解一元二次方程作業(yè)設(shè)計(jì)考試試卷

21.2解一元二次方程一．解一元二次方程-直接開平方法（共2小題）1．用直接開平方法解下列方程：（1）9x2＝25；（2）x2﹣＝0；（3）（x﹣3）2﹣9＝0；（4）（2t﹣1）2＝9．2．（2019春?老城區(qū)校級月考）求下列各式中x的值．（1）；（2）（x﹣1）3+125＝0；（3）2（x+1）2＝128．二．解一元二次方程-公式法（共2小題）3．（2020秋?沈河區(qū)校級月考）解方程：（1）（2x﹣1）2＝5；（2）4x2﹣8x﹣3＝0；（3）2x2﹣5x﹣1＝0；（4）2y2+4y＝y(tǒng)+2．4．（經(jīng)典題）若方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有實(shí)數(shù)根，求k的值，并求出方程的解（用含k的式子表示）三．解一元二次方程-因式分解法（共1小題）5．解方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）12（2﹣y）2﹣9＝0；（3）x2+6x﹣7＝0；（4）x2﹣2x﹣5＝0；（5）y2+2y﹣1＝0；（6）﹣3x2+4x+1＝0；（7）（x+1）2＝4x；（8）（3x+2）2＝4（x﹣3）2；（9）（4x﹣1）（2x﹣1）＝4x﹣2；（10）（3y﹣1）2﹣8（3y﹣1）+15＝0．四．換元法解一元二次方程（共7小題）6．選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（3﹣x）2+x2＝9；（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；（4）（x﹣1）2＝（1﹣x）7．解方程：（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．（2）解方程（用配方法）：3x2﹣6x+1＝0．（3）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0．（4）解方程：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0．8．（2011秋?西吉縣校級期中）閱讀材料：為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，（x2﹣1）2＝y(tǒng)2，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0①解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±當(dāng)y＝4時，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±∴原方程的解為：x1＝解答問題：仿造上題解方程：x4﹣6x2+8＝0．9．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）x2﹣3x﹣4＝0；（2）6x2﹣13x﹣15＝0；（3）（3﹣x）2+x2＝9；（4）（y﹣2）2＝3；（5）（y+）2＝4y；（6）（2x﹣1）（x+3）＝4；（7）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0．10．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）12（3﹣x）2﹣48＝0（3）x2﹣6x+1＝0（4）2x2+3x﹣5＝0（5）（2x﹣1）（x+3）＝4；（6）（x+3）2+3（x+3）﹣4＝0．11．（2015春?沙坪壩區(qū)期末）閱讀下面的例題與解答過程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：原方程可化為|x|2﹣|x|﹣2＝0．設(shè)|x|＝y(tǒng)，則y2﹣y﹣2＝0．解得y1＝2，y2＝﹣1．當(dāng)y＝2時，|x|＝2，∴x＝±2；當(dāng)y＝﹣1時，|x|＝﹣1，∴無實(shí)數(shù)解．∴原方程的解是：x1＝2，x2＝﹣2．在上面的解答過程中，我們把|x|看成一個整體，用字母y代替（即換元），使得問題簡單化、明朗化，解答過程更清晰．這是解決數(shù)學(xué)問題中的一種重要方法﹣﹣換元法．請你仿照上述例題的解答過程，利用換元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|＝0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．12．（2008?丹陽市校級模擬）閱讀下列材料：為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1看作一個整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時，x2﹣1＝1，∴；當(dāng)y2＝4時，x2﹣1＝4，∴．因此原方程的解為：．（1）已知方程，如果設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，那么原方程可化為（寫成關(guān)于y的一元二次方程的一般形式）．（2）根據(jù)閱讀材料，解方程：x（x+3）（x2+3x+2）＝24．五．根的判別式（共6小題）13．（2018春?思明區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m﹣2＝0（m≠0）（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)m的值．14．（2017秋?門頭溝區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（1）如果該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當(dāng)該方程的根都是整數(shù)，且|x|＜4時，求m的整數(shù)值．15．（2013秋?廣東校級月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣2k＝0有兩個實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍及k的負(fù)整數(shù)值．16．（2010?海滄區(qū)質(zhì)檢）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)此方程的兩個實(shí)數(shù)根分別是a，b（其中a＜b）．若y＝b﹣2a，求滿足y＝2m的m的值．17．（2007秋?海淀區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元一次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．18．若關(guān)于x的一元二次方程mx2+5（2m﹣3）x﹣150＝0有兩個不等負(fù)整數(shù)根，求整數(shù)m的值．六．根與系數(shù)的關(guān)系（共17小題）19．（2018?孝感一模）已知關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m為何值時，使得x1（x2+x1）+x22的值為．20．（2016?梅州模擬）關(guān)于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2＝0（1）當(dāng)m在什么范圍取值時，方程有兩個實(shí)數(shù)根？（2）設(shè)方程有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，問m為何值時，x12+x22＝17？（3）若方程有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，問x1和x2能否同號？若能同號，請求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能同號，請說明理由．21．（2012春?南崗區(qū)校級月考）甲、乙兩同學(xué)解方程x2+px+q＝0，甲看錯了一次項(xiàng)，得兩根2和7，乙看錯了常數(shù)項(xiàng)，得兩根1和﹣10，求原一元二次方程．22．（2010秋?紅安縣校級月考）閱讀理解題題目：已知方程x2+mx+1＝0的兩個根為x1，x2是否存在m的值，使得x1，x2滿足？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．23．（2001?黃岡）先閱讀下列第（1）題的解答過程：（1）已知a，β是方程x2+2x﹣7＝0的兩個實(shí)數(shù)根，求a2+3β2+4β的值．解法1：∵a，β是方程x2+2x﹣7＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴a2+2a﹣7＝0，β2+2β﹣7＝0，且a+β＝﹣2．∴a2＝7﹣2a，β2＝7﹣2β．∴a2+3β2+4β＝7﹣2a+3（7﹣2β）+4β＝28﹣2（a+β）＝28﹣2×（﹣2）＝32．解法2：由求根公式得a＝1+2，β＝﹣1﹣2．∴a2+3β2+4β＝（﹣1+2）2+3（﹣1﹣2）2+4（﹣1﹣2）＝9﹣4+3（9+4）﹣4﹣8＝32．當(dāng)a＝﹣1﹣2，β＝﹣1+2時，同理可得a2+3β2+4β＝32．解法3：由已知得a+β＝﹣2，aβ＝﹣7．∴a2+β2＝（a+β）2﹣2aβ＝18．令a2+3β2+4β＝A，β2+3a2+4a＝B．∴A+B＝4（a2+β2）+4（a+β）＝4×18+4×（﹣2）＝64．