2015考研專碩管綜基礎(chǔ)初數(shù)講義

充分性X=1→x2-X>2→x2=2x-X2-3x-4=x2-例y=ax+ba=- (2)a=1,b=-第一章實(shí)數(shù)數(shù)數(shù)的分

（減法 （除法

整數(shù)Z

有理數(shù)Q

無(wú)限不循環(huán)小實(shí)數(shù)R 無(wú)理數(shù) 負(fù)有理數(shù)4/8（三位）4（8）整除50、5 (A) (B) ） (C) (D) (E)（大數(shù)）共有 11（素11 (A)質(zhì)數(shù)（B）合數(shù)（C）非質(zhì)數(shù)，非合數(shù)（D）（E）以上均不對(duì)23連續(xù)（相鄰）3連續(xù)（相鄰）nn例

NZ

N3-N必有約數(shù) =0.217=例：xyxy+13x3例:有一個(gè)非零自然數(shù)，當(dāng)乘以2.1262.1261.4，于 (A)11100（B）11010（C）10110（D）10100實(shí)數(shù)的四則運(yùn)33x,y（1+23）x

y2

0x,y (A)1,3 (B)-1,2 （E）例a2/(a1)(a2)/(a5)2/(a整數(shù)的奇偶分 例：m,n為正整數(shù)，m（1）3m+2n（2）3m2+2n2為偶例nn1,2,3…19901990個(gè)自然數(shù)中相鄰的兩個(gè)數(shù)之間任意添加一個(gè)加號(hào)或減號(hào)，設(shè)m絕對(duì)a,a絕對(duì)值的定義||a|aa若|x23x|3xx2則xx2

3x

,則x? 2x 2x絕對(duì)值的自比性

|a|1,a|a 例bccaab |b |c

a,b,ca,b,c三角不等例若關(guān)于實(shí)數(shù)x的等式|x+1|+|2x-3|=|3x-2|成立，則x的取值范圍是 （2）|a-3、比和比定yk(kx

幾個(gè)重要的關(guān)20%20%二月比一月多20%30%重要的定合比定理acabc 合分比定理：acamc當(dāng)m1時(shí),acac b bace

ac bd例:若abcabcabck，則k的值等于 （E）1或比例的求值問(wèn) 若實(shí)數(shù)x，y，zx:yz111xyz74，則X=( 45定nx1x2

，稱x1x2 n

nx1x2...xn

nx1nx1x2...例：a，bc均值定理 yx2yx

1(x

yx2xyx1(xx 第二章代數(shù)整分無(wú)理11.1a2b2(ab)(a(ab)2a22ababb2a3b3abb2a2b2c2abacbc1[(ab)2(ac)2(bc)2](abc)2a2b2c22ab2ac(abc)2a2b2c22ab2ac(x22x1)2(x2x2)2例：已知x46x3ax2bx4是一個(gè)二次三項(xiàng)式的完全平方式，其中ab0，則a,b的值為（ A.a6,b1B.a5,b4C.a13,b12D.a13,b12E.a13,b例：已知ab5cb10，則a2b2c2abacbc（ABC 1.2>x22xa23abx22txt2x2(2a)xx25xy6y2xy2x26xy4y2x例：若12xy是4xy4x2y2m的一個(gè)因式，則m的值等于 例x2mxy6y210y40 (2)m=-例f(x)x33x25x2x2的余式為？例f(xx33x25x2除以多項(xiàng)式2x3的余式為？例f(xx99除以多項(xiàng)式2x3f(x除以多項(xiàng)式(axbf(ba2012年：若x3x2axb能被x23x2整除，則a,b的值為 拓展：多項(xiàng)式x32x2x6除以x21的余式為 例：2x(x3)(x1)展開式中x2前面的系數(shù)為 例ax2bx1與3x24x5x（1）a:b3:分

a3,b A,BBB

AAM,AAM(M BM B1例：若x 1x

x4

x25x1

x4

例x25x1

2x42x2x3

例：若113，則2x3xy2y 無(wú)理

x2xy非負(fù)代數(shù)式和為零——求值問(wèn)x|y|z2例：已知a,bR，且|a1|4b24b1，則ab的值為 A.2

2

E確例：a，b，c適合a2b2c233810a24b

第三

函數(shù)，方程和不等式 一次函數(shù) 函數(shù)

