2020-2021學(xué)年北京市匯文中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市匯文中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題5分，共10小題）1．（5分）已知向量＝（m，2），＝（1，﹣2），若+＝，則實數(shù)m的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．12．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）某中學(xué)高一、高二和高三各年級人數(shù)見表．采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數(shù)為（）年級人數(shù)高一550高二500高三450合計1500A．18 B．22 C．40 D．604．（5分）已知平面α，β和直線m，且m?α，則“α∥β”是“m∥β”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）甲、乙兩名射擊運動愛好者在相同條件下各射擊10次，中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示．則甲、乙兩人中靶環(huán)數(shù)的方差分別為（）A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.46．（5分）對某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖．由圖可知，這一批電子元件中壽命的65%分位數(shù)為（）A．500h B．450h C．350h D．550h7．（5分）已知三條直線a，b，c滿足：a與b平行，a與c異面，則b與c（）A．一定異面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交8．（5分）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，根據(jù)該條例：小區(qū)內(nèi)需設(shè)置可回收物垃圾桶和有害垃圾桶．已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發(fā)，向正北方向走了80米，到達有害垃圾桶，隨后向南偏東60°方向走了30米，到達可回收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走（）A．50米 B．57米 C．64米 D．70米9．（5分）在△ABC中，a＝3，A＝30°，則b的取值范圍（）A．（0，] B．（0，2] C．（0，3] D．（0，6]10．（5分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的高為2，且底面邊長也為2，則點A到平面PBC的距離為（）A． B． C． D．二、填空題（每題5分，共6小題）11．（5分）已知向量＝（2，0），＝（﹣1，），則其夾角＜，＞＝．12．（5分）已知a，b是不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若a⊥α，a∥β，則α⊥β；②a∥α且α∥β，則a∥β；③若a⊥α，b∥α，則a⊥b．所有正確命題的序號為．13．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝4，則∠C的取值范圍為．14．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1+2i，則z?＝．15．（5分）甲乙兩隊正在角逐排球聯(lián)賽的冠軍，在剛剛結(jié)束的前三局比賽中，甲隊2勝1負暫時領(lǐng)先，若規(guī)定先勝三局者即為本次聯(lián)賽冠軍，已知兩隊在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊最終成為本次排球聯(lián)賽冠軍的概率為．16．（5分）如圖，若正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則異面直線AC與A1B所成的角的大小是；直線A1B和底面ABCD所成的角的大小是．三、解答題.17．（15分）如圖所示，在三棱錐A﹣BCD中，點M、N分別在棱BC、AC上，且MN∥AB．（Ⅰ）求證：MN∥平面ABD；（Ⅱ）若MN⊥CD，BD⊥CD，求證：平面CBD⊥平面ABD．18．（17分）為了了解一種植物果實的情況，隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量（單位：克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計這種植物果實重量的平均數(shù)和方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）已知這種植物果實重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實，若所取樣本容量n＝40，從該樣本分布在[27.5，32.5）和[47.5，52.5]的果實中，隨機抽取2個，求都抽到優(yōu)質(zhì)果實的概率．19．（18分）在△ABC中，cosA＝，c＝3，且b≠c，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知．求：（1）b的值；（2）△ABC的面積．條件①：sinB＝2sinA；條件②：sinA+sinB＝2sinC．20．（20分）如圖1，已知菱形AECD的對角線AC，DE交于點F，點E為AB的中點．將三角形ADE沿線段DE折起到PDE的位置，如圖2所示．（Ⅰ）求證：DE⊥PC；（Ⅱ）試問平面PFC與平面PBC所成的二面角是否為90°，如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（Ⅲ）在線段PD，BC上是否分別存在點M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，請指出點M，N的位置，并證明；若不存在，請說明理由．