①A﹣B＝2（β2﹣a2）+4（β﹣a）＝2（β+a）（β﹣a）+4（β﹣a）＝0．②①+②，得2A＝64，∴A＝32．請仿照上面的解法中的一種或自己另外尋注一種方法解答下面的問題：（2）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0的兩個實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式x13+7x22+3x2﹣66的值．24．（2018?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．（1）試證明：無論p取何值此方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若原方程的兩根x1，x2，滿足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值．25．（2017秋?許昌期末）閱讀下面的材料：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）的根為，∴；請利用這一結(jié)論解決下列問題：（1）若x2+bx+c＝0的兩根為﹣2和3，求b和c的值．（2）設(shè)方程2x2﹣3x+1＝0的兩根為x1、x2，求的值．26．（2016?鄂州）關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求證：無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的兩個根，記S＝+x1+x2，S的值能為2嗎？若能，求出此時k的值；若不能，請說明理由．27．（2012?鐵西區(qū)二模）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩根，求：（1）的值；（2）（x1﹣x2）2的值．28．（2011?孝感）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．29．（2007?肇慶）已知a，b是方程x2+2x﹣1＝0的兩個根，求代數(shù)式的值．30．（2015?肇慶二模）設(shè)x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．31．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．32．（2005?南通）已知關(guān)于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0．（1）求證：n＜0；（2）試用k的代數(shù)式表示x1；（3）當(dāng)n＝﹣3時，求k的值．33．（2004?四川）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3＝0…①的兩個不相等實(shí)數(shù)根中有一個根為0．是否存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2＝0…②的兩個實(shí)數(shù)根x1，x2之差的絕對值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．34．（2000?黑龍江）當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的解都是整數(shù)？35．已知：△ABC的兩邊AB，AC的長是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，第三邊BC＝5；求：①求k的取值范圍；②k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．七．一元二次方程的應(yīng)用（共5小題）36．如圖，在一條長90米，寬為60米的矩形草地上修三條小路，小路都等寬，除小路外，草地面積為5192米2的6個矩形小塊，則小路的寬度應(yīng)為多少？37．“惠民”經(jīng)銷店為某工廠代銷一種工業(yè)原料（代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．當(dāng)每噸售價(jià)為260元時，月銷售量為45噸；該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸工業(yè)原料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元，若在“薄利多銷、讓利于民”的原則下，當(dāng)每噸原料售價(jià)為多少時，該店的月利潤為9000元．38．某工廠生產(chǎn)的新產(chǎn)品按質(zhì)量可分為6個檔次，生產(chǎn)第一檔次（即最低檔次）的產(chǎn)品每件的利潤為10元．已知該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品每提高一個檔次，每件產(chǎn)品的利潤可增加2元．（1）當(dāng)工廠生產(chǎn)第四檔次的產(chǎn)品時，每件的利潤是多少元？（2）如果工廠每天只安排生產(chǎn)同一檔次產(chǎn)品，且每天能生產(chǎn)第一檔次產(chǎn)品76件．由于生產(chǎn)工序不同，生產(chǎn)的產(chǎn)品每提高一個檔次，一天的產(chǎn)量就減少4件，當(dāng)工廠生產(chǎn)某一檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1080元時，該廠這一天安排生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品？39．如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向B點(diǎn)以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動，若P，Q分別從A，B同時出發(fā)，問過多少秒后，△PBQ的面積為8cm2和10cm2．40．某機(jī)械租賃公司有同一型號的機(jī)械設(shè)備40套，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每套設(shè)備的月租金為270元時，恰好全部租出去，在此基礎(chǔ)上，當(dāng)每套設(shè)備的月租金每提高10元時，這種設(shè)備就少租出一套，且未租出的設(shè)備每月需支出費(fèi)用（維護(hù)費(fèi)、管理費(fèi)等）20元，若使出租該型號設(shè)備的月收益（收益＝租金收入﹣支出費(fèi)用）為11040元；同時還要考慮提高市場的占有率，則該公司每套設(shè)備的月租金應(yīng)定為多少元？

21.2解一元二次方程參考答案與試題解析一．解一元二次方程-直接開平方法（共2小題）1．用直接開平方法解下列方程：（1）9x2＝25；（2）x2﹣＝0；（3）（x﹣3）2﹣9＝0；（4）（2t﹣1）2＝9．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法．【分析】（1）先利用方程兩邊同時除以9，再利用開平方求解即可；（2）先移項(xiàng)，再利用開平方求解即可；（3）先移項(xiàng)，再利用開平方，再移項(xiàng)求解即可；（4）先利用開平方，再移項(xiàng)，最后系數(shù)化為1求解即可．【解答】解：（1）9x2＝25；方程兩邊同時除以9得，x2＝，利用開平方得，x＝±．（2）x2﹣＝0；移項(xiàng)得，x2＝＝16，利用開平方得，x＝±4；（3）（x﹣3）2﹣9＝0；移項(xiàng)得，（x﹣3）2＝9，利用開平方得，x﹣3＝±3，移項(xiàng)得：x＝0或6．（4）（2t﹣1）2＝9利用開平方得，2t﹣1＝±3；移項(xiàng)得：2t＝4或﹣2，系數(shù)化為1得：t＝2或﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查了直接開平方的方法解一元二次方程，利用開平方解方程是解題的關(guān)鍵．2．（2019春?老城區(qū)校級月考）求下列各式中x的值．（1）；（2）（x﹣1）3+125＝0；（3）2（x+1）2＝128．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）移項(xiàng)后合并同類項(xiàng)，再開方即可；（2）先移項(xiàng)，再開方即可；（3）方程兩邊除以2，再開方即可．【解答】解：（1）x2﹣5＝，x2＝，x＝，x1＝，x2＝﹣；（2）（x﹣1）3+125＝0，（x﹣1）3＝﹣125，x﹣1＝﹣5，x＝﹣4；（3）2（x+1）2＝128，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x1＝﹣9；x2＝7．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．二．解一元二次方程-公式法（共2小題）3．（2020秋?沈河區(qū)校級月考）解方程：（1）（2x﹣1）2＝5；（2）4x2﹣8x﹣3＝0；（3）2x2﹣5x﹣1＝0；（4）2y2+4y＝y(tǒng)+2．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）利用直接開平方法求解可得；（2）、（3）利用公式法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝5，∴2x﹣1＝，則x＝，即x1＝，x2＝；（2）∵a＝4，b＝﹣8，c＝﹣3，∴△＝（﹣8）2﹣4×4×（﹣3）＝112＞0，則x＝＝＝，即x1＝，x2＝；（3）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，則x＝＝，即x1＝，x2＝；（4）∵2y（y+2）﹣（y+2）＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，則y+2＝0或2y﹣1＝0，解得y1＝﹣2，y2＝0.5．