二次函數(shù) 圖像與y 絕對(duì)值函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 四則運(yùn)算 對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù) 指，對(duì)數(shù)函數(shù) 函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù) 一次函數(shù)

ykxb(k0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).圖像：k，by二次函數(shù)yax2bxc(a0yax2bxc(a0xy絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值y|x1||x2y|x3||x2y|x3||x2y|x1||x2y|x3||x2y|xa||xb1.4.1數(shù)、對(duì)數(shù)ayayaxy;ax/ayaxy;(ab)xaxbx;a01

mlognlogmn;logmlognlog a

myylogm;

mlogbm;log1xa xa

logb指數(shù)函yax(a0a1aa對(duì)數(shù)函ylogax(a0,a1aa 解一元一次方程 討論方程的根的情 因式分解 解法配方 求 方程整式方程一元二次方程

根的個(gè)數(shù) 討論方程的根的情況 正負(fù)性x1

x

1二元一次方程解一元一次方程根的情a0,xaaaxb0a0b0a0，b0,x二元一次方程ax2bxc(ax23xx22xx2xbbb2ax2bxc(axx xx1 例x28x40xx x2x

1

|x1x2例s,t，st≠1，分別滿足方程3s225s1

，則 （1s1例：已知,是方程x2x10的兩個(gè)根，則43的值等于 ax2bxc0(a0

00例xk2x22k1)x10有兩個(gè)相異的實(shí)根,則k 例：關(guān)于x的方程k2x2(2k1)x10有實(shí)根，則k的取值范圍是 ax2bxc0(a

x1x2xx1xx xx1ax2bxc0(a?0xx?0 xx?0

1例：關(guān)于x的一元二次方程x2xa(1a)0有兩個(gè)不相等的正根，則實(shí)數(shù)a的取值范 例：xax2bxc0 例：xx23mxm2402 (2)m=- 去分母整式方 解法解整式方 分式方程 驗(yàn)根 有討論根

無(wú) x x

x1

1

3x

不等式的性 一元一次不等不等式不等式整式不等元二次不等 一元高次不等 分式不等（x1)(x2)(x5)（x1)3(x2)2(x5)(2x)(x2x5)(x22x3)(x1)(3x

比例問(wèn)工程問(wèn)濃度問(wèn)第四章應(yīng)用題行程問(wèn) 問(wèn)公倍容斥原最值問(wèn)比例問(wèn)130%AB例商店某種服裝換季降價(jià)，原來(lái)可以買8件的錢現(xiàn)在可以買13件，問(wèn)這種服裝的價(jià)格下 例某電子產(chǎn)品一月份按原定價(jià)的80%，能獲利20%，二月份由于進(jìn)價(jià)降低，按同樣原價(jià)的75%，卻能獲利25%，那么二月份進(jìn)價(jià)是一月份進(jìn)價(jià)的百分之（ 1134 ）

23（A）4萬(wàn)（B）8萬(wàn)（C）12萬(wàn)（D）18 例某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品經(jīng)產(chǎn)品檢驗(yàn)，優(yōu)等品與二等品的比是5:2，二等品與次等品的比是5:1，則該批產(chǎn)品的（合格品包括優(yōu)等品和二等品）為（ （A）92%（B）92.3%（C）94.6% 21530152 ）（A）4（B）5（C）6 例（）（A）60（B）70（C）80（D）90例某班在一次測(cè)試中，全班的平均成績(jī)?yōu)?0，其中的平均分為83，男生的平均分為 人數(shù)之比為（）50819075的人數(shù)為（）人（A）30（B）25（C）20（D）35例濃度問(wèn)4、濃度問(wèn)題濃度=溶溶12.5%4020%的鹽水？例30%6020%的鹽水？例行程問(wèn)5一般行程問(wèn)題vtA、B26人相向二行，650A、B（）米（A）680 （D）8005.2甲乙兩人同時(shí)從橢圓形的跑道上同一起點(diǎn)出發(fā)，沿著順時(shí)方向，甲比乙快，可以確定甲1.50.4容斥原理問(wèn)用來(lái)解決例30個(gè)人申請(qǐng)一項(xiàng)工作，其中14個(gè)有4年的工作經(jīng)驗(yàn)，18個(gè)人擁有 ，3個(gè)人的工作經(jīng)驗(yàn)不到4年且沒(méi)有 ，則申請(qǐng)者至少有4年的工作經(jīng)驗(yàn)且擁有 的有（） 最值問(wèn)9例售出500件，在此基礎(chǔ)上，定價(jià)每增加1元，一天便能少售出10件，甲商店欲獲得最大利 12120801120 一般數(shù)列 第五章數(shù)列等差數(shù)列 等比數(shù)列 一般數(shù)前n項(xiàng)和：sna1a2

