2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知A（3，5），B（1，7），則直線AB的傾斜角大小是（）A．45° B．60° C．120° D．135°2．（5分）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是（）A．（0，2，1） B．（2，1，0） C．（0，1，﹣3） D．（2，0，﹣3）3．（5分）拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B．（1，0） C． D．（0，1）4．（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A．3盞 B．7盞 C．9盞 D．11盞5．（5分）圓C1：x2+y2＝16與圓C2：（x﹣4）2+（y+3）2＝1的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切6．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，則異面直線OB1與A1D所成角的大小為（）A． B． C． D．7．（5分）已知曲線C：mx2+ny2＝1，則下列結(jié)論正確的是（）A．若m＝0，n＝1，則C是兩條直線，都平行于y軸 B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為 C．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上 D．若m＞0，n＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為8．（5分）已知{an}是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且a1≥5，若a1+a2+?+an＝300，則n的最大值為（）A．18 B．19 C．20 D．21二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，若＝（0，1，﹣1），＝（4，3，2），＝（3，0，﹣4），則（）A．AB⊥AP B．BC⊥AP C． D．（多選）10．（5分）已知直線l：ax+by＝r2與圓C：x2+y2＝r2（r＞0），則下列結(jié)論正確的是（）A．若點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交 B．若點(diǎn)P（a，b）在圓C外，則直線l與圓C相離 C．若直線l與圓C相切，則點(diǎn)P（a，b）在直線l上 D．若直線l與圓C相離，則點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)（多選）11．（5分）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則（）A．是等差數(shù)列 B．{an+1﹣an}是等差數(shù)列 C．{log3an}等比數(shù)列 D．{anan+1}是等比數(shù)列（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．若點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離為2，則點(diǎn)N的軌跡所圍成圖形的面積為3π B．若直線MN與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓 C．若直線MN與直線BC所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線 D．若點(diǎn)N到直線CC1的距離與點(diǎn)N到直線AD的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝2﹣），則a5＝．14．（5分）已知直線l1：ax﹣y+1＝0與l2：（a﹣2）x+ay﹣1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為．15．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝3，則點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為．16．（5分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方．若線段PF的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，1），B（3，3），C（2，0）．（1）求△ABC的面積；（2）判斷O，A，B，C四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說明理由．18．（12分）在①a3+b3＝9；②a2+b3＝a4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．問題：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a2+b2＝5，．（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．19．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，△PAC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，．（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為8，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，點(diǎn)G在PB上，且．（1）求證：AG∥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值．22．（12分）已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)A（2，3）．（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AB⊥MN，B為垂足．是否存在定點(diǎn)Q，使得|BQ|為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知A（3，5），B（1，7），則直線AB的傾斜角大小是（）A．45° B．60° C．120° D．135°【分析】先求出直線AB的斜率，從而求出直線AB的傾斜角．【解答】解：∵A（3，5），B（1，7），∴kAB＝＝﹣1，則直線AB的傾斜角大小是135°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角問題，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是（）A．（0，2，1） B．（2，1，0） C．（0，1，﹣3） D．（2，0，﹣3）【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的選項(xiàng)．【解答】解：∵，∴在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是（2，1，0）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B．（1，0） C． D．（0，1）【分析】直接利用拋物線方程，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A．3盞 B．7盞 C．9盞 D．11盞【分析】由已知從上向下燈的數(shù)目構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求．