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．4．（經(jīng)典題）若方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有實(shí)數(shù)根，求k的值，并求出方程的解（用含k的式子表示）【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法；根的判別式．【專題】分類討論．【分析】方程有實(shí)數(shù)根，分兩種情況考慮：（1）當(dāng)k＝0時為一元一次方程，求出方程的解．（2）當(dāng)k≠0，根據(jù)一元二次方程的根的判別式△≥0，建立k的方程，求出k的值，化簡原方程后求解．【解答】解：（1）當(dāng)k＝0時，原方程為一元一次方程．即﹣x＝0，即x＝0．（2）當(dāng)k≠0，（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2≥04k≥﹣1，即k≥﹣．當(dāng)k≥﹣且k≠0時方程有兩個實(shí)數(shù)根x＝．答：k＝0時x＝0；k≥﹣且k≠0時x＝．【點(diǎn)評】本題注意對k要分類討論，k＝0可以是一元一次方程，k≠0，原方程為一元二次方程．三．解一元二次方程-因式分解法（共1小題）5．解方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）12（2﹣y）2﹣9＝0；（3）x2+6x﹣7＝0；（4）x2﹣2x﹣5＝0；（5）y2+2y﹣1＝0；（6）﹣3x2+4x+1＝0；（7）（x+1）2＝4x；（8）（3x+2）2＝4（x﹣3）2；（9）（4x﹣1）（2x﹣1）＝4x﹣2；（10）（3y﹣1）2﹣8（3y﹣1）+15＝0．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先解方程變形為（2﹣y）2＝，再利用直接開平方法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可；（5）利用公式法求解即可；（6）利用公式法求解即可；（7）先整理成一般形式，再利用配方法求解即可；（8）利用直接開平方法求解即可；（9）先整理成一般形式，再利用因式分解法求解即可；（10）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，所以x＝0或x﹣4＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）12（2﹣y）2﹣9＝0；方程變形為（2﹣y）2＝，所以2﹣y＝±，解得y1＝2+，y2＝2﹣；（3）x2+6x﹣7＝0，（x﹣1）（x+7）＝0，所以x﹣1＝0或x+7＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7；（4）x2﹣2x﹣5＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5，△＝4+20＝24＞0，∴x＝＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（5）y2+2y﹣1＝0，a＝，b＝2，c＝﹣1，△＝4+2＝6＞0，∴y＝＝﹣2±，∴y1＝﹣2+，y2＝﹣2﹣；（6）﹣3x2+4x+1＝0，a＝﹣3，b＝4，c＝1，△＝16+12＝28＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；（7）（x+1）2＝4x，整理，得x2﹣2x+1＝0，（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1；（8）（3x+2）2＝4（x﹣3）2，3x+2＝±2（x﹣3），解得x1＝﹣8，x2＝0.8；（9）（4x﹣1）（2x﹣1）＝4x﹣2，整理，得8x2﹣10x+3＝0，（2x﹣1）（4x﹣3）＝0，所以2x﹣1＝0或4x﹣3＝0，解得x1＝0.5，x2＝﹣0.75；（10）（3y﹣1）2﹣8（3y﹣1）+15＝0，（3y﹣1﹣3）（3y﹣1﹣5）＝0，所以3y﹣4＝0或3y﹣6＝0，解得y1＝，y2＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．四．換元法解一元二次方程（共7小題）6．選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（3﹣x）2+x2＝9；（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；（4）（x﹣1）2＝（1﹣x）【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；換元法解一元二次方程．【專題】一次方程（組）及應(yīng)用．【分析】（1）先化為一般式后，分解因式，然后解一元一次方程即可；（2）把2x﹣1看作整體，利用十字相乘法分解得到（2x﹣1﹣3）（2x﹣1+2）＝0，則一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程2x﹣4＝0或2x+1＝0，然后解一元一次方程即可；（3）利用直接開平方解方程即可；（4）移項(xiàng)后提公因式x﹣1，可解答．【解答】解：（1）（3﹣x）2+x2＝9，2x2﹣6x＝0，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3；（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0，（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）﹣6＝0，（2x﹣1﹣3）（2x﹣1+2）＝0，x1＝2，x2＝﹣；（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；3x﹣1＝±2（x﹣1），3x﹣1＝2x﹣2，3x﹣1＝﹣2x+2，x1＝﹣1，x2＝；（4）（x﹣1）2＝（1﹣x），（x﹣1）2+（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣+1）＝0，x1＝1，x2＝．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程化為一般式ax2+bx+c＝0（a≠0），再把方程左邊因式分解，然后把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，解一元一次方程得到一元二次方程的解．7．解方程：（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．（2）解方程（用配方法）：3x2﹣6x+1＝0．（3）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0．（4）解方程：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法；換元法解一元二次方程．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）利用直接開平方法解出方程；（2）利用配方法解出方程；（3）利用公式法解出方程；（4）利用因式分解法解出方程．【解答】解：（1）∵（x﹣4）2＝（5﹣2x）2，∴x﹣4＝±（5﹣2x），所以x1＝1，x2＝3；（2）方程變形得：x2﹣2x＝﹣，配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，開方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（3）方程化為一般形式，得3x2+10x+5＝0，∵a＝3，b＝10，c＝5，∴b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝40，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；（4）方程分解得：（x﹣1﹣4）（x﹣1+2）＝0，可得x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x＝5或x＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．8．（2011秋?西吉縣校級期中）閱讀材料：為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，（x2﹣1）2＝y(tǒng)2，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0①解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±當(dāng)y＝4時，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±∴原方程的解為：x1＝解答問題：仿造上題解方程：x4﹣6x2+8＝0．【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程．【專題】換元法．【分析】設(shè)x2＝y(tǒng)，x4＝y(tǒng)2．