2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．（5分）已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|log2x≤1}，則M∩N＝（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．（0，3]2．（5分）若a＞0，b＞0，則“ab＜1”是“a+b＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）若tanα＝，則＝（）A．﹣ B．﹣7 C． D．74．（5分）函數(shù)f（x）＝（3x﹣x3）sinx的部分圖象大致為（）A． B． C． D．5．（5分）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．6．（5分）定義方程f（x）＝f'（x）的實(shí)數(shù)根x．叫做函數(shù)f（x）的“躺平點(diǎn)”．若函數(shù)g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平點(diǎn)”分別為α，β，則α，β的大小關(guān)系為（）A．α≥β B．a(chǎn)＞β C．α≤β D．α＜β7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0），直線y＝1與f（x）的圖象在y軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a1，a2，…，ak，ak+1，…，（其中k∈N*），若，則A＝（）A． B．2 C． D．28．（5分）設(shè)數(shù)列{am}（m∈N*），若存在公比為q的等比數(shù)列{bm+1}（m∈N*），使得bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，m，則稱數(shù)列{bm+1}為數(shù)列{am}的“等比分割數(shù)列”，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列{b5}：2，4，8，16，32是數(shù)列{a4}：3，7，12，24的一個(gè)“等比分割數(shù)列” B．若數(shù)列{an}存在“等比分割數(shù)列”{bn+1}，則有a1＜…＜ak﹣1＜ak＜…＜an和b1＜…＜bk﹣1＜bk＜…＜bn＜bn+1成立，其中2≤k≤n，k∈N* C．?dāng)?shù)列{a3}：﹣3，﹣1，2存在“等比分割數(shù)列”{b4} D．?dāng)?shù)列{a10}的通項(xiàng)公式為an＝2n（n＝1，2，…，10），若數(shù)列{a10}的“等比分割數(shù)列”{b11}的首項(xiàng)為1，則公比q∈（2，）二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。（多選）9．（5分）已知實(shí)數(shù)a滿足＝2﹣i（i為虛數(shù)單位），設(shè)復(fù)數(shù)z＝（a+1）+（a﹣1）i，則下列結(jié)論正確的是（）A．z為純虛數(shù) B．z2為虛數(shù) C．z+＝0 D．z?＝4（多選）10．（5分）已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，則b的值可能是（）A．﹣1 B．3 C．2 D．0（多選）11．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sin|x|+|cosx|有下述四個(gè)結(jié)論，則（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）的最小值為﹣1 C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4個(gè)零點(diǎn) D．f（x）在區(qū)間（，π）單調(diào)遞增（多選）12．（5分）如圖，正方形ABCD與正方形DEFC邊長均為1，平面ABCD與平面DEFC互相垂直，P是AE上的一個(gè)動點(diǎn)，則（）A．CP的最小值為 B．當(dāng)P在直線AE上運(yùn)動時(shí)，三棱錐D﹣BPF的體積不變 C．PD+PF的最小值為 D．三棱錐A﹣DCE的外接球表面積為3π三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，若兩個(gè)空，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分，共計(jì)20分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上。13．（5分）已知曲線y＝mex+xlnx在x＝1處的切線方程為y＝3x+n，則n＝．14．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＞0，a3+3a7＝0，則使Sn＞0的最大整數(shù)n的值為．15．（5分）某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)扇形觀景水池，同時(shí)緊貼水池周邊建設(shè)一圈人行步道．要求總預(yù)算費(fèi)用24萬元，水池造價(jià)為每平方米400元，步道造價(jià)為每米1000元（不考慮寬度厚度等因素），則水池面積最大值為平方米．16．（5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1﹣x）＝f（x），則f（x）的最小正周期為；若對任意的x1，x2∈，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有＞π，則關(guān)于x的不等式f（x）≤sinπx在區(qū)間上的解集為．四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（cosx，（cosx﹣sinx）），記f（x）＝?（x∈R）．（1）求f（x）表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥1．18．（12分）在下列條件：①數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且數(shù)列{an2﹣an}為常數(shù)列，②Sn＝（an+n+1）（n∈N*），③a3＝2，Sn+1＝Sn﹣1+1（n≥2，n∈N*）中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，______．