【解答】解：設(shè)塔的頂層共有燈a1，從上向下燈的數(shù)目構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，由題意得，＝381，解得，a1＝3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等數(shù)列的求和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）圓C1：x2+y2＝16與圓C2：（x﹣4）2+（y+3）2＝1的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【分析】根據(jù)題意，分析兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓C1：x2+y2＝16，其圓心為（0，0），半徑r＝4，圓C2：（x﹣4）2+（y+3）2＝1，其圓心為（4，﹣3），半徑R＝1，有圓心距|C1C2|＝＝5＝r+R，則兩圓外切，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，則異面直線OB1與A1D所成角的大小為（）A． B． C． D．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可求出異面直線OB1與A1D所成的角．【解答】解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則O（1，1，0），B1（2，2，2），A1（2，0，2），D（0，0，0），∴＝（1，1，2），＝（﹣2，0，﹣2），∴cos＜，＞＝＝﹣，設(shè)異面直線OB1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝|cos＜，＞|＝，∴異面直線OB1與A1D所成角的大小，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線所成的角，考查了空間向量的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．（5分）已知曲線C：mx2+ny2＝1，則下列結(jié)論正確的是（）A．若m＝0，n＝1，則C是兩條直線，都平行于y軸 B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為 C．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上 D．若m＞0，n＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為【分析】逐項(xiàng)運(yùn)算判斷即可．【解答】解：若m＝0，n＝1，則mx2+ny2＝1可化為y2＝1，所以y＝±1，故C是兩條直線，都平行于x軸，故A錯(cuò)誤；若m＝n＞0，方程化為x2+y2＝，則C是圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤；若m＞n＞0，則mx2+ny2＝1可化為+＝1，因?yàn)閙＞n＞0，所以0＜＜，即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤；若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為，所以D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，考查分類討論思想，化圓錐曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵，是中檔題．8．（5分）已知{an}是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且a1≥5，若a1+a2+?+an＝300，則n的最大值為（）A．18 B．19 C．20 D．21【分析】根據(jù)題意，分析可得當(dāng){an}是公差為1的等差數(shù)列，n的值最大，假設(shè)a1＝5，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S20＜300，S21＞300，由此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，{an}是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且a1≥5，則a2的最小值為a1+1，a3的最小值為a1+2，即當(dāng){an}是公差為1的等差數(shù)列，n的值最大，則有Sn＝na1+＝300，若a1＝5，有S20＝100+190＝290＜300，S21＝105+210＝315＞300，必有a1＞5，此時(shí)n的最大值為20，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意分析{an}各項(xiàng)的最小值，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，若＝（0，1，﹣1），＝（4，3，2），＝（3，0，﹣4），則（）A．AB⊥AP B．BC⊥AP C． D．【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義和向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出和的坐標(biāo)，根據(jù)向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)C，D的正誤，根據(jù)向量垂直的充要條件即可判斷選項(xiàng)A，B的正誤．【解答】解：∵，∴AB⊥AP錯(cuò)誤；，，∴BC⊥AP，B正確；，C正確；，∴，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量減法的幾何意義，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知直線l：ax+by＝r2與圓C：x2+y2＝r2（r＞0），則下列結(jié)論正確的是（）A．若點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交 B．若點(diǎn)P（a，b）在圓C外，則直線l與圓C相離 C．若直線l與圓C相切，則點(diǎn)P（a，b）在直線l上 D．若直線l與圓C相離，則點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．【解答】解：對(duì)于A，∵點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，∴a2+b2＜r2，圓心C（0，0）到直線l的距離為＝＞r，直線與圓C相離，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，∵點(diǎn)P（a，b）在圓C外，∴a2+b2＞r2，圓心C（0，0）到直線l的距離為＝＜r，直線與圓C相交，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，∵直線l與圓C相切，∴圓心C（0，0）到直線l的距離為＝＝r，即a2+b2＝r2，∴a?a+b?b＝r2，即點(diǎn)P（a，b）在直線l上，故C正確，對(duì)于D，∵直線l與圓C相離，∴圓心C（0，0）到直線l的距離為＝＞r，即a2+b2＜r2，∴，即點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，故D正確．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則（）A．是等差數(shù)列 B．{an+1﹣an}是等差數(shù)列 C．{log3an}等比數(shù)列 D．