則方程即可變形為y2﹣6y+8＝0，解方程即可求得y即x2的值．【解答】解：設(shè)x2＝y(tǒng)，x4＝y(tǒng)2，則原方程可化為y2﹣6y+8＝0，解得y1＝2，y2＝4．當(dāng)y＝2時，，當(dāng)y＝4時，x2＝4，x＝±2．∴原方程的解為：．【點(diǎn)評】本題考查了換元法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．9．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）x2﹣3x﹣4＝0；（2）6x2﹣13x﹣15＝0；（3）（3﹣x）2+x2＝9；（4）（y﹣2）2＝3；（5）（y+）2＝4y；（6）（2x﹣1）（x+3）＝4；（7）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法；解一元二次方程﹣因式分解法；換元法解一元二次方程．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】（1）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（4）兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（5）整理后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（6）整理后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（7）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0，x+1＝0，x1＝4，x2＝﹣1；（2）6x2﹣13x﹣15＝0，b2﹣4ac＝（﹣13）2﹣4×6×（﹣15）＝529，x＝＝，解得：x1＝，x2＝﹣；（3）（3﹣x）2+x2＝9；移項(xiàng)得：（x﹣3）2+x2﹣9＝0，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0，（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]＝0，x﹣3＝0，（x﹣3）+（x+3）＝0，x1＝3，x2＝0；（4）（y﹣2）2＝3，開方得：y﹣2＝，解得：y1＝2+，y2＝2﹣；（5）（y+）2＝4y，整理得：y2﹣2y+3＝0，（y﹣）2＝0，y﹣＝0，即y1＝y(tǒng)2＝；（6）（2x﹣1）（x+3）＝4，整理得：2x2+5x﹣7＝0，（2x+7）（x﹣1）＝0，2x+7＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣3.5，x2＝1；（7）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0，（2y+1+2）（2y+1+1）＝0，2y+1+2＝0，2y+1+1＝0，y1＝﹣1.5，y2＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法，配方法等等．10．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）12（3﹣x）2﹣48＝0（3）x2﹣6x+1＝0（4）2x2+3x﹣5＝0（5）（2x﹣1）（x+3）＝4；（6）（x+3）2+3（x+3）﹣4＝0．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開平方法；解一元二次方程﹣配方法；換元法解一元二次方程．【專題】方程思想．【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用直接開平方法解方程即可求解；（2）先移項(xiàng)，再系數(shù)化為1，再利用直接開平方法解方程即可求解；（3）先把方程整理為x2﹣6x＝﹣1，然后利用配方法解方程；（4）利用因式分解法解方程；（5）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程；（6）把x+3看作一個整體，利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣4＝0，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，解得：x1＝﹣1，x2＝3；（2）12（3﹣x）2﹣48＝0，12（3﹣x）2＝48，（3﹣x）2＝4，3﹣x＝±2，解得：x1＝1，x2＝5；（3）x2﹣6x+1＝0，x2﹣6x＝﹣1，（x﹣3）2＝8，x﹣3＝±2，解得x1＝3﹣2，x2＝3+2；（4）2x2+3x﹣5＝0，（2x+5）（x﹣1）＝0，解得：x1＝﹣2.5，x2＝1；（5）（2x﹣1）（x+3）＝4，2x2+6x﹣x﹣3﹣4＝0，2x2+5x﹣7＝0，（2x+7）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣3.5，x2＝1；（6）（x+3）2+3（x+3）﹣4＝0（x+3+4）（x+3﹣1）＝0，（x+7）（x+2）＝0，解得x1＝﹣7，x2＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．11．（2015春?沙坪壩區(qū)期末）閱讀下面的例題與解答過程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：原方程可化為|x|2﹣|x|﹣2＝0．設(shè)|x|＝y(tǒng)，則y2﹣y﹣2＝0．解得y1＝2，y2＝﹣1．當(dāng)y＝2時，|x|＝2，∴x＝±2；當(dāng)y＝﹣1時，|x|＝﹣1，∴無實(shí)數(shù)解．∴原方程的解是：x1＝2，x2＝﹣2．在上面的解答過程中，我們把|x|看成一個整體，用字母y代替（即換元），使得問題簡單化、明朗化，解答過程更清晰．這是解決數(shù)學(xué)問題中的一種重要方法﹣﹣換元法．請你仿照上述例題的解答過程，利用換元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|＝0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程．【專題】閱讀型；換元法．【分析】（1）結(jié)合例題，利用換元法求解即可．（2）結(jié)合例題，利用換元法求解即可．【解答】解：（1）原方程可化為|x|2﹣2|x|＝0，設(shè)|x|＝y(tǒng)，則y2﹣2y＝0．解得y1＝0，y2＝2．當(dāng)y＝0時，|x|＝0，∴x＝0；當(dāng)y＝2時，∴x＝±2；∴原方程的解是：x1＝0，x2＝﹣2，x3＝2．（2）原方程可化為|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4＝0．設(shè)|x﹣1|＝y(tǒng)，則y2﹣4y+4＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2．即|x﹣1|＝2，∴x＝﹣1或x＝3．∴原方程的解是：x1＝﹣1，x2＝3．【點(diǎn)評】本題主要考查了換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化．12．（2008?丹陽市校級模擬）閱讀下列材料：為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1看作一個整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時，x2﹣1＝1，∴；當(dāng)y2＝4時，x2﹣1＝4，∴．因此原方程的解為：．（1）已知方程，如果設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，那么原方程可化為y2﹣3y﹣1＝0（寫成關(guān)于y的一元二次方程的一般形式）．（2）根據(jù)閱讀材料，解方程：x（x+3）（x2+3x+2）＝24．【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程．【專題】換元法．【分析】（1）將原方程中的x2﹣2x換為y，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于y的一元二次方程的一般形式即可；（2）設(shè)x2+3x＝y(tǒng)，然后解關(guān)于y的方程；再根據(jù)y值解關(guān)于x的方程．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得＝y(tǒng)﹣3，∴1＝y(tǒng)2﹣3y，即y2﹣3y﹣1＝0；（2）設(shè)x2+3x＝y(tǒng)．∵x（x+3）（x2+3x+2）＝24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）＝24，∴y（y+2）＝24，即（y﹣4）（y+6）＝0，解得，y＝4或y＝﹣6；①當(dāng)y＝4時，x2+3x＝4，即（x﹣1）（x+4）＝0，解得，x1＝﹣4，x2＝1；②當(dāng)y＝﹣6時，x2+3x＝﹣6，即x2+3x+6＝0，∵△＝9﹣24＝﹣15＜0，∴該方程無解；綜上所述，原方程的根是：x1＝﹣4，x2＝1．【點(diǎn)評】本題考查了換元法﹣﹣解一元二次方程．換元法就是把一個復(fù)雜的不變整體用一個字母代替，這樣就把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題．如上題（2）就是把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程．五．根的判別式（共6小題）13．（2018春?思明區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m﹣2＝0（m≠0）（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)m的值．【考點(diǎn)】一元二次方程的定義；根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用．【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況即可．（2）利用因式分解法求出方程的根即可解決問題；【解答】（1）證明：∵△＝（2m﹣2）2﹣4m（m﹣2）＝4m2﹣8m+4﹣4m2+8m＝4＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵mx2﹣（2m﹣2）x+m﹣2＝0，∴（x﹣1）（mx﹣m+2）＝0，∴x1＝1，x2＝＝1﹣，∵方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，∴整數(shù)m的值為±1，±2；【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的根的判別式，記住一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．14．（2017秋?門頭溝區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（1）如果該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當(dāng)該方程的根都是整數(shù)，且|x|＜4時，求m的整數(shù)值．【考點(diǎn)】一元二次方程的定義；根的判別式．【專題】方程思想．【分析】（1）由方程根的情況，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于m的不等式，則可求得m的取值范圍；（2）令mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0，表示出x，根據(jù)該方程的根都是整數(shù)都是整數(shù)，根據(jù)x的范圍即可確定出m的整數(shù)值．【解答】解：（1）由題意m≠0，∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＞0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝（m+3）2＞0，解得：m≠﹣3，則m的取值范圍為m≠0和m≠﹣3；（2）設(shè)y＝0，則mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0．∵△＝（m+3）2，∴x＝，∴x1＝，x2＝1，當(dāng)x1＝是整數(shù)時，可得m＝1或m＝﹣1或m＝3，∵|x|＜4，m＝1不合題意舍去，∴m的值為﹣1或3．【點(diǎn)評】此題考查一元二次方程的定義，根的判別式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．15．（2013秋?廣東校級月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣2k＝0有兩個實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍及k的負(fù)整數(shù)值．【考點(diǎn)】根的判別式．【分析】首先根據(jù)一元二次方程的一般形式求得b2﹣4ac的值，再進(jìn)一步根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個實(shí)數(shù)根，即△≥0進(jìn)行求解．【解答】解：由題意可得△≥0，即：42﹣4×（﹣2k）≥0整理得16+8k≥0解得：k≥﹣2，其中k的負(fù)整數(shù)值為﹣2、﹣1．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的根的判別式，能夠根據(jù)一元二次方程的根的判別式和方程的根的情況求得字母的取值范圍．16．（2010?海滄區(qū)質(zhì)檢）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)此方程的兩個實(shí)數(shù)根分別是a，b（其中a＜b）．若y＝b﹣2a，求滿足y＝2m的m的值．【考點(diǎn)】根的判別式．【分析】（1）首先得到△＝[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2然后根據(jù)m＞0得到（m+2）2＞0從而得到△＞0，最后證得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（2）利用求根公式用m表示出方程的兩根，利用y＝b﹣2a和y＝2m得到有關(guān)m的等式求得m的值即可．【解答】解：（1）∵△＝[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2），＝m2+4m+4＝（m+2）2又∵m＞0∴（m+2）2＞0即△＞0∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（2）可求得方程的兩根分別為：∵m＞0∴＞1，∴∴∴∴m＝1【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式的知識，同時題目中還考查了配方法等知識，特別是解決第（2）題時，用公式法求含有字母系數(shù)方程更是個難點(diǎn)．17．（2007秋?海淀區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元一次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】根的判別式．【分析】一元二次方程ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時，△＝b2﹣4ac＞0；二次根式有意義時，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【解答】解：∵有意義，∴1﹣m≥0，解得m≤1；又∵原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根∴△＝b2﹣4ac＞0，∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣m，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×（﹣m）＝3m+1＞0，即3m+1＞0，解得．∴m的取值范圍是．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的情況．（1）△＝b2﹣4ac＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△＝b2﹣4ac＝0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＝b2﹣4ac＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．18．若關(guān)于x的一元二次方程mx2+5（2m﹣3）x﹣150＝0有兩個不等負(fù)整數(shù)根，求整數(shù)m的值．【考點(diǎn)】一元二次方程的定義；根的判別式．【專題】分類討論；一元二次方程及應(yīng)用．【分析】由求根公式法表示出一元二次方程的解，然后按照不等負(fù)整數(shù)根討論即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+5（2m﹣3）x﹣150＝0有兩個不等負(fù)整數(shù)根，∴△＝[5（2m﹣3）]2+600m＞0，∴25（2m﹣3）2+600m＞0，∴25（2m+3）2＞0，∴x＝＝，∴x1＝﹣10，x2＝，∵有兩個不等負(fù)整數(shù)根，則x2為不等于﹣10的負(fù)整數(shù)，∴m的可能取值為：﹣1，﹣3，﹣5或﹣15．答：符合題意的m值為：﹣1，﹣3，﹣5或﹣15．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△＝b2﹣4ac．當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時本題還考查了分類討論思想．六．根與系數(shù)的關(guān)系（共17小題）19．（2018?孝感一模）已知關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m為何值時，使得x1（x2+x1）+x22的值為．【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】方程思想．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，得出b2﹣4ac≥0，然后代入求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2+3m﹣2，再把x1（x2+x1）+x22進(jìn)行變形，即可得出x1（x2+x1）+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2＝，解方程即可求得m的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，∴△＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×（m2+3m﹣2）≥0，∴﹣12m+8≥0，∴m≤．