導(dǎo)數(shù)及生活中的優(yōu)化問題

生活中的優(yōu)化問題一、［知識盤點(diǎn)］1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，建立實際問題的 ，寫出實際問題中 ，根據(jù)實際問題確定 。求函數(shù)y=f(x)的 ，解方程 ，得出定義域內(nèi)的實根，確定 。比較函數(shù)在 和 的函數(shù)值的大小，獲得所求函數(shù)的最大(小)值。二、 ［解題初試］1．將8分為兩個數(shù)之和，使兩數(shù)的立方和最小，則這兩個數(shù)可分為()A.2和6B.4和4C.3和5 D.以上都不對2．(2007年山東臨沂)某汽車運(yùn)輸公司購買了一批毫華大客車投入運(yùn)營，據(jù)市場分析，每輛客車運(yùn)營的總利潤為y(萬元)與運(yùn)營年數(shù)x(xeN+)滿足二次函數(shù)=-(x-6)2+11，則每輛客車運(yùn)營多少年報廢，才能使其運(yùn)營年平均利潤最大？()TOC\o"1-5"\h\zA.3 B.5 C.7 D.10設(shè)底面為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為( )A.3‘V B.32V C.34V D.2vV以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為( )A.10 B.15 C.25 D.50某工廠需要圍建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以處用原有的墻壁，其它三面需要砌新的墻壁。當(dāng)砌墻壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為 。某公司規(guī)定：對于小于或等于150件的訂購合同，每價的售價為200元，對于多于150件的訂購合同，每超過1件，則每件的售價比原來減少1元.那么訂購 件的合同會使公司的收益最大.三、 ［典例精析］1、利潤問題例1.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%，又銀行吸收的存款能全部放貸出去，試確定當(dāng)存款利率定為多少時，銀行可獲取最大收益？［變式訓(xùn)練］：1.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為C(x),出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，將R(x)-C(x)稱為是利潤函數(shù)，并記作P(x).如果C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際成本Cf(x)最低？如果C(x)=50x+1000,產(chǎn)品的單價p=100-0.01x，那么怎樣定價可使獲得的利潤最大？

例2．某公司是一家專做產(chǎn)品A的國內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完。該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖一、圖二、圖三所示，其中圖一中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖二中的拋物線表示國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖三中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系(國內(nèi)外市場相同)。(I)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)、國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A的上市時間t的關(guān)系式；變式訓(xùn)練］2．某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線。寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(t)；據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效。①求服藥一次治療疾病有效的時間？②當(dāng)“時’第二次服藥’問t［乂十時’藥效是否連續(xù)?