{anan+1}是等比數(shù)列【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出an，然后結(jié)合等差與等比數(shù)列的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n﹣1，所以＝3，故{}是等差數(shù)列，A正確；an+1﹣an＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，則{an+1﹣an}是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；log3an＝n﹣1，則{log3an}是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；anan+1＝3n﹣1?3n＝32n﹣1，則{anan+1}是等比數(shù)列，D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義及判斷，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．若點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離為2，則點(diǎn)N的軌跡所圍成圖形的面積為3π B．若直線MN與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓 C．若直線MN與直線BC所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線 D．若點(diǎn)N到直線CC1的距離與點(diǎn)N到直線AD的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線【分析】根據(jù)題意選項(xiàng)A、B中線段DN為定值，而選項(xiàng)C、D可通過建系，得點(diǎn)N的幾何性質(zhì)，進(jìn)一步可判斷真假．【解答】解：作NG∥BC交DC于G，連接MG，DN，由題意DD1⊥平面ABCD，DD1⊥DN，△MDN為直角三角形，MD＝1，若點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離為2，則DN＝＝，點(diǎn)N在平面ABCD的軌跡是半徑為的圓，軌跡所圍成的面積為π×（）2＝3π，故A正確；若直線MN與平面ABCD的成的角為，則∠DNM＝，DN＝＝，故N在平面ABCD的軌跡是半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D（0，0，0），M（0，0，1），設(shè)N（x，y，0），作NG⊥DC，連接MG，則∠GNM＝，MN＝，所以＝，所以＝，整理得﹣y2＝1，故C正確；再作NH⊥AD，連接NC，由題意可知，點(diǎn)N到直線CC1的距離為線段NC的長(zhǎng)，與點(diǎn)N到直線AD的距離為線段HN，NC＝HN，所以點(diǎn)N的軌跡為拋物線，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的性質(zhì)，以及軌跡問題，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝2﹣），則a5＝．【分析】關(guān)鍵數(shù)列的遞推關(guān)系式，坐標(biāo)求解即可．【解答】解：數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝2﹣），可得a2＝2﹣＝，a3＝2﹣＝，a4＝2﹣＝，a5＝2﹣＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知直線l1：ax﹣y+1＝0與l2：（a﹣2）x+ay﹣1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為﹣2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵直線l1：ax﹣y+1＝0與l2：（a﹣2）x+ay﹣1＝0平行，∴a×a＝（﹣1）×（a﹣2），解得a＝1或a＝﹣2，當(dāng)a＝1時(shí)，直線l1與直線l2重合，舍去，故a＝﹣2時(shí)，直線l1與直線l2不重合，滿足題意．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝3，則點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為．【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)C1到平面A1BC的距離．【解答】解：在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝3，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，則C1（0，4，3），A1（a，0，3），B（a，4，0），C（0，4，0），＝（a，﹣4，3），＝（a，0，0），＝（0，0，3），設(shè)平面A1BC的法向量＝（x，y，z），則，取y＝3，得＝（0，3，4），∴點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為：d＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．（5分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方．若線段PF的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是．【分析】設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為F'，連接OM，PF′，根據(jù)線段PF的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，可得|OM|＝|OF|＝c，從而可求得|PF'|，|PF|，在△PFF'，利用余弦定理求得∠PFF'的余弦值，從而可得出答案．【解答】解：設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為F'，連接OM，PF′，由橢圓得，a＝5，b＝4，c＝3，則F'（﹣3，0），F(xiàn)（3，0），|FF'|＝2c＝6，|PF|+|PF'|＝2a＝10，因?yàn)辄c(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，所以|OM|＝|OF|＝c＝3，因?yàn)镺，M分別為FF'，PF得中點(diǎn)，所以|PF'|＝2|OF|＝6，所以|PF|＝10﹣|PF'|＝4，所以，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方，則直線PF的傾斜角與∠PFF'互補(bǔ)，所以直線PF的斜率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線斜率的求解等知識(shí)，屬于中等題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，1），B（3，3），C（2，0）．（1）求△ABC的面積；（2）判斷O，A，B，C四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，，解得，即可求得△ABC的外接圓方程，再將原點(diǎn)代入上式，即可求解．【解答】解：（1）直線AB的斜率，則AB所在直線的方程為，即x﹣2y+3＝0，|AB|＝，點(diǎn)C到直線AB的距離為d＝，故＝．