故m的取值范圍為m≤；（2）∵x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2+3m﹣2，∴x1（x2+x1）+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2＝4m2﹣（m2+3m﹣2）＝，解得m＝．故m為時，使得x1（x2+x1）+x22的值為．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．20．（2016?梅州模擬）關(guān)于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2＝0（1）當(dāng)m在什么范圍取值時，方程有兩個實(shí)數(shù)根？（2）設(shè)方程有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，問m為何值時，x12+x22＝17？（3）若方程有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，問x1和x2能否同號？若能同號，請求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能同號，請說明理由．【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)根的判別式，求出不等式[4（m﹣1）]2﹣4×4m2≥0的解集即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣＝1﹣m，x1?x2＝，化成（x1+x2）2﹣2x1?x2＝17代入求出即可；（3）根據(jù)當(dāng)m≤時，求出x1?x2＝，即可得出答案．【解答】解：（1）∵當(dāng)△＝[4（m﹣1）]2﹣4×4m2＝﹣8m+4≥0時，方程有兩個實(shí)數(shù)根，即m≤，∴當(dāng)m≤時，方程有兩個實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：x1+x2＝﹣＝1﹣m，x1?x2＝，∵x12+x22＝17，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝17，∴（1﹣m）2﹣＝17，解得：m1＝8，m2＝﹣4，∵當(dāng)m≤時，方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴m＝﹣4；（3）∵由（1）知當(dāng)m≤時，方程有兩個實(shí)數(shù)根，由（2）知，x1?x2＝，∴＞0，∴當(dāng)m≠0，且m≤時，x1和x2能同號，即m的取值范圍是：m≠0且m≤．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△＝0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．（4）若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．21．（2012春?南崗區(qū)校級月考）甲、乙兩同學(xué)解方程x2+px+q＝0，甲看錯了一次項(xiàng)，得兩根2和7，乙看錯了常數(shù)項(xiàng)，得兩根1和﹣10，求原一元二次方程．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)甲得出q＝2×7＝14，根據(jù)乙得出p＝﹣（1﹣10）＝9，代入求出即可．【解答】解：∵x2+px+q＝0，甲看錯了一次項(xiàng)，得兩根2和7，∴q＝2×7＝14，∵x2+px+q＝0，乙看錯了常數(shù)項(xiàng)，得兩根1和﹣10，∴p＝﹣（1﹣10）＝9，∴原一元二次方程為：x2+9x+14＝0．【點(diǎn)評】本題考查了對根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，題目比較好．22．（2010秋?紅安縣校級月考）閱讀理解題題目：已知方程x2+mx+1＝0的兩個根為x1，x2是否存在m的值，使得x1，x2滿足？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的等式解答．【解答】解：存在滿足題意m的值．∵x1+x2＝﹣m，x1?x2＝1∴又∵∴﹣m＝1∴m＝﹣1，當(dāng)m＝﹣1時，b2﹣4ac＝1﹣4＜0，故此時方程無實(shí)數(shù)，故不存在m使得足．【點(diǎn)評】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解答時要分清方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．23．（2001?黃岡）先閱讀下列第（1）題的解答過程：（1）已知a，β是方程x2+2x﹣7＝0的兩個實(shí)數(shù)根，求a2+3β2+4β的值．解法1：∵a，β是方程x2+2x﹣7＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴a2+2a﹣7＝0，β2+2β﹣7＝0，且a+β＝﹣2．∴a2＝7﹣2a，β2＝7﹣2β．∴a2+3β2+4β＝7﹣2a+3（7﹣2β）+4β＝28﹣2（a+β）＝28﹣2×（﹣2）＝32．解法2：由求根公式得a＝1+2，β＝﹣1﹣2．∴a2+3β2+4β＝（﹣1+2）2+3（﹣1﹣2）2+4（﹣1﹣2）＝9﹣4+3（9+4）﹣4﹣8＝32．當(dāng)a＝﹣1﹣2，β＝﹣1+2時，同理可得a2+3β2+4β＝32．解法3：由已知得a+β＝﹣2，aβ＝﹣7．∴a2+β2＝（a+β）2﹣2aβ＝18．令a2+3β2+4β＝A，β2+3a2+4a＝B．∴A+B＝4（a2+β2）+4（a+β）＝4×18+4×（﹣2）＝64．①A﹣B＝2（β2﹣a2）+4（β﹣a）＝2（β+a）（β﹣a）+4（β﹣a）＝0．②①+②，得2A＝64，∴A＝32．請仿照上面的解法中的一種或自己另外尋注一種方法解答下面的問題：（2）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0的兩個實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式x13+7x22+3x2﹣66的值．【考點(diǎn)】一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到＝x1+9，＝x2+9，然后將原式變形為x1（x1+9）+7（x2+9）+3x2﹣66，整理后代入即可求值．【解答】解∵x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝1，﹣x1﹣9＝0，﹣x2﹣9＝0，即＝x1+9，＝x2+9．∴+7+3x2﹣66＝x1（x1+9）+7（x2+9）+3x2﹣66＝+9x1+10x2﹣3＝x1+9+9x1+10x2﹣3＝10（x1+x2）+6＝16．【點(diǎn)評】本題是一道閱讀理解題，考查一元二次方程根的不對稱式值的求解．解法1應(yīng)用一元二次方程根的定義，根與系數(shù)的關(guān)系和逐步降次的方法求解；解法2應(yīng)用求根公式法求出方程的解，再直接代入待求式求值；解法3通過構(gòu)造與待求式對稱的對偶式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解，求不對稱式的值源自于中學(xué)競賽內(nèi)容，知識點(diǎn)略高于中考要求，故題中提供了可借鑒的三種解法，不僅降低了問題難度，而且側(cè)重考查了自學(xué)能力，吻合了素質(zhì)教育對學(xué)生自學(xué)能力培養(yǎng)的要求．解答這類題，透徹理解閱讀材料，并靈活選用合理方法加以運(yùn)用是前提．第（2）問題選用解法1的方法較為簡便．24．（2018?孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．（1）試證明：無論p取何值此方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若原方程的兩根x1，x2，滿足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值．【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】判別式法；一元二次方程及應(yīng)用．【分析】（1）將原方程變形為一般式，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△＝（2p+1）2≥0，由此即可證出：無論p取何值此方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝5、x1x2＝6﹣p2﹣p，結(jié)合x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，即可求出p值．【解答】解：（1）證明：原方程可變形為x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2≥0，∴無論p取何值此方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）∵原方程的兩根為x1、x2，∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p．