2、幾何問題例3．（2006年江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O］的距離為多少時，帳篷的體積最大？ 1［變式訓(xùn)練］用總長14.8m的鋼條作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積.例4．某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地建成一個矩形的高科技工業(yè)區(qū).已知AB丄BCOA/BC且AB=BC=2AO=4km，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線的一段,如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB,BC上,且一個頂點(diǎn)落在曲線段OC上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積（精確到此0.1km2）.［變式訓(xùn)練］4．甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠.由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系x=2000vt.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格），（1） 將乙方的年利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；（2） 甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.00212（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？例5.甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km,兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。浚圩兪接?xùn)練］一火車鍋爐每小時消耗煤的費(fèi)用與火車行駛的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為每小時20千米時，每小時消耗的煤的費(fèi)用為40元，至于其它費(fèi)用則每小時需要200元，問火車的速度多大才能使火車從甲城開往乙城的總費(fèi)用最省（已知火車的最高速度為每小時100千米）？例6. （2007年山東濟(jì)寧一中）A、B兩隊進(jìn)行某項運(yùn)動的比賽，以勝三次的一方為冠軍，設(shè)在每次比賽中A勝的概率為p，B勝的概率為q（p+q=1,p>0.q>0），又A得冠軍的概率為P,冠軍的概率為Q,決定冠軍隊的比賽次數(shù)為N.（1） 求使P－p為最大的p值；（2） 求使N的期望值為最大的p值及期望值。［變式訓(xùn)練］（2006年福建卷）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：13y= x3-x+8（0<x<120）.已知甲、乙兩地相距100千米。12800080（I） 當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II） 當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升?［能力提升］1.（2006湖北黃岡）設(shè)氣球以每秒100cm3的常速注入氣體，假設(shè)氣體壓力不變，那么當(dāng)氣球半徑為10cm時，氣球半徑增加的速度為（）12C. cm/sD. cm/s2n3n2．內(nèi)接于半徑為5的半圓的周長最大的矩形的邊長為（ ）A.5和15 B.空5和40‘5 C.4和7 D.以上都不對223.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15x2和L2=2x,其中x為銷售量（單位：輛）?若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為 （ ）A.45.606萬元 B.45.6萬元C.45.56萬元D.45.51萬元某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)1件正品，可獲利200元，每生產(chǎn)1件次品損失100元。已知總收益P與年產(chǎn)量x（件）的函數(shù)關(guān)系是400x一—x2（0<x<400） …、，十.一一、.亠—亠?R（x）眾 2 ，則總利潤最大時，每年應(yīng)生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（ ）80000（x>400）A.100 B.150 C.200 D.3005.（2006年江蘇啟東）用邊長為45cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四各截去一個面積相等的小正方形然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，若所做的鐵盒容積最大則在四角截去的小正方形的邊長為（）A.6 B.8 C.10 D.126.強(qiáng)度分別為a=&b=1的兩個光源A、B間的距離為d=3，在連結(jié)兩光源的線段AB上,距光源A為 點(diǎn)處照明強(qiáng)度最?。ㄕ彰鲝?qiáng)度與光強(qiáng)度成正比， || 與光源距離的平方成反比）。在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為r，電動勢為E.當(dāng)外電阻R為 時，才能使電功率最大，最大值為 。 一R― 8某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出1件正品，可獲利200元， 生產(chǎn)出1件次品則要損失100元。已知該廠制造電子元件過程中次品率P與生產(chǎn)量x（件）3x的函數(shù)關(guān)系是P=交（xeN+）,為了獲得最大利潤，該廠的日生產(chǎn)量應(yīng)定為 件。4x+322某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c（x）=1200+—x2（萬元），已知產(chǎn)品單價的平方與75產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，則產(chǎn)量定為 件時總利潤最大。（2006年山東東營）一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費(fèi)是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最??？如圖,把邊長為a的正六邊形紙板剪去相同的六個角，做成一個底面為正六邊形的無蓋直六棱柱的盒子(不計接縫),要使所做成的盒子體積最大，問如何裁剪？煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵千成環(huán)境污染，已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比。現(xiàn)有A、B兩座煙囪相距20km,其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪噴出煙塵量的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低。［仿真訓(xùn)練］一．選擇題f(x)與g(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，則廣(x)=g，(x)是f(x)=g(x)的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2006年四川卷)曲線y=4x-x3在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程是( )C.y=x-4D.y=x-2A.y=C.y=x-4D.y=x-23.4.曲線y=3.4.曲線y=x3+3x2+6x—10的切線中，斜率最小的切線方程是(A.3x+y－10=0 B.3x－y－11=0C.x=－1函數(shù)y=ax2+c在區(qū)間(0,+x內(nèi)單調(diào)遞增，則a、c應(yīng)滿足(A.aV0且c=0C.aVO且c^0)D.不存在)B.a>0且c是任意數(shù)D.aV0且c是任意實數(shù)5.函數(shù)f(x)=x3—ax2—bx+a2在x=1時,有極值10,則a、b的值為a=3,a=-4a=-4,a=-4A.或B.或b=-3b=11b=1b=11C.<a=-1D.以上皆錯6.(2006年東營)設(shè)函數(shù)f(x)6.(2006年東營)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖1所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f，(x)7．已知f(x)=2x3－6x2+a(a是常數(shù))在［－2，2］上有極大值是3，那么在［－2，2］上f(x)的最小值是()A.—5B.—11C.—29D.—378.拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍起的面積為()A 16A.廠18B.—C.18D.1633TOC\o"1-5"\h\z9?設(shè)函數(shù)y=\x(1-t)dt有極值，則極值點(diǎn)為( ).0Ax=1 .B.x=2 C.(l,T D.(2,1)(2006年海淀區(qū))函數(shù)y=xsinx+cosx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)( )A.(-)B.(n,2n)C.(埜，竺) D.(2n,3n)2222(2007年山東省實驗中學(xué))已知f(x)=2X3-6x2+m(m為常數(shù))在［-2,2］上有最大值3，那么此函數(shù)在［－2，2］上的最小值為 ( )A.-5 B.-11 C.-29 D.-37(2007年廣東徐聞一中)如果函數(shù)y=x2+ax-1在區(qū)間［0,3］上有最小值一2,那么a的值是()A.±2 B.-衛(wèi) C.—2 D.±2或33二.填空題TOC\o"1-5"\h\z(2006年福建卷)已知直線x-y-1=0與拋物線y=ax2相切，則a= .函數(shù)y=x4—8x2+2在［一1,3］上的最大值為 .3某物體做直線運(yùn)動,其運(yùn)動規(guī)律是 t的單位是秒,s的單位是米),則它在4t秒末的瞬時速度為 .已知函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在［1,2］上恒正，則實數(shù)b的取值范圍是 .三.解答題已知二次函數(shù)f(x)滿足：①在x=1時有極值；②圖象過點(diǎn)(0,-3),且在該點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行.(1)求f(x)的解析式；2)求函數(shù)g(x)=f(x2)的單調(diào)遞增區(qū)間.

18.已知函數(shù)f(x)=-―x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1)的極大值為亠。38求實數(shù)b的值；當(dāng)xgR時，