阻尼對(duì)振動(dòng)的影響

§10-4阻尼對(duì)振動(dòng)的影響本節(jié)主要內(nèi)容阻尼理論的了解單自由度體系有阻尼的自由振動(dòng)振動(dòng)方程的解阻尼對(duì)頻率和振幅的影響阻尼比的確定有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼振動(dòng)內(nèi)容回顧mtFyyqwsin2=+&&1.無(wú)阻尼自由振動(dòng)：A=y02+v02/ω2α=1tan-1(y0ω

/v0)2.無(wú)阻尼受迫振動(dòng)：平穩(wěn)階段：§10-4阻尼對(duì)振動(dòng)的影響一、阻尼理論1、阻尼的兩種定義或理解：2、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素1）結(jié)構(gòu)在變形過(guò)程中材料內(nèi)部有摩擦，稱“內(nèi)摩擦”，耗散能量；3）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點(diǎn)上的摩擦和空氣阻尼等等。1）使振動(dòng)衰減的作用；2）使能量耗散。2）建筑物基礎(chǔ)的振動(dòng)引起土壤發(fā)生振動(dòng)，此振動(dòng)以波的形式向周圍擴(kuò)散，振動(dòng)波在土壤中傳播而耗散能量；振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過(guò)非彈性力來(lái)考慮，由于對(duì)非彈性力的描述不同，目前主要有兩種阻尼理論：*粘滯阻尼理論——非彈性力與變形速度成正比：*滯變阻尼理論3、阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向；大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系：1）與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。2）與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。3）與質(zhì)點(diǎn)速度無(wú)關(guān)（如摩擦力）。其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來(lái)分析。c—阻尼系數(shù)，粘滯阻尼系數(shù)。（單位N·s/m）mFS(t)FI(t)P(t)y..kmP(t)P(t)C1、阻尼對(duì)自由振動(dòng)（令及設(shè)解為：二、單自由度體系有阻尼振動(dòng)微分方程平衡方程:特征方程（1）振動(dòng)方程的解特征值一般解

ξ＞1ξ=1ξ＜1

大阻尼臨界阻尼?。ㄈ酰┳枘幡问且粋€(gè)重要參數(shù)，ξ的大小，使體系的運(yùn)動(dòng)呈不同情況。1）低阻尼情形(<1)令λi=-ωξ±iωr方程的一般解為：由初始條件確定C1和C2；設(shè)得其中yt0AnAn+1討論：（a）阻尼對(duì)頻率和周期的影響

當(dāng)ξ<0.2，則存在0.96<ωr/ω<1。在工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:yt0AnAn+1（b）阻尼對(duì)振幅的影響振幅阻尼使振幅不斷衰減，結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中為克服阻力而作功，當(dāng)初始時(shí)刻外界賦予結(jié)構(gòu)的能量全部消耗貽盡，結(jié)構(gòu)停止振動(dòng)。相鄰兩個(gè)振幅的比:振幅按等比級(jí)數(shù)遞減.稱為振幅的對(duì)數(shù)遞減率.設(shè)yk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅則:工程中常用此方法測(cè)定阻尼2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動(dòng)性。臨界阻尼常數(shù)cr為ξ=1時(shí)的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點(diǎn)）阻尼比。反映阻尼情況的基本參數(shù)。3)ξ>1強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問(wèn)題不常見(jiàn)。EI=∞m例、圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，測(cè)得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。在測(cè)得周期T=1.5s及一個(gè)周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。解：=wxk2=wxmc2=wwxm22例6.對(duì)圖示剛架進(jìn)行自由振動(dòng)以測(cè)動(dòng)力特性。加力20kN時(shí)頂部側(cè)移2cm，振動(dòng)一周T=1.4s后，回?cái)[1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)大梁的重量,由(2)自振頻率(3)阻尼特性(4)6周后的振幅2、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載P(t)=Fsinθt設(shè)特解為：y=Asinθt+Bcosθt代入上式得：齊次解加特解得到通解：+{Asinθt

+Bcosθt}結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無(wú)論是否計(jì)入阻尼的作用，純強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。y=Asinθt