an已知sn已知遞推，求

an已知snsna1a2 .ansn

nas1,nnsnsn1,nnn例已知sn22n3，求nn已知遞推，求

an1ann1,a2a1

n2,a3a2dn3,a4a3nn1,anan1

an1anf例在數(shù)｛an｝中，a11,an1an3n，求數(shù)列的通 的求an1q推出a

n1,a2qa1n2,a3qa2n3,a4nn1,an

an1f(n)

2n

n n{an}:2481632

{bn}:1371531{cn}:3591733 求

an{a}{at}:an1tan

例已知數(shù)列{an},a11,an13an1，求數(shù)列的通

annsn1234 sna1a2 sna1a2

saaq a

aqaq2 a

an2ns ns12222323 nnnqs122223324 nnasn一般數(shù)列n ,a 等差數(shù)122（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外，都是它的前2通 ：ana1(n1)dam(nm)求和：

n(a1an)

n(n 例已知數(shù)列l(wèi)g2,lg(2x1),lg(2x3)是等差數(shù)列，則x的值等于 (B)lg2 (C)lg2 (D)lg5 (E)lg3例若{an}為等差數(shù)列，a158,a6020，那么a75( d0遞增數(shù)d0常數(shù)d0遞增數(shù)anamapaq(mnp例{and=3d=-a2a3a4a5a2a5例sn是等差數(shù)列{ann項(xiàng)和，已知s636,sn

sn6144(n6)，則等于 性質(zhì)與sn (a1a2n1)(2n1)2an(2n1)(2n 例：兩個(gè)等差數(shù)列{a

和

7n a5

n(A)4或 (B)4或 (C)5或 (E)6或2abG，a,G,bGab例實(shí)數(shù)a,b,cxax22bxc0a

aqn1a a(1qnsn1 (q1)1q例可以確定等比數(shù)列{an}中的q

52an例在等比數(shù)列{an

anan1n的前n項(xiàng)和s4na，則a的值等于 n(A)-

aq q0,

a 例如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么 （A）b3,ac

（B）b3,ac

（C）b3,ac9（D）b3,acanamapaq(nmp例:在等比數(shù)列an中，已知a5a78a10a2

則a18同等變換：a1，a，a2，kak a

n

an:

a2a3… 1 a: a… n an:

a3… n1a2:an1

23na2a2…a 23nkan：

?例：若數(shù)列a的通 為a23n 1則數(shù)列

15ana則數(shù)列4an的公比

例：若數(shù)列a

a

a

1，則a2a2a2

a2an an數(shù)據(jù)1232、排列組合加法原理（分類：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的法，在第二類辦法中有m2種不同的辦法，……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么Nm1m2m3mn種不同的方法。乘法原理（分步：做一件事情，完成它可以有n個(gè)步驟，在第一步有m1種不同的方法，在第二步有m2種不同的辦法，……在第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2m3mn例54例65 排列與排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中，任取mmn個(gè)不同的元素，按照一定順序m排一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的一個(gè)排列，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用AmPm nAmn(n1)(n (nm1)n

n

m,nN,m組合與組合數(shù)：從n個(gè)不同的元素中，任取mm

不同的元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，即從n個(gè)不同元素中不計(jì)順序地取出m個(gè)構(gòu)成原集合的一個(gè)子集。從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從nCn個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)， m表示CnCm=n(n1)(n nm1 n