又∵x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝3p2+1，∴52﹣3（6﹣p2﹣p）＝3p2+1，∴25﹣18+3p2+3p＝3p2+1，∴3p＝﹣6，∴p＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時，方程有兩個實(shí)數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求出p值．25．（2017秋?許昌期末）閱讀下面的材料：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）的根為，∴；請利用這一結(jié)論解決下列問題：（1）若x2+bx+c＝0的兩根為﹣2和3，求b和c的值．（2）設(shè)方程2x2﹣3x+1＝0的兩根為x1、x2，求的值．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】閱讀型．【分析】（1）可以直接利用閱讀材料的結(jié)論，其中a＝1，則b為兩根之和的相反數(shù)，c為兩根之積；（2）把所求式子整理為和根與系數(shù)有關(guān)的式子，然后把兩根之和、兩根之積代入即可求出其值．【解答】解：（1）∵﹣2+3＝1，∴b＝﹣1，∵﹣2×3＝﹣6，∴c＝﹣6；（2）∵x1+x2＝，x1x2＝，∴+＝＝＝3【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，則一次項(xiàng)的系數(shù)為二根之和的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為二根之積．26．（2016?鄂州）關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求證：無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的兩個根，記S＝+x1+x2，S的值能為2嗎？若能，求出此時k的值；若不能，請說明理由．【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】（1）分兩種情況討論：①當(dāng)k＝1時，方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)k≠1時，方程是一元二次方程，所以證明判別式是非負(fù)數(shù)即可；（2）由韋達(dá)定理得x1+x2＝﹣，x1x2＝，代入到+x1+x2＝2中，可求得k的值．【解答】解：（1）當(dāng)k＝1時，原方程可化為2x+2＝0，解得：x＝﹣1，此時該方程有實(shí)根；當(dāng)k≠1時，方程是一元二次方程，∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1）×2＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，∴無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根，綜上所述，無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）由根與系數(shù)關(guān)系可知，x1+x2＝﹣，x1x2＝，若S＝2，則+x1+x2＝2，即+x1+x2＝2，將x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2＝0，解得：k＝1（舍）或k＝2，∴S的值能為2，此時k＝2．【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的定義、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握方程的根與判別式間的聯(lián)系，及根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．27．（2012?鐵西區(qū)二模）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩根，求：（1）的值；（2）（x1﹣x2）2的值．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】易得到兩根之和與兩根之積的具體數(shù)值，把所求代數(shù)式整理成與之有關(guān)的式子而求解．【解答】解：∵x1+x2＝4，x1x2＝2．（1）＝2．（2）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42﹣4×2＝8．【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是把所求的代數(shù)式整理成與根與系數(shù)有關(guān)的形式．28．（2011?孝感）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）方程有兩個實(shí)數(shù)根，可得△＝b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范圍；（2）結(jié)合（1）中k的取值范圍，由題意可知，x1+x2＝2（k﹣1）＜0，去絕對值號結(jié)合等式關(guān)系，可得出k的值．【解答】解：（1）由方程有兩個實(shí)數(shù)根，可得△＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4k2＝4k2﹣8k+4﹣4k2＝﹣8k+4≥0，解得，k≤；（2）依據(jù)題意可得，x1+x2＝2（k﹣1），x1?x2＝k2，由（1）可知k≤，∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝x1?x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，解得k1＝1（舍去），k2＝﹣3，∴k的值是﹣3．答：（1）k的取值范圍是k≤；（2）k的值是﹣3．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法；注意k的取值范圍是正確解答的關(guān)鍵．29．（2007?肇慶）已知a，b是方程x2+2x﹣1＝0的兩個根，求代數(shù)式的值．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得a+b＝﹣2，ab＝﹣1，再依據(jù)，代入計(jì)算即可．【解答】解：∵＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，又因?yàn)閍，b是方程x2+2x﹣1＝0的兩個根，所以，故原式＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8．【點(diǎn)評】本題的解答利用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由此看來我們還是應(yīng)該熟練地掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．30．（2015?肇慶二模）設(shè)x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】欲求（x1﹣x2）2與的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2＝﹣2，x1?x2＝．（1）（x1﹣x2）2＝x12+x22﹣2x1x2＝x12+x22+2x1x2﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝＝10．（2）＝x1x2+1+1+＝＝．【點(diǎn)評】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．31．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．【考點(diǎn)】一元二次方程的定義；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理．【專題】應(yīng)用題；壓軸題；分類討論；方程思想．【分析】（1）本題可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0的兩個根，然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后將m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．進(jìn)行化簡，得出a，b的值．然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的a，b的值，進(jìn)而得出三角形的面積．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）．∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，設(shè)x1，x2是此方程的兩個根，∴x1?x2＝＝，∴也是正整數(shù)，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，又m為正整數(shù)，∴m＝2；（2）把m＝2代入兩等式，化簡得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0當(dāng)a＝b時，當(dāng)a≠b時，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的兩根，而△＞0，由韋達(dá)定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，則a＞0、b＞0．