+Bcosθt=yPsin(θt

－α)振幅：yp，最大靜力位移：yst=F/k=F/mω2動(dòng)力系數(shù)：動(dòng)力系數(shù)β與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關(guān)4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點(diǎn)注意：①隨ξ增大β曲線漸趨平緩，特別是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最為顯著。xb21=共振時(shí)②當(dāng)θ接近ω時(shí)，β增加很快，ξ對(duì)β的數(shù)值影響也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大減小了受迫振動(dòng)的位移，因此,為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反映,阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì)β的影響較小，可按無(wú)阻尼計(jì)算。③βmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時(shí)，而發(fā)生在，但因ξ很小，可近似地認(rèn)為：④由y=yPsin(θt－α

)

可見(jiàn)，阻尼體系的位移比荷載P=Fsinθt

滯后一個(gè)相位角α

，

彈性力FS，慣性力FI，

阻尼力FD分別為：當(dāng)θ<<ω時(shí),α→0°體系振動(dòng)得很慢，F(xiàn)I、FD較小，動(dòng)荷主要由FS平衡，F(xiàn)S與y反向，y與P基本上同步；荷載可作靜荷載處理。當(dāng)θ>>ω時(shí),α→180°體系振動(dòng)得很快，F(xiàn)I很大，F(xiàn)S、FD相對(duì)說(shuō)來(lái)較小，動(dòng)荷主要由FI

平衡，F(xiàn)I

與y同向，y與P反向；tqsinx21tFqsin-=mwx22-=當(dāng)θ=ω時(shí),α→90°由此可見(jiàn)：共振時(shí)（θ=ω），F(xiàn)S與FI剛好互相平衡，βyst有無(wú)阻尼均如此。動(dòng)荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會(huì)出現(xiàn)內(nèi)力為無(wú)窮大的情況。而在無(wú)阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力與動(dòng)荷載平衡，才出現(xiàn)位移為無(wú)限大的現(xiàn)象。k=mω2=mθ2忽略三阻尼三的振三動(dòng)規(guī)三律考慮三阻尼三的振三動(dòng)規(guī)三律結(jié)構(gòu)三的自三振頻三率是三結(jié)構(gòu)三的固三有特三性，三與外三因無(wú)三關(guān)。簡(jiǎn)諧三荷載三作用三下有三可能三出現(xiàn)三共振三。自由三振動(dòng)三的振三幅永三不衰三減。自由三振動(dòng)三的振三幅逐三漸衰三減。共振三時(shí)的三振幅三趨于三無(wú)窮三大。共振三時(shí)的三振幅三較大三但為三有限三值?？紤]三阻尼三與忽三略阻三尼振三動(dòng)規(guī)三律對(duì)三比與無(wú)三阻尼三強(qiáng)迫三振動(dòng)三相比,有阻三尼強(qiáng)三迫振三動(dòng)有三以下三特點(diǎn)三：（1）θ＜＜ω，θ三/三ω三→三0，β→1。由于三振動(dòng)三很慢,因而三慣性三力和三阻尼三力都三很小,動(dòng)力三荷載三主要三由結(jié)三構(gòu)恢三復(fù)力三平衡.此時(shí)α三→00,位移三基本三上與三荷載三同步三。(y與FP同步)（2）θ＞＞ω，θ三/三ω三→三∞，β很小三。體系三振動(dòng)三很快三，質(zhì)三點(diǎn)近三似于三作振三幅很三小的三顫動(dòng)三。由三于振三動(dòng)很三快，三因此三慣性三力很三大，三動(dòng)力三荷載三主要三由慣三性力三平衡三。此三時(shí)α三→1三800，位移三與荷三載反三向。三（y與FP反向三）（3）、θ三≈三ω，θ三/三ω三→三1，β增加三很快,動(dòng)力三反應(yīng)三即振三幅很三大。此時(shí)α→900，位三移y(三t)落后三于荷三載FP(t三)大約900，即三：FP(t三)最大三時(shí)，y(三t)很小三，所三以FI(t三)和Fs(t)都很三小。此時(shí),三F