m!n CmC

77例例某市汽車號(hào)碼由兩位英文字母后面接四個(gè)數(shù)字組成，其中四個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號(hào)碼 14例 ）2、法——解決相鄰問(wèn)例7名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起，且按甲、乙、丙順序站好，則 533例83233、插空法——解決不相鄰問(wèn) 例:某排共有9個(gè)座位，若3人做在座位上，每人左右都有空位，那么共有不同的排 例5人站成一排，其中A不在左端也不和B相鄰的排法種數(shù)為 例不同的五種商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁兩種不能 例2例51例201例1071例1061例10431、2，則有多少種分法？例4例6例102、3、5，總共有多少種分法？例102、4、4，63例例64141,2,3,4416、調(diào)序法——局部有序問(wèn)例有6個(gè)男生，3個(gè)，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，從矮7、正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)“×××××××0000”“×××××××9999”共10000個(gè)號(hào)碼。公司規(guī)定：凡的后四位帶有數(shù)字“4”或 例 ）8、對(duì)號(hào)入座問(wèn)1、2、3、41、2、3、4例1,2,3,4,551,2,3,4,552；“概12、獨(dú)立及互斥的概1、概率：做一個(gè)試驗(yàn)，A出現(xiàn)的可能性的大小，即稱為A的概率，記為P(A)古在古典概型的情況下，的概率定義 例10095，5如 A和B互斥，即它們不可能同時(shí)發(fā)生，由，有PAB=PA+PB 532例7個(gè)人排成一行，甲不站在排頭，則乙恰不在排尾的的概率為 例4片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2 如果A（或B）是否發(fā)生對(duì)B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，稱A與B是相獨(dú)立，這時(shí)有PAB=PAPB例例甲乙丙三人各自去破譯一個(gè)，它們能譯出的概率分別為（2）能被破譯的概

11,53在相同條件下，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，且每次試驗(yàn)中任何一的概率不受其他次試驗(yàn)n概型：如果在一次試驗(yàn)中某發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事恰好發(fā)生kP(k)Ckpk(1p)n- 1、試驗(yàn)次數(shù)不止一次，而是多次，次數(shù)n3、每次試驗(yàn)的結(jié)果只有A與A（即要么發(fā)生要么不發(fā)生，每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，試10.6例 例甲、乙兩個(gè)選手打乒乓球比賽，甲贏一局的概率為0.6，若賽制為三局兩勝制，則甲贏得比賽勝利的概率為（ 數(shù)據(jù)描（1）平均xx1x2x3·+n（2）D(x)S21xx2xn 1n1nx 212例求下面這組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差甲：12131415101613111511例比較下面兩組數(shù)據(jù)的方差的大小甲：121314151016131115乙 810D(axb)a2D(x)(a,b為常數(shù)22

x xn xn??? ???例一組數(shù)據(jù)xn

的平均數(shù)和方差分別是54，則數(shù)據(jù)3xn2的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差S21x2x2x2x2

x2nx2n

S21xx2xx2

x2

xx2n

2例1,3,2，k，52

1xk2xk2

k2·+xk2S

，當(dāng)且僅當(dāng)kxn

幾13平面幾123 ：S1底2180°90°的菱形稱為正方形。ABCDABCDEBCDEAS1，梯形ABCD的面積為S2，則S1與S2的關(guān)系是 例如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是10厘米，寬是6厘米，三角形ADF的面積比三角形BEF的面積大10平方厘米，則BE的長(zhǎng)為（ 圓相關(guān)的c2r S 扇形的周長(zhǎng)：l 2rr l扇形的面積：S r21lrrl

3.33.33.34，例如圖，AB=10厘米是半圓的直徑，C是AB弧的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC于D，ABD是以AB為半徑 例 空間123棱長(zhǎng)為abc體積：Va2a2b22底面半徑：r高：hS2r22rh體積：VrS4r2體積：V432ra2b2內(nèi)切球raa2b2 (2r)2(2r)2例長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)之比為3:2:1，表面積是88平方厘米，任意連接長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中 例一個(gè)帶蓋圓柱體容器的底面半徑為2，高為3，現(xiàn)欲將一細(xì)長(zhǎng)的木料放入該容器，如果 例圓柱體的底面半徑為2，高為3，一只螞蟻欲從A點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面爬到B點(diǎn)，那么該螞 例設(shè)半球內(nèi)接正方體的體積為8，則球的體積為 解析幾23LX圍為[0,)兩點(diǎn)P(xyP(xy確定直線的斜率為ktany11

x 例M(23N(32)，直線lP(1,1，若l與線段MN3k的取值范圍是（）3

[4,]

[3[4,,,

[2,14

[2,14

[,2]

1,4ykx

yy0k(xx0

yy1y2

xx1x2

截距式： axbyc

兩直線相交（垂直k1k21.3

ybx例m1m（1）直線(m2)x1my0與(m1)x2m3y20（2）過(guò)點(diǎn)A(2, 和B(m,4)的直線與直線2xy1