2021-2022學(xué)年河南省鄭州市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年河南省鄭州市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）不等式x2+x﹣12＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）2．（5分）在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1﹣an＝2（n∈N*），則a25的值為（）A．49 B．50 C．89 D．993．（5分）已知x＞0，函數(shù)y＝x+的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a5+a7+a9＝18，則其前13項(xiàng)的和是（）A．45 B．56 C．65 D．785．（5分）關(guān)于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），則關(guān)于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）6．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．＜ B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)c2＜bc2 D．a(chǎn)2＞ab＞b27．（5分）若對任意的實(shí)數(shù)x，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（0，4） B．[0，4） C．（0，+∞） D．[0，+∞）8．（5分）△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝（）A． B． C． D．9．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，則△ABC的面積為（）A．3 B． C． D．310．（5分）設(shè)x＞0，y＞0，若是9x與3y的等比中項(xiàng)，則xy的最大值為（）A． B． C． D．11．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N*），則a8＝（）A．32 B．64 C．128 D．25612．（5分）設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[﹣3.14]＝﹣4，[3.14]＝3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝an+n+1（n∈N*），則＝（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知x，y滿足，則z＝2x﹣3y的最小值為．14．（5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b+c＝2a，3sinA＝5sinB，則角C＝．15．（5分）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn+an＝2，則S5＝．16．（5分）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b+ab＝3，則2a+b的最小值為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知{an}為等差數(shù)列，且a3＝﹣6，a6＝0．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝﹣8，b2＝a1+a2+a3，求{bn}的前n項(xiàng)和公式．18．（12分）已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對的邊，且c＝2，C＝．（1）若△ABC的面積等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）＝2sin2A，求A的值．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時，求f（x）的最小值及相應(yīng)x的值．20．（12分）設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a2＝b2＝3，a3＝b5＝9．（1）若，數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，求k的值；（2）設(shè)dn＝an?bn，求數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和Tn．21．（12分）在△ABC中，已知＝，且cos（A﹣B）+cosC＝1﹣cos2C．（1）試確定△ABC的形狀；（2）求的值．22．（12分）（1）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2（a為常數(shù)），求不等式f（x）＞0的解集；（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，對任意的x∈R，y∈R，x2+8y2≥λy（x+y）+2x恒成立，若存在求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍，若不存在，試說明理由．

2021-2022學(xué)年河南省鄭州市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）不等式x2+x﹣12＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）【分析】把不等式化為（x+4）（x﹣3）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2+x﹣12＜0可化為（x+4）（x﹣3）＜0，解得﹣4＜x＜3，所以不等式的解集為（﹣4，3）．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．（5分）在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1﹣an＝2（n∈N*），則a25的值為（）A．49 B．50 C．89 D．99【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：∵a1＝1，an+1﹣an＝2（n∈N*），∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則a25＝1+2×（25﹣1）＝49．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3．（5分）已知x＞0，函數(shù)y＝x+的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴函數(shù)y＝x+≥＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，x＝3時取等號，∴y的最小值是6．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a5+a7+a9＝18，則其前13項(xiàng)的和是（）A．45 B．56 C．65 D．78【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得a5+a7+a9＝3a7＝18，從而a7＝6，由此能求出該數(shù)列的前13項(xiàng)之和．【解答】解：∵在等差數(shù)列{an}中，a5+a7+a9＝18，∴a5+a7+a9＝3a7＝18，解得a7＝6，∴該數(shù)列的前13項(xiàng)之和：S13＝×（a1+a13）＝13a7＝13×6＝78，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前13項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算與求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5．