積分的問題。x看作是常量，y是積分變量；這是先對，后對的兩次積分(適合于型區(qū)域).第二次積分時計算x是積分變量.

第一次計算定積分D：目前十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點如果積分區(qū)域為：［Y－型］目前十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點類似地，如果D是Y型區(qū)域,可用垂直于軸的平面去截曲頂柱體,此時D為這是先對，后對的兩次積分.目前十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點如果去掉以上結論中關于的限制，則上述結論仍是成立的.幾點說明：則（?。┤魠^(qū)域D是一個矩形，（ⅱ）若函數(shù)可積，且且目前十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點（ⅲ）上面所討論的積分區(qū)域D是

X型或Y型區(qū)域。則例如若不滿足這個條件,可將D分塊.再應用積分的分域可加性來計算.D1D2D3目前十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點由于二重積分歸結于計算兩個定積分,因此計算重積分本身沒有新困難,對于初學者來說,感到困難的是如何根據(jù)區(qū)域D去確定兩次積分的上、下限.定限法則:就型區(qū)域而言后積先定限,域內(nèi)穿射線,先交為下限,后交為上限.如右圖建議：先將區(qū)域D的圖形畫出，再寫出區(qū)域D上的點的坐標所要滿足的不等式以確定積分的上、下限.目前十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解：積分區(qū)域如圖

如果積分區(qū)域既是X-型又是Y-型的，則重積分既可以轉化為先對x后對y的，也可以轉化為先y后x的二次積分（累次積分）目前十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解：積分區(qū)域如圖目前二十頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例1

計算二重積分,其中為矩形：解1

先積再積解2

先積再積目前二十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例2

計算二重積分,其中區(qū)域為矩形：解因為,所以或先積再積目前二十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解：橢圓區(qū)域可表示為因此

例3

計算二重積分.其中積分區(qū)域D

為四分之一橢圓。目前二十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例4

計算二重積分,其中是由三條線所圍成的區(qū)域.解易知積分區(qū)域可表為于是目前二十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點其中例2.3計算二重積分解：先畫出區(qū)域D的圖形，因為xyO-11D1D2目前二十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例5.

計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:

為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束目前二十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例6.

計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結束目前二十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例7.

交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機動目錄上頁下頁返回結束目前二十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例8.

計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束目前二十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解：目前三十頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解：目前三十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結［Y－型］［X－型］目前三十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點21DD:.怎么計算？需使用極坐標系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!0y

xD4D3D1D2目前三十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點所以，用若直角坐標來計算，無法求出例如，計算二重積分需使用極坐標系！目前三十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點積分的變量代換是計算積分的一個有效方法,對二重積分也有類似的方法.在這類方法中極坐標變換最為常用.下面介紹怎樣利用極坐標變換來計算二重積分.在二重積分的計算中,如果積分域是圓域或部分圓域,被積函數(shù)為形式,利用極坐標變換來計算二重積分會十分方便.二、利用極坐標計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結束目前三十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點對應有在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機動目錄上頁下頁返回結束域的面積目前三十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點即機動目錄上頁下頁返回結束下面考慮如何把極坐標系下的二重積分化為二次積分.分三種情況來討論:目前三十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點設則1)極點在D之外2)極點在D的邊界上目前三十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點3)設極點D之內(nèi)機動目錄上頁下頁返回結束若f≡1則可求得D的面積目前三十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:

問的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結束目前四十頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點21D0y

xD:變換到極坐標系.例1計算D:1r202目前四十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例2.11.計算其中解:

在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結束目前四十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解:目前四十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點目前四十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點目前四十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點注:利用例2.11可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例2.11的結果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結束目前四十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解機動目錄上頁下頁返回結束目前四十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點0y

x2a解：例2目前四十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點0y

x12

y=xD例4.目前四十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解：目前五十頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解目前五十一頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例10.I=不分塊兒行嗎？解：不行！2r=–2cosy

xo–1D目前五十二頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例11.

將積分化為極坐標形式r=Ry=RxD1D2.R0y

xD...arctanR.I=I=目前五十三頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點解:目前五十四頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,機動目錄上頁下頁返回結束目前五十五頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例2.13

試用一般變量代換寫出直角坐標變?yōu)闃O坐標的二重積分的公式解：因為代換式為則雅可比行列式為除個別點r=0之外，其他點均有J≠0。所以有目前五十六頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點例

試計算橢球體解:

由對稱性令則D的原象為的體積V.目前五十七頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點內(nèi)容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結束目前五十八頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結束目前五十九頁\總數(shù)六十二頁\編于十八點(3)計算步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分