第章張量分析清華大學張量分析你值得擁有

第3章張量函數(shù)及其導數(shù)

2023年5月17日目前一頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點主要內(nèi)容張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例矢量的標量函數(shù)二階張量的標量函數(shù)二階張量的二階張量函數(shù)張量函數(shù)導數(shù)的定義，鏈規(guī)則矢量的函數(shù)之導數(shù)二階張量的函數(shù)之導數(shù)目前二頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例要研究導數(shù)，必須引進函數(shù)。張量函數(shù)，有各種類型。例如，張量的標量函數(shù)：例如，張量的張量函數(shù)：目前三頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例各向同性張量函數(shù)（客觀性背景）可先看各向同性標量函數(shù)：在坐標系剛性旋轉(zhuǎn)變換下，其表現(xiàn)形式和數(shù)值均保持不變。例如：目前四頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例等價表示或等價描述：上述各向同性函數(shù)的描述，雖然清晰，但很不方便，因為坐標系要旋轉(zhuǎn)。問題：能否找到一種等價描述，在該描述下，坐標系保持不動？經(jīng)典《解析幾何》中，解析地描述一個幾何圖形的運動，有兩種不同的思想。一種思想：圖形不動，移動坐標。但運動是相對的，于是另一種思想：坐標不動，圖形移動。注意：運動學思想之重要！目前五頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例考察一個最簡單的圖形，一個矢量。研究兩種相對的旋轉(zhuǎn)運動下，矢量的表達，以及矢量的標量函數(shù)的表達。一種旋轉(zhuǎn)運動，矢量不動，坐標系順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，函數(shù)不變：另一種旋轉(zhuǎn)運動，坐標系不動，矢量逆時針旋轉(zhuǎn)同一個角度，函數(shù)不變：進一步：目前六頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例矢量的旋轉(zhuǎn)量：二階張量的旋轉(zhuǎn)量：進一步看：目前七頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例把上述思想推廣至一般情形：各向同性張量函數(shù)函數(shù)滿足當自變量改為其旋轉(zhuǎn)量時，函數(shù)值必相應地變?yōu)槠湫D(zhuǎn)量，即：通過正交變換，使從而使目前八頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例各向同性張量函數(shù)例子請見《張量分析》的92~93頁。目前九頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點矢量的標量函數(shù)Cauchy基本表示定理：矢量的標量函數(shù)為各向同性f可表示為內(nèi)積

的函數(shù)。推論：矢量的標量函數(shù)為各向同性f可表示為目前十頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量的標量函數(shù)定理1：若為各向同性函數(shù)例：屈服函數(shù)定理2：若為各向同性函數(shù)時，發(fā)生屈服，張成的曲面為屈服面。因此，一次項二次項三次項目前十一頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量的標量函數(shù)例：屈服函數(shù)若材料不可壓縮，馬氏體相變（金屬材料）+塑性屈服考慮因此有消失；若只研究二次項，消失，因此有若材料可壓縮，則與有關(guān)，因此有目前十二頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點二階張量的二階張量函數(shù)二階張量的解析函數(shù)冪級數(shù)：仿照復變函數(shù)中的解析函數(shù)來構(gòu)造二階張量的解析函數(shù)：如何確定？目前十三頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點二階張量的二階張量函數(shù)Hamilton-Cayley等式推廣：T的特征多項式：H-C等式：均可用來表達。由于，也就是說，H-C等式的意義：只需研究低次項，而無需高次項。目前十四頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點二階張量的二階張量函數(shù)例：應力應變關(guān)系1、各向同性材料未加載時，有2、線性各向同性材料則因此，有目前十五頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)導數(shù)的定義，鏈規(guī)則有限微分、導數(shù)與微分函數(shù)的導數(shù)、微分：有限微分是張量函數(shù)導數(shù)的核心！※先對函數(shù)概念做擴展！

A是自變量，可以是標量，矢量，張量。

B是函數(shù)，也可以是標量，矢量，張量。目前十六頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點典型例子：非線性彈性材料：過去，這樣求導，似乎天經(jīng)地義。本章假定：僅研究直線坐標系下張量函數(shù)的導數(shù)。換言之，基矢量不變，是常矢量。目前十七頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點如果：且x是標量，則總有：然而，如果：且v是矢量，就沒有任何意義了！因此，微分的概念要拓展。目前十八頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點從微分到有限微分，出發(fā)點，仍然是傳統(tǒng)的微分稱為函數(shù)F(x)對z的有限微分。其中：h——無量綱無窮小量；

z——自變量x的有限增量，與x同量綱。令z=1，立即有：目前十九頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點可以證明：這是有限微分與傳統(tǒng)微分之間的關(guān)系：線性關(guān)系！令dx=hz，則有：即得：進一步：目前二十頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點※進一步推廣：矢量的矢量函數(shù)有限微分運算具有線性性與可和性。線性性：可和性：規(guī)定gi是常矢量目前二十一頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點※矢量的矢量函數(shù)的有限微分目前二十二頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點※張量的張量函數(shù)的有限微分（協(xié)變微分意義下）張量函數(shù)，其中，注意：至此，都只是給出定義！目前二十三頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量函數(shù)導數(shù)的鏈規(guī)則★類似于經(jīng)典的復合函數(shù)求導經(jīng)典復合函數(shù)的導數(shù)張量的張量復合函數(shù)的導數(shù)（二階張量）目前二十四頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點矢量的函數(shù)之導數(shù)矢量的矢量標量張量函數(shù)之導數(shù)先看矢量的標量函數(shù)之導數(shù)。已有：出發(fā)點，仍為定義：于是，關(guān)鍵是計算目前二十五頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點目前二十六頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點于是有：比較（定義式和計算式）：u任意，故立即有：目前二十七頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點矢量的函數(shù)之導數(shù)推而廣之，矢量的函數(shù)求導數(shù)的計算式矢量的矢量標量張量函數(shù)之導數(shù)目前二十八頁\總數(shù)三十一頁\編于十八點張量的函數(shù)之導數(shù)張量的函數(shù)求導數(shù)的計算式張量的矢量標量張量函數(shù)之導數(shù)目前二十九頁\總數(shù)三十一頁\編于