（5分）關(guān)于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），則關(guān)于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）【分析】由一元一次不等式的解法得：b＝2a∈（﹣∞，0），由二次不等式的解法得：關(guān)于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＜0，可變形為（x+2）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣2或x＞3，即不等式的解集為：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），得解【解答】解：由關(guān)于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），得b＝2a∈（﹣∞，0），則關(guān)于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＜0，可變形為（x+2）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣2或x＞3，即不等式的解集為：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的解法及二次不等式的解法，屬中檔題6．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．＜ B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)c2＜bc2 D．a(chǎn)2＞ab＞b2【分析】結(jié)合已知中a＜b＜0，及不等式的基本性質(zhì)，逐一分析四個答案的正誤，可得結(jié)論．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＜，即＞，故A錯誤；ab＞b2，故B錯誤；當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，故C錯誤；a2＞ab＞b2，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題是不等式基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．7．（5分）若對任意的實(shí)數(shù)x，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（0，4） B．[0，4） C．（0，+∞） D．[0，+∞）【分析】依題意，對k分k＝0與k＞0兩類討論，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵對任意的實(shí)數(shù)x，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，∴k＝0或k＞0；∴①當(dāng)k＝0時，kx2﹣kx+1＝1＞0恒成立，即k＝0適合題意；②當(dāng)k＞0時，須滿足Δ＝（﹣k）2﹣4k＜0，解得0＜k＜4；綜合①②，得k的取值范圍是[0，4），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查不等式的恒成立問題，考查分類討論思想和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．8．（5分）△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝（）A． B． C． D．【分析】由已知及正弦定理可得sinC＝＝，又AB＜AC，利用大邊對大角可得C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，∴由正弦定理可得：sinC＝＝＝，又∵AB＜AC，C為銳角，∴cosC＝＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，則△ABC的面積為（）A．3 B． C． D．3【分析】根據(jù)條件進(jìn)行化簡，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵c2＝（a﹣b）2+6，∴c2＝a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2＝2ab﹣6，∵C＝，∴cos＝＝＝，解得ab＝6，則三角形的面積S＝absinC＝＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的面積的計(jì)算，根據(jù)余弦定理求出ab＝6是解決本題的關(guān)鍵．10．（5分）設(shè)x＞0，y＞0，若是9x與3y的等比中項(xiàng)，則xy的最大值為（）A． B． C． D．【分析】x＞0，y＞0，是9x與3y的等比中項(xiàng)，可得9x?3y＝3，即2x+y＝1，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：x＞0，y＞0，∵是9x與3y的等比中項(xiàng)，∴9x?3y＝3，∴2x+y＝1，∴1，化為：xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝時取等號．則xy的最大值為．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N*），則a8＝（）A．32 B．64 C．128 D．256【分析】由已知數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列{Sn﹣1}，求其通項(xiàng)公式得到Sn，再由a8＝S8﹣S7求解．【解答】解：由a1＝2，得S1＝2，又Sn+1＝2Sn﹣1，∴Sn+1﹣1＝2（Sn﹣1），∴，即數(shù)列{Sn﹣1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，則．∴．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．12．（5分）設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[﹣3.14]＝﹣4，[3.14]＝3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝an+n+1（n∈N*），則＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把已知數(shù)列遞推式變形，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消求和，即可求得答案．【解答】解：因?yàn)閍n+1＝an+n+1（n∈N*），所以an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+???+（a2﹣a1）+a1＝，所以，所以＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知x，y滿足，則z＝2x﹣3y的最小值為﹣6．【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合平移直線，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直線在y軸上的截距的相反數(shù)的倍，平移直線2x﹣3y＝0，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)（0，2）時，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案為：﹣6．【點(diǎn)評】本題考查線性規(guī)劃的運(yùn)用，考查平移法求最值的方法，數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b+c＝2a，3sinA＝5sinB，則角C＝．【分析】由3sinA＝5sinB，根據(jù)正弦定理，可得3a＝5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA＝5sinB，∴由正弦定理，可得3a＝5b，∴a＝∵b+c＝2a，∴c＝∴cosC＝＝﹣∵C∈（0，π）∴C＝故答案為：【點(diǎn)評】本題考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn+an＝2，則S5＝．