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn；（2）設(shè)bk＝（k∈N*），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：Tn＜（n∈N*）．19．（12分）在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，CD＝4．（1）若D為AB的中點(diǎn)，三角形CDE的面積為4，求證：E為CB的中點(diǎn)；（2）若BD＝2AD，求△ABC的面積．20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC＝2，BC＝CD＝1，∠CAD＝30°，∠ACB＝60°，M是PB上一點(diǎn)，且PB＝3MB，N是PC中點(diǎn)．（1）求證：PC⊥BD；（2）若二面角P﹣BC﹣A大小為45°，求棱錐C﹣AMN的體積．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣﹣alnx（a＞0）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x+2sinx，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求證：（1）f'（x）在（0，π）上存在唯一零點(diǎn)；（2）f（x）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．（5分）已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|log2x≤1}，則M∩N＝（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．（0，3]【分析】先化簡集合N，再根據(jù)交集的運(yùn)算即可求出．【解答】解：集合M＝{x|﹣2≤x≤3}＝[﹣2，3]，N＝{x|log2x≤1}＝（0，2]，則M∩N＝（0，2]．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查描述法、區(qū)間的定義，以及對數(shù)不等式的解法和交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若a＞0，b＞0，則“ab＜1”是“a+b＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】判斷充分條件、必要條件時(shí)均可以列舉出滿足條件的數(shù)，或使之不成立的數(shù)．【解答】解：∵a＞0，b＞0，?∵ab＜1，令a＝4，b＝，則a+b＞1，∴充分性不滿足．?當(dāng)a+b＜1時(shí)，0＜a＜1且0＜b＜1，所以ab＜1，∴a＞0，b＞0，ab＜1a+b＜1的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了充分、必要條件的判斷，可以列舉出滿足條件的具體數(shù)進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若tanα＝，則＝（）A．﹣ B．﹣7 C． D．7【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式將用tanα表示，再求值即可．【解答】解：因?yàn)閠anα＝，所以＝＝＝＝7．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）函數(shù)f（x）＝（3x﹣x3）sinx的部分圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念可判斷f（x）為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B，再對比剩下選項(xiàng)，需考慮0＜x＜和＜x＜π時(shí)，f（x）與0的大小關(guān)系即可作出選擇．【解答】解：∵f（﹣x）＝（﹣3x+x3）sin（﹣x）＝（3x﹣x3）sinx＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C；當(dāng)0＜x＜時(shí)，3x﹣x3＞0，sinx＞0，∴f（x）＞0，當(dāng)＜x＜π時(shí)，3x﹣x3＜0，sinx＞0，∴f（x）＜0，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般可從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性或特殊點(diǎn)處的函數(shù)值等方面著手思考，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．【解答】解：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE＝2EF，∴?＝＝＝＝＝＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題．6．（5分）定義方程f（x）＝f'（x）的實(shí)數(shù)根x．叫做函數(shù)f（x）的“躺平點(diǎn)”．若函數(shù)g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平點(diǎn)”分別為α，β，則α，β的大小關(guān)系為（）A．α≥β B．a(chǎn)＞β C．α≤β D．α＜β【分析】對g（x）＝lnx求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性和零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在性定理求出α∈（1，e）；同樣的方法求出β∈（3，4），得到答案．【解答】解：g（x）＝lnx定義域?yàn)椋?，+∞），，由題意得：，令，x∈（0，+∞），則α為函數(shù)的零點(diǎn)，，所以在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，又t（1）＝﹣1＜0，，由零點(diǎn)存在性定理，α∈（1，e）．