（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，，解得，∴△ABC的外接圓方程為x2+y2﹣2x﹣4y＝0，∵02+02﹣2×0﹣4×0＝0，即原點(diǎn)O在△ABC的外接圓上，∴O，A，B，C四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）在①a3+b3＝9；②a2+b3＝a4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．問題：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a2+b2＝5，①a3+b3＝9或②a2+b3＝a4．（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）選擇條件①：由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得d＝2，q＝2，從而知通項(xiàng)公式；選擇條件②：由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得d＝2，q＝2，從而知通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法，即可得解．【解答】解：（1）選擇條件①：a3+b3＝9．因?yàn)閍1＝b1＝1，a2+b2＝5，a3+b3＝9，所以（1+d）+q＝5，（1+2d）+q2＝9（q＞0），解得d＝2，q＝2，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝1?2n﹣1＝2n﹣1．選擇條件②：a2+b3＝a4．因?yàn)閍1＝b1＝1，a2+b2＝5，a2+b3＝a4，所以（1+d）+q＝5，（1+d）+q2＝1+3d（q＞0），解得d＝2，q＝2，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝1?2n﹣1＝2n﹣1．（2）cn＝anbn＝（2n﹣1）?2n﹣1，所以Tn＝1?20+3?21+5?22+…+（2n﹣1）?2n﹣1，2Tn＝1?21+3?22+5?23+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）?2n，兩式相減得，﹣Tn＝1?20+2?21+2?22+2?23+…+2?2n﹣1﹣（2n﹣1）?2n＝1+2×﹣（2n﹣1）?2n＝﹣3+（3﹣2n）?2n，所以Tn＝（2n﹣3）?2n+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，△PAC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，．（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）由已知可得PO⊥AC，由PB2＝OP2+OB2，可得OP⊥OB，可證OP⊥平面ABC，可證平面PAC⊥平面ABC；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面PBC的一個(gè)法向量與直線AP的方向向量，用向量法可求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）證明：取AC的中點(diǎn)，連接OP，OC，∵△PAC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴PO⊥AC，∵OB＝＝＝，OP＝AC＝3，PB＝，∴PB2＝OP2+OB2，∴OP⊥OB，∵OB∩AC＝O，∴OP⊥平面ABC，又OP?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC；（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0，3，0），P（0，0，3），B（，0，0），A（0，﹣3，0），∴＝（，0，﹣3），＝（0，3，﹣3），＝（0，3，3），設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則，令x＝3，則y＝，z＝1，∴平面PBC的一個(gè)法向量為＝（3，，1），設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，∴sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝．∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（12分）已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為8，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由題意，可得C2的方程為y2＝4cx，再由通徑可得，再代入，又a2＝b2+c2，化簡(jiǎn)計(jì)算可得離心率；（2）由（1）得，表示出C1的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，C2的準(zhǔn)線方程，再由C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為8，從而求解得c，可得C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）由已知得，C2的方程為y2＝4cx，由通徑可知，，因?yàn)?，得＝，即b2＝，又a2＝b2+c2，化簡(jiǎn)得3c2+8ac﹣3a2＝0?3e2+8e﹣3＝0，因?yàn)閑∈（0，1），所以e＝，即C1的離心率為．（2）由（1）得，所以C1的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為的準(zhǔn)線方程為x＝﹣c，則由已知得2c+4c+c+c＝8?c＝1，所以得，可得C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的離心率以及橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，點(diǎn)G在PB上，且．（1）求證：AG∥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值．【分析】（1）取FC中點(diǎn)O，連接DO、OG，可證明四邊形AGOD是平行四邊形，可解決此問題；（2）過D作直線DM⊥平面ABCD，AD⊥CD，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DM為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面AEF的一個(gè)法向量，＝（0，2，0）是平面AED的一個(gè)法向量，用向量法求二面角F﹣AE﹣D的余弦值．【解答】（1）證明：如圖，取FC的中點(diǎn)O，連接DO、OG，由題意知＝＝，∴GO∥BC，且GO＝BC，由題意知AD∥BC，且AD＝BC∴GO∥AD且GO＝AD，∴四邊形AGOD是平行四邊形，∴AG∥DO，又∵AG?平面PCD，OD?平面PCD，∴AG∥平面PCD；（2）過D作直線DM⊥平面ABCD，AD⊥CD，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DM為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），E（1，0，1），F(xiàn)（，，），則＝（﹣1，0，1），＝（﹣，，），設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則，令x＝1，則z＝1．y＝﹣1，所以平面AEF的一個(gè)法向量為＝（1，﹣1，1），因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥C