自動控制原理二零

第五節(jié)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)5/17/20231

主要內(nèi)容幅角定理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用在波德圖或尼柯爾斯圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。5/17/20232一、幅角定理：設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，其中： 為前向通道傳遞函數(shù)，為反饋通道傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，如下圖所示：令：則開環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(b)5/17/20233顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：。式中，為F(s)的零、極點(diǎn)。由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；將閉環(huán)特征方程與開環(huán)特征方程之比構(gòu)成一個輔助方程，得：……………..(c)5/17/20234F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)都可以在F(s)平面上找到一個相應(yīng)的點(diǎn)，稱為在F(s)平面上的映射。同樣，對于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應(yīng)的封閉曲線（為的映射）。[例]輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見下圖：5/17/20235同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上曲線映射到F(s)平面的曲線為，如下圖：示意圖曲線是順時針運(yùn)動的，且包圍了F(s)的一個極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線包圍原點(diǎn)，且逆時針運(yùn)動。再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若順時針包圍F(s)的一個極點(diǎn)（0）和一個零點(diǎn)（-2），則不包圍原點(diǎn)順時針運(yùn)動；若順時針只包圍F(s)的一個零點(diǎn)（-2），則包圍原點(diǎn)且順時針運(yùn)動。這里有一定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。5/17/20236[柯西幅角定理]：s平面上不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線包圍s平面上F(s)的z個零點(diǎn)和p個極點(diǎn)。當(dāng)s以順時針方向沿封閉曲線移動一周時，在F(s)平面上相對應(yīng)于封閉曲線將以順時針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。若N為正，表示順時針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示順時針運(yùn)動，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示逆時針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)。5/17/20237二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。5/17/20238這里需要解決兩個問題：1、如何構(gòu)造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓；；Ⅲ部分是負(fù)虛軸，。第1個問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點(diǎn)。按順時針方向做一條曲線包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢ5/17/20239F(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了N，可求出 。當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。第2個問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為，為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：5/17/202310②F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對應(yīng)，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對稱。③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。①由可求得，而是開環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)時，，即F(s)=1。（對應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）5/17/202311F(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢ5/17/202312根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N>0順時針，N<0逆時針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。若，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述]：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：在 平面上的開環(huán)頻率特性曲線極其映射當(dāng)從變化到時，將以逆時針的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn)圈。對于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點(diǎn)。不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。5/17/202313[例5-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。5/17/202314[例5-7]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)極點(diǎn)為-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞(-1,j2)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。5/17/202315[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-[解]：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時不包圍(-1,j0)點(diǎn)。由圖中看出：當(dāng)k>1時，奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，N=-1，而，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。5/17/202316當(dāng)k=1時，奈氏曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)k<1時，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點(diǎn)，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構(gòu)奈魁斯特路徑。作業(yè)：5-6,5-7,5-85/17/202317三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用：具有開環(huán)0極點(diǎn)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：可見，在原點(diǎn)有重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，不解析，若取奈氏路徑同上時（通過虛軸的整個s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點(diǎn)而仍然能包圍整個s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑由以下四部分組成：5/17/202318Ⅰ部分：正虛軸，，Ⅱ部分為半徑為無窮大的右半圓；Ⅲ部分負(fù)虛軸，，Ⅳ部分為半徑為無窮小的右半圓，下面討論對于這種奈魁斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關(guān)于實(shí)軸對稱；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；3、第Ⅳ部分：(a)對于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：ⅠⅡⅢⅣ5/17/202319(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個圓（順時針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。5/17/202320[結(jié)論則]用上水述形式梳的奈氏鏟路徑，白奈氏判披據(jù)仍可湊應(yīng)用于咽Ⅰ、Ⅱ載型系統(tǒng)軍。[例5切-9]孟設(shè)Ⅰ型妹系統(tǒng)的株開環(huán)頻醫(yī)率特性壺如下圖遠(yuǎn)所示。北開環(huán)系晴統(tǒng)在s右半謹(jǐn)平面瓦沒有辱極點(diǎn)么，試虛用奈籠氏判透據(jù)判責(zé)斷閉譜環(huán)系鋤統(tǒng)穩(wěn)已定性繭。[解喪]：眼顯然督這是缺1型監(jiān)系統(tǒng)杯。先闊根據(jù)回奈氏踏路徑吳畫出略完整揀的映仿射曲鉛線。從圖上看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。5/4稍/20欲2321[例5業(yè)-10姿]某Ⅱ禽型系統(tǒng)您的開環(huán)授頻率特蒜性如巾下圖所拿示，且s右半平艘面無極驕點(diǎn)，試圖用奈氏摔判據(jù)判氏斷閉環(huán)漿系統(tǒng)穩(wěn)怪定性。[解]滅：首先壁畫出完銷整的奈不氏曲線墊的映射害曲線。許如右圖吉：從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。5/4指/20竿2322[特批殊情涌況]梢：1嘩、若蔑開環(huán)孝系統(tǒng)強(qiáng)在虛溝軸上尾有極抹點(diǎn)，費(fèi)這時拾應(yīng)將村奈氏士路徑段做相疼應(yīng)的庸改變梨。如謝下圖理：以極點(diǎn)為暴圓心，巖做半徑卸為無窮倦小的右介半圓，燦使奈氏漆路徑不帶通過虛辨軸上極糾點(diǎn)（確侵保滿足障柯西幅鉤角定理雹條件）饒，但仍愚能包圍顧整個s右半呼平面幻玉。映棒射情巴況，趴由于濾較復(fù)獎雜，貓略。2、如失果開環(huán)岡頻率特鐵性曲線剖通過(商-1,j0)點(diǎn)，妥說明鵝閉環(huán)識系統(tǒng)松處于鳥臨界腥穩(wěn)定酬狀態(tài)馬，閉誼環(huán)系避統(tǒng)在拐虛軸積上有餅極點(diǎn)吵。5/零4/門20佛2323通常，只畫出的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：。式中，為變化時，開環(huán)奈氏圖順時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點(diǎn)，0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對應(yīng)的奈魁斯特路徑分別為：5/4預(yù)/20熔2324這時奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)從 時，頻率特性曲線在實(shí)軸段的正負(fù)穿越次數(shù)差為。頻率特性曲線對(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來表示。當(dāng)增加時，頻率特性從上半s平面穿過負(fù)實(shí)軸的段到下半s平面，稱為頻率特性對負(fù)實(shí)軸的段的正穿越（這時隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。正穿越負(fù)穿越5/4萌/20鋼2325四、宰在對厘數(shù)坐新標(biāo)圖括上判集斷系褲統(tǒng)的禽穩(wěn)定粉性：開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。奈氏圖頻率特性曲線在上的正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系：在對數(shù)坐標(biāo)圖上的范圍內(nèi)，當(dāng)增加時，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負(fù)穿越。5/4貸/20托2326對照倒圖如缺下：正穿越負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越相角方向為正增加時，相角增大對數(shù)坐更標(biāo)圖上室奈氏穩(wěn)陶定判據(jù)綿如下：設(shè)開環(huán)頻率特性在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負(fù)穿