①a≠b，時，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2故△ABC為直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．②a＝b＝2﹣，c＝2時，因＜，故不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去．③a＝b＝2+，c＝2時，因＞，故能構(gòu)成三角形．S△ABC＝×（2）×＝綜上，△ABC的面積為1或．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理等知識點(diǎn)，本題中分類對a，b的值進(jìn)行討論，并通過計(jì)算得出三角形的形狀是解題的關(guān)鍵．32．（2005?南通）已知關(guān)于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0．（1）求證：n＜0；（2）試用k的代數(shù)式表示x1；（3）當(dāng)n＝﹣3時，求k的值．【考點(diǎn)】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】（1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞0，建立關(guān)于n，k的不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)，證出結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，把x1+x2＝k代入已知條件（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，即可用k的代數(shù)式表示x1；（3）首先由（1）知n＜﹣k2，又n＝﹣3，求出k的范圍．再把（2）中求得的關(guān)系式代入原方程，即可求出k的值．【解答】證明：（1）∵關(guān)于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝k2﹣4（k2+n）＝﹣3k2﹣4n＞0，∴n＜﹣k2．又﹣k2≤0，∴n＜0．解：（2）∵（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，x1+x2＝k，∴（x1+x1+x2）2﹣8（x1+x1+x2）+15＝0∴（x1+k）2﹣8（x1+k）+15＝0∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]＝0∴x1+k＝3或x1+k＝5，∴x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．（3）∵n＜﹣k2，n＝﹣3，∴k2＜4，即：﹣2＜k＜2．原方程化為：x2﹣kx+k2﹣3＝0，把x1＝3﹣k代入，得到k2﹣3k+2＝0，解得k1＝1，k2＝2（不合題意），把x2＝5﹣k代入，得到3k2﹣15k+22＝0，△＝﹣39＜0，所以此時k不存在．∴k＝1．【點(diǎn)評】本題綜合考查了一元二次方程的解法、一元二次方程根的定義、一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及分類討論的思想．33．（2004?四川）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3＝0…①的兩個不相等實(shí)數(shù)根中有一個根為0．是否存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2＝0…②的兩個實(shí)數(shù)根x1，x2之差的絕對值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】本題先要從第一個方程的判別式及有一個根為0出發(fā)，確定實(shí)數(shù)m的值，然后將m的值代入第二個方程并將其化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系根據(jù)題意看看能否找出k的值．【解答】解：把x＝0代入得m2﹣2m﹣3＝0．解得m＝3或﹣1．∵方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根．∴[﹣2（m+1）]2﹣4×（m2﹣2m﹣3）＞0．解得m＞﹣1．∴m＝3．∵x1，x2之差的絕對值為1．∴（x1﹣x2）2＝1．∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1．（k﹣3）2﹣4（﹣k+4）＝1．解得k1＝﹣2，k2＝4．∵當(dāng)k＝﹣2時，△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+4）＝k2﹣2k﹣7＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣7＝1＞0當(dāng)k＝4時，△＝k2﹣2k﹣7＝42﹣2×4﹣7＝1＞0．∴存在實(shí)數(shù)k＝﹣2或4，使得方程②的兩個實(shí)數(shù)根之差的絕對值為1．【點(diǎn)評】本題是一個探索存在性問題，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，按照題意直接推理是解這類問題的基本方法．34．（2000?黑龍江）當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的解都是整數(shù)？【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】這兩個一元二次方程都有解，因而根與判別式△≥0，即可得到關(guān)于m不等式，從而求得m的范圍，再根據(jù)m是整數(shù)，即可得到m的可能取到的幾個值，然后對每個值進(jìn)行檢驗(yàn)，是否符合使兩個一元二次方程的解都是整數(shù)即可確定m的值．【解答】，解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有解，則m≠0，∴△≥0mx2﹣4x+4＝0，∴△＝16﹣16m≥0，即m≤1；x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，△＝16m2﹣16m2+16m+20≥0，∴4m+5≥0，m≥﹣；∴﹣≤m≤1，而m是整數(shù)，所以m＝1，m＝0（舍去），m＝﹣1（一個為x2+4x﹣4＝0，另一個為x2+4x+3＝0，沖突，故舍去），當(dāng)m＝1時，mx2﹣4x+4＝0即x2﹣4x+4＝0，方程的解是x1＝x2＝2；x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0即x2﹣4x﹣5＝0，方程的解是x1＝5，x2＝﹣1；當(dāng)m＝0時，mx2﹣4x+4＝0時，方程是﹣4x+4＝0不是一元二次方程，故舍去．故m＝1．【點(diǎn)評】解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，首先根據(jù)根的判別式確定m的范圍是解決本題的關(guān)鍵．35．已知：△ABC的兩邊AB，AC的長是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，第三邊BC＝5；求：①求k的取值范圍；②k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理的逆定理．【分析】①根據(jù)根的判別式的意義得出△＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0，由三角形三邊關(guān)系可得2k+3＞5，由此求出k的取值范圍是k＞1；②由根與系數(shù)的關(guān)系得出AB+AC＝2k+3，AB?AC＝k2+3k+2，根據(jù)勾股定理得出AB2+AC2＝BC2＝25，利用完全平方公式得出（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，整理得k2+3k﹣10＝0，解方程，再根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)即可．【解答】解：①∵△ABC的兩邊AB，AC的長是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴△＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0且2k+3＞5，解得k＞1．∴k的取值范圍是k＞1；②∵AB+AC＝2k+3，AB?AC＝k2+3k+2，又∵AB2+AC2＝BC2＝25，∴（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，∴k2+3k﹣10＝0，∴k＝﹣5或2．∵k＝﹣5時，AB+AC＝2k+3＝﹣7＜0，不合題意舍去，k＝2時符合題意．∴k＝2．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式以及勾股定理，完全平方公式．七．一元二次方程的應(yīng)用（共5小題）36．如圖，在一條長90米，寬為6