另外h（x）＝x3﹣1，h'（x）＝3x2，由題意得：β3﹣1＝3β2，令s（x）＝x3﹣1﹣3x2，則β為函數(shù)s（x）＝x3﹣1﹣3x2的零點(diǎn)，s'（x）＝3x2﹣6x，令s'（x）＞0得：x＞2或x＜0，令s'（x）＜0得：0＜x＜2，所以s（x）＝x3﹣1﹣3x2單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），s（x）在x＝0處取得極大值，s（0）＝﹣1＜0，在x＝2處取得極小值，故s（x）在（﹣∞，2）上無零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞增，且s（3）＝27﹣1﹣27＜0，s（4）＝64﹣1﹣48＞0，由零點(diǎn)存在性定理：β∈（3，4）所以α＜β．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查新定義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法，函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用等知識，屬于中等題．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0），直線y＝1與f（x）的圖象在y軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a1，a2，…，ak，ak+1，…，（其中k∈N*），若，則A＝（）A． B．2 C． D．2【分析】由正弦型函數(shù)的圖象易知a2k+1﹣a2k﹣1＝T，結(jié)合條件可得a2k﹣a2k﹣1＝T，設(shè)出頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象找到對應(yīng)比例可求得A．【解答】解：設(shè)函數(shù)周期為T，由直線y＝1與f（x）的圖象在y軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a1，a2，…，ak，ak+1，…，（其中k∈N*），易知a2k+1﹣a2k﹣1＝T，因?yàn)椋?，所以a2k﹣a2k﹣1＝T，令頂點(diǎn)為（m，A），所以m﹣a2k﹣1＝，所以a2k﹣1到左邊零點(diǎn)的距離為，將y＝sinx與y＝Asin（）相對比，確定1與A兩個(gè)最大值的比例，當(dāng)x∈[0，]時(shí)，＝，所以＝＝，所以A＝2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了y＝Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．8．（5分）設(shè)數(shù)列{am}（m∈N*），若存在公比為q的等比數(shù)列{bm+1}（m∈N*），使得bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，m，則稱數(shù)列{bm+1}為數(shù)列{am}的“等比分割數(shù)列”，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列{b5}：2，4，8，16，32是數(shù)列{a4}：3，7，12，24的一個(gè)“等比分割數(shù)列” B．若數(shù)列{an}存在“等比分割數(shù)列”{bn+1}，則有a1＜…＜ak﹣1＜ak＜…＜an和b1＜…＜bk﹣1＜bk＜…＜bn＜bn+1成立，其中2≤k≤n，k∈N* C．?dāng)?shù)列{a3}：﹣3，﹣1，2存在“等比分割數(shù)列”{b4} D．?dāng)?shù)列{a10}的通項(xiàng)公式為an＝2n（n＝1，2，…，10），若數(shù)列{a10}的“等比分割數(shù)列”{b11}的首項(xiàng)為1，則公比q∈（2，）【分析】利用“等比分割數(shù)列”的定義，對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答】解：對于A，數(shù)列{b5}：2，4，8，16，32，數(shù)列{a4}：3，7，12，24，因?yàn)?＜3＜4＜7＜8＜12＜16＜24＜32，所以{b5}是{A4}的一個(gè)“等比分割數(shù)列”，故A正確；對于B，因?yàn)閿?shù)列{an}存在“等比分割數(shù)列”{bn+1}，所以bk＜ak＜bk+1，k＝1，2，…，n，則bk+1＜ak+1＜bk+2，所以bk＜ak＜bk+1＜ak+1，故bk＜bk+1，ak＜ak+1，所以數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}均為單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確；對于C，假設(shè)存在{b4}是{a3}：﹣3，﹣1，2的“等比分割數(shù)列”，所以b1＜﹣3＜b2＜﹣1＜b3＜2＜b4，因?yàn)椹?＜b2＜﹣1，b1＜﹣3，故q＝∈（0，1），q＝∈（0，1），因?yàn)椹?＜b2＜﹣1，所以﹣1＜b3＜0，因?yàn)閎4＜2，則q＝＜0，產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；對于D，{a10}的通項(xiàng)公式為an＝2n（n＝1，2，…，10），{b11}的首項(xiàng)為1，公比為q（q＞1），所以bn＝qn﹣1，n＝1，2，…，11，因?yàn)閎n＜an＜bn+1，n＝1，2，…，10，則qn﹣1＜2n＜qn，n＝1，2，…，10，故2＜q＜，n＝2，…，10，因?yàn)椋疥P(guān)于n單調(diào)遞減，所以2＜q＜，即q∈（2，），故D正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可，屬于難題．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。（多選）9．（5分）已知實(shí)數(shù)a滿足＝2﹣i（i為虛數(shù)單位），設(shè)復(fù)數(shù)z＝（a+1）+（a﹣1）i，則下列結(jié)論正確的是（）A．z為純虛數(shù) B．z2為虛數(shù) C．z+＝0 D．z?＝4【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解．【解答】解：∵＝2﹣i，∴3﹣ai＝（2﹣i）（1+i）＝3+i，∴a＝﹣1，∴z＝﹣2i，∴z為純虛數(shù)，故選項(xiàng)A正確，∴z2＝（﹣2i）2＝﹣4，為實(shí)數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，∴z+＝﹣2i+2i＝0，故選項(xiàng)C正確，∴＝（﹣2i）×2i＝4，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，則b的值可能是（）A．﹣1 B．3 C．2 D．0【分析】由不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，得到Δ＝0，求出b的取值范圍即可．【解答】解：∵不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，∴Δ＝4a2﹣4（b﹣1）＝0，即b＝a2+1≥1，故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sin|x|+|cosx|有下述四個(gè)結(jié)論，則（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）的最小值為﹣1 C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4個(gè)零點(diǎn) D．f（x）在區(qū)間（，π）單調(diào)遞增【分析】利用奇偶性定義可判斷A；由f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cos（x+2π）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），確定2π為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，求出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)的最小值，可判斷B；由于函數(shù)為偶函數(shù)，故研究x∈[0，2π]時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)情況，從而可得[﹣2π，2π]函數(shù)零點(diǎn)情況，可判斷C；確定（，π）上函數(shù)的解析式，可判斷D．【解答】解：對于A，函數(shù)定義域?yàn)镽，f（﹣x）＝sin|﹣x|+|cos（﹣x）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，故A正確；對于B，f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cos（x+2π）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），所以2π是函數(shù)f（x）＝sin|x|+|cosx|的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f（x）的最小值為1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f（x）的最小值為﹣1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f（x）的最小值為﹣1，所以f（x）的最小值為﹣1，故B正確；對于C，當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）＝，令f（x）＝0，可得x＝，，又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）[﹣2π，2π]上有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，sin|x|＝sinx，|cosx|＝﹣cosx|，則，當(dāng)，所以函數(shù)f（x）在上不具備單調(diào)性，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值等相關(guān)知識，屬于中檔題．（多選）12．（5分）如圖，正方形ABCD與正方形DEFC邊長均為1，平面ABCD與平面DEFC互相垂直，P是AE上的一個(gè)動點(diǎn)，則（）A．CP的最小值為 B．當(dāng)P在直線AE上運(yùn)動時(shí)，三棱錐D﹣BPF的體積不變 C．PD+PF的最小值為 D．三棱錐A﹣DCE的外接球表面積為3π【分析】由題可知，可判斷A；根據(jù)條件可知△PBF的面積不變，D到平面PBF的距離也不變，可判斷B；將△ADE翻折到與平面ABFE共面，即可判斷C；由正方體的性質(zhì)可判斷D．【解答】解：對于A，連接DP，CP，易得，故A錯(cuò)誤；對于B，P在直線AE上運(yùn)動時(shí)，△PBF的面積不變，D到平面PBF的距離也不變，故三棱錐D﹣BPF的體積不變，故B正確；對于C，如圖，將△ADE翻折到與平面ABFE共面，則當(dāng)D、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PF取得最小值，故C錯(cuò)誤；對于D，將該幾何體補(bǔ)成正方體，則外接球半徑為，外接球表面積為3π，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評】本題主要考查立體幾何中的最值問題，錐體體積的計(jì)算，錐體的外接球問題等知識，屬于中等題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，若兩個(gè)空，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分，共計(jì)20分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上。13．（5分）已知曲線y＝mex+xlnx在x＝1處的切線方程為y＝3x+n，則n＝﹣1．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值為3求得m值，然后利用函數(shù)在x＝1時(shí)的函數(shù)值相等列式求解n．【解答】解：由y＝mex+xlnx，得y′＝mex+lnx+1，則y′|x＝1＝me+1＝3，即me＝2，又me＝3+n，∴3+n＝2，即n＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＞0，a3+3a7＝0，則使Sn＞0的最大整數(shù)n的值為10．【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出a1＝﹣5d，d＜0，從而Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，由此能求出使Sn＞0的最大整數(shù)n的值．【解答】解：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＞0，a3+3a7＝0，∴a1+2d+3（a1+6d）＝0，解得a1＝﹣5d，d＜0，∴Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，∵d＜0，n＞0，∴Sn＞0時(shí)，n＜11，∴使Sn＞0的最大整數(shù)n的值為10．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的運(yùn)算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（5分）某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)扇形觀景水池，同時(shí)緊貼水池周邊建設(shè)一圈人行步道．要求總預(yù)算費(fèi)用24萬元，水池造價(jià)為每平方米400元，步道造價(jià)為每米1000元（不考慮寬度厚度等因素），則水池面積最大值為400平方米．【分析】求出扇形的面積，得到關(guān)于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面積的最大值．【解答】解：由題意，扇形的弧長AB為l＝θr，扇形的面積為S＝θr2，由題意400×θr2+1000（2r+θr）≤24×104；化簡得θr2+5（2r+θr）≤1200（*）；又θr+2r≥2，所以θr2+10≤1200；設(shè)t＝，t＞0，則+10t≤1200，解得﹣60≤t≤40，所以當(dāng)θr＝2r＝40時(shí)，面積S＝θr2的最大值為400．故答案為：400．【點(diǎn)評】本題考查了利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查了扇形的面積，考查了基本不等式運(yùn)用以及最值的計(jì)算問題，是中檔題．16．（5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1﹣x）＝f（x），則f（x）的最小正周期為2；若對任意的x1，x2∈，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有＞π，則關(guān)于x的不等式f（x）≤sinπx在區(qū)間上的解集為．【分析】利用奇函數(shù)的定義結(jié)合已知的恒等式，可得f（2﹣x）＝f（﹣x），利用周期的定義即可得到答案；將已知的不等式變形，利用函數(shù)單調(diào)性的定義得到函數(shù)y＝f（x）﹣πx在上為增函數(shù)，從而f（x）﹣πx≥0，令g（x）＝sinπx，由y＝sinπx﹣πx是單調(diào)遞減函數(shù)，得到g（x）﹣πx≤0，從而f（x）≥g（x），作出f（x）與g（x）的圖像，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)閒（1﹣x）＝f（x），且f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），則f（1﹣x）＝﹣f（﹣x），則f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x）＝f（﹣x），所以f（x）的最小正周期為2；因?yàn)閷θ我獾膞1，x2∈，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有＞π，不妨設(shè)x1＞x2，則f（x1）﹣f（x2）＞πx1﹣πx2，故f（x1）﹣πx1＞f（x2）﹣πx2，故函數(shù)y＝f（x）﹣πx在上為增函數(shù)，所以當(dāng)x∈時(shí)，f（x）﹣πx≥f（0）﹣π×0＝0，令g（x）＝sinπx，則y＝sinπx﹣πx，因?yàn)閥'＝πcosπx﹣π≤0，所以y＝sinπx﹣πx是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，g（x）﹣πx＝sinπx﹣πx≤g（0）﹣0＝0，即當(dāng)x∈時(shí)，f（x）﹣πx≥g（x）﹣πx，故f（x）≥g（x），由對稱性以及周期性作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖所示，所以f（x）≤sinπx在區(qū)間上的解集為．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的周期性以及奇偶性定義的理解與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（cosx，（cosx﹣sinx）），記f（x）＝?（x∈R）．（1）求f（x）表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥1．【分析】（1）由向量的數(shù)量積運(yùn)算以及三角恒等變換化簡，得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)，整體代換可得不等式的解集．【解答】解：（1）因?yàn)?，，＝＝＝，所以；?）由（1）得2，所以，即，解得，所以不等式解集為．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）在下列條件：①數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且數(shù)列{an2﹣an}為常數(shù)列，②Sn＝（an+n+1）（n∈N*），③a3＝2，Sn+1＝Sn﹣1+1（n≥2，n∈N*）中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，______．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn；（2）設(shè)bk＝（k∈N*），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：Tn＜（n∈N*）．【分析】（1）選條件①時(shí)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列的構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的和；選條件②時(shí)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列的構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的和；選條件③時(shí)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列的構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的和；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法和放縮法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）選條件①時(shí)，數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且數(shù)列{an2﹣an}為常數(shù)列，所以，解得an＝2或an＝﹣1；所以數(shù)列{an}為2，﹣1，2，﹣1，2，﹣1，，所以an+an﹣1＝1（n≥2），即an＝﹣an﹣1+1（n≥2），整理得（n≥2），所以，故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列；所以，整理得；故．選條件②時(shí)，Sn＝（an+n+1），所以，上面兩式相減得：，整理得an＝﹣an﹣1+1（n≥2），整理得（n≥2），所以，故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列；所以，整理得；故．選條件③時(shí)，a3＝2，Sn+1＝Sn﹣1+1（n≥2，n∈N*）中，轉(zhuǎn)換為Sn+1﹣Sn﹣1＝1（常數(shù)），即an+1+an＝1，所以所以an+an﹣1＝1（n≥2），即an＝﹣an﹣1+1（n≥2），整理得（n≥2），所以，故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列；所以，整理得；故．（2）由（1）得：，，所以：，所以＝．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和，分組法的求和，裂項(xiàng)相消法和放縮法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．19．（12分）在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，CD＝4．（1）若D為AB的中點(diǎn)，三角形CDE的面積為4，求證：E為CB的中點(diǎn)；（2）若BD＝2AD，求△ABC的面積．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)證明即可，（2）設(shè)出AD的長，再在三角形CFD中應(yīng)用勾股定理求解出AD，再求AB及面積即可．【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中點(diǎn)，∴CD是△ABC的中線，角平分線，高線，∴CD⊥AB，CD＝AD，∴S△BCD＝＝8，又S△CDE＝4＝，∴E為CB中點(diǎn)．解：（2）作CF⊥AB于F，∴∠AFC＝∠BCF＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF＝BF＝AF＝，在直角三角形CFD中，CD2＝CF2+DF2＝CF2+（AF﹣AD）2，設(shè)AD＝x，∴BD＝2AD＝2x．∴AB＝AD+BD＝3x，∴CF＝AF＝BF＝AB＝，∴CD2＝CF2+（AF﹣AD）2，∴42＝（）2+（）2，解得x＝，則AB＝，CF＝，∴S△ABC＝AB?CF＝＝．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，及勾股定理，屬于中檔題．20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC＝2，BC＝CD＝1，∠CAD＝30°，∠ACB＝60°，M是PB上一點(diǎn)，且PB＝3MB，N是PC中點(diǎn)．（1）求證：PC⊥BD；（2）若二面角P﹣BC﹣A大小為45°，求棱錐C﹣AMN的體積．【分析】（1）只要證明BD垂直于PC在平面ABCD內(nèi)的投影AC即可；（2）用等體積法求解．【解答】（1）證明：因?yàn)锳C＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，AC＝2，所以AB2＝BC2+AC2﹣2?BC?AC?cos60°，整理得AC2＝AB2+BC2，所以AB⊥BC，因?yàn)镃D＝1，∠CAD＝30°，AC＝2，所以，所以sin∠ADC＝1，所以∠ADC＝90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD＝∠ACB＝60°，所以BD⊥AC，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD內(nèi)投影是AC，所以PC⊥BD．（2）解：由（1）知BD⊥平面PAC，設(shè)點(diǎn)M到平面PAC距離為h，因?yàn)锽O＝BC?sin60°＝，又因?yàn)镻B＝3MB，所以h＝BO＝，因?yàn)镻B在平面ABCD內(nèi)的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角，所以∠PBA＝45°，所以PA＝AB＝AC?sin60°＝，＝＝．【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了四面體體積問題，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣﹣alnx（a＞0）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令f′（x）＝0，然后分0＜a≤4及a＞4討論導(dǎo)函數(shù)與零的關(guān)系，進(jìn)而得到單調(diào)性情況；（2）依題意，，則原不等式可轉(zhuǎn)化為，令，求出h（a）的最小值即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1），令f′（x）＝0，則a