【分析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．【解答】解：由Sn+an＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且Sn﹣1+an﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且．∴．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．16．（5分）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b+ab＝3，則2a+b的最小值為4．【分析】由已知可知2a+b＝2（a+1）+（b+1）﹣3，然后結(jié)合已知利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵a+b+ab＝（a+1）（b+1）﹣1＝3，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即a＝，b＝2時等號成立．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知{an}為等差數(shù)列，且a3＝﹣6，a6＝0．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝﹣8，b2＝a1+a2+a3，求{bn}的前n項(xiàng)和公式．【分析】（1）由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公差，進(jìn)一步求得{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得b2，進(jìn)一步求得公比，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得答案．【解答】解：（1）在等差數(shù)列{an}中，由a3＝﹣6，a6＝0，得d＝，∴an＝a6+（n﹣6）d＝2n﹣12；（2）在等比數(shù)列{bn}中，b1＝﹣8，b2＝a1+a2+a3＝﹣10+（﹣8）+（﹣6）＝﹣24，∴q＝，∴{bn}的前n項(xiàng)和公式．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．18．（12分）已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對的邊，且c＝2，C＝．（1）若△ABC的面積等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）＝2sin2A，求A的值．【分析】（1）c＝2，C＝，由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，即4＝a2+b2﹣ab，利用三角形面積計(jì)算公式＝，即ab＝4．聯(lián)立解出即可．（2）由sinC＝sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）＝2sin2A，可得2sinBcosA＝4sinAcosA．當(dāng)cosA＝0時，解得A＝；當(dāng)cosA≠0時，sinB＝2sinA，由正弦定理可得：b＝2a，聯(lián)立解得即可．【解答】解：（1）∵c＝2，C＝，由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，∴4＝a2+b2﹣ab，∵＝，化為ab＝4．聯(lián)立，解得a＝2，b＝2．（2）∵sinC＝sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）＝2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）＝2sin2A，2sinBcosA＝4sinAcosA，當(dāng)cosA＝0時，解得A＝；當(dāng)cosA≠0時，sinB＝2sinA，由正弦定理可得：b＝2a，聯(lián)立，解得，b＝，∴b2＝a2+c2，∴，又，∴．綜上可得：A＝或．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時，求f（x）的最小值及相應(yīng)x的值．【分析】（1）由分式不等式的解法得：因?yàn)閒（x）≥1，所以，所以，解得：1＜x≤2或x≥3，故不等式f（x）≥1的解集為：（1，2]∪[3，+∞）（2）重要不等式求函數(shù)的最值得：當(dāng)x∈（1，+∞）時，令x﹣1＝t，則t＞0，則＝t﹣2，又當(dāng)t＞0時，t﹣2﹣2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝即t＝即x＝1+時取等號，得解【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）≥1，所以，移項(xiàng)通分得所以，解得：1＜x≤2或x≥3，故不等式f（x）≥1的解集為：（1，2]∪[3，+∞）（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時，令x﹣1＝t，則t＞0，則＝t﹣2，又當(dāng)t＞0時，t﹣2﹣2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝即t＝即x＝1+時取等號，故f（x）的最小值為2﹣2，此時x＝1【點(diǎn)評】本題考查了分式不等式的解法及利用重要不等式求函數(shù)的最值，屬中檔題20．（12分）設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a2＝b2＝3，a3＝b5＝9．（1）若，數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，求k的值；（2）設(shè)dn＝an?bn，求數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)等比為q的數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公差為d的數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a2＝b2＝3，a3＝b5＝9．所以，解得a1＝1，b1＝1，q＝3，d＝2，所以．，所以＝．令cn+1﹣cn＞0，即4n2﹣6n﹣1＜0，解得n＝1，當(dāng)n≥2時cn+1﹣cn＜0，此時數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，即k＝2．（2）由于，所以dn＝an?bn＝（2n﹣1）?3n﹣1，所以①，3②①﹣②得：，解得【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．21．（12分）在△ABC中，已知＝，且cos（A﹣B）+cosC＝1﹣cos2C．（1）試確定△ABC的形狀；（2）求的值．【分析】（1）利用和差化積公式和二倍角公式對cos2C+cosC＝1﹣cos（A﹣B）整理求得sinAsinB＝sin2C，利用正弦定理換成邊的關(guān)系，同時利用正弦定理把（b+a）（sinB﹣sinA）＝asinB角的正弦轉(zhuǎn)化成邊的問題，然后聯(lián)立方程求得b2＝a2+c2，推斷出三角形為直角三角形．（2）利用正弦定理化簡所求式子，將C的度數(shù)代入，用A表示出B，整理后利用余弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．【解答】解：（1）由cos（A﹣B）+cosC＝1﹣cos2C可得cos2C+cosC＝1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）＝1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）＝2sin2C，即sinAsinB＝sin2C，根據(jù)正弦定理，ab＝c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）＝asinB可知b2﹣a2＝ab，②，由①②得b2＝a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B＝90°；（2）b2﹣a2＝ab，可得，所以，ab＝c2，可得＝，＝．則的值：．【點(diǎn)評】本題主