2020-2021學(xué)年北京市匯文中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題5分，共10小題）1．（5分）已知向量＝（m，2），＝（1，﹣2），若+＝，則實數(shù)m的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【分析】可求出，從而可得出m+1＝0，解出m的值即可．【解答】解：∵，∴m+1＝0，∴m＝﹣1．故選：C．【點評】本題考查了向量坐標(biāo)的加法運算，相等向量的坐標(biāo)關(guān)系，零向量的坐標(biāo)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】復(fù)數(shù)分母實數(shù)化，再化簡即可．【解答】解：＝故選：D．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點的對應(yīng)關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3．（5分）某中學(xué)高一、高二和高三各年級人數(shù)見表．采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數(shù)為（）年級人數(shù)高一550高二500高三450合計1500A．18 B．22 C．40 D．60【分析】先計算出總體中高二年級與高三年級的比例，則有分層抽樣的特點進行求解即可．【解答】解：因為高二年級與高三年級的比例為，由于分層抽樣是按比例抽取，故抽取的比例為，因為高二年級有20人，所以高三年級為＝18人．故選：A．【點評】本題考查了分層抽樣的理解和應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是掌握分層抽樣的特點，即按比例抽取，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知平面α，β和直線m，且m?α，則“α∥β”是“m∥β”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】首先題目問的是“α∥β”是“m∥β”的什么條件．然后應(yīng)該判斷“α∥β”是否可以推出“m∥β”，是則充分，不是則相反．再判斷“m∥β”是否可以直接推出“α∥β”，是則必要，否則相反；判斷的時候主要應(yīng)用了空間直線與平面間的位置關(guān)系．【解答】解：由于m?α，若“α∥β”，由直線與平面的關(guān)系，故可以直接推出“m∥β”成立．則是充分條件．反之．若“m∥β”，不可以直接推出“α∥β”成立，因平面α與平面β也可能相交．則不是必要條件．則“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件．故選：C．【點評】此題主要考查了空間直線與平面間的位置關(guān)系，以及必要條件充分條件的判斷．考查內(nèi)容簡單，但學(xué)生做題時候要細心．5．（5分）甲、乙兩名射擊運動愛好者在相同條件下各射擊10次，中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示．則甲、乙兩人中靶環(huán)數(shù)的方差分別為（）A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4【分析】先利用圖形求出實線和虛線上的數(shù)據(jù)，然后利用平均數(shù)和方差的計算公式分別求解即可．【解答】解：實線的數(shù)據(jù)為：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，虛線的數(shù)據(jù)為：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，所以實線數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，實線的方差為＝5.4，同理可求出虛線的平均數(shù)為7，方差為1.2，所以甲、乙兩人中靶環(huán)數(shù)的方差分別為1.2，5.4．故選：D．【點評】本題考查了平均數(shù)與方差的求解，考查了平均數(shù)與方差的計算公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由圖形準(zhǔn)確得出數(shù)據(jù)信息，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）對某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖．由圖可知，這一批電子元件中壽命的65%分位數(shù)為（）A．500h B．450h C．350h D．550h【分析】由頻率分布直方圖求出[0，400）的頻率為0.45，[400，500）的頻率為0.4，由此能求出這一批電子元件中壽命的65%分位數(shù)．【解答】解：由頻率分布直方圖得[0，500）的頻率為：×100＝0.85，又由頻率分布直方圖可求出[0，400）的頻率為0.45，[400，500）的頻率為0.4，故可知，這一批電子元件中壽命的65%分位數(shù)為落在[400，500）中間，為450h．故選：B．【點評】本題考查分位數(shù)的求法，頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（5分）已知三條直線a，b，c滿足：a與b平行，a與c異面，則b與c（）A．一定異面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交【分析】由已知利用反證法結(jié)合平行公理即可得到b與c不可能平行．【解答】解：三條直線a，b，c滿足：a與b平行，a與c異面，則b與c可能異面，也可能相交，不可能平行，若b與c平行，又a與b平行，根據(jù)平行公理，可得a與c平行，這與a與c異面矛盾．故選：C．【點評】本題考查空間中兩直線位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，根據(jù)該條例：小區(qū)內(nèi)需設(shè)置可回收物垃圾桶和有害垃圾桶．已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發(fā)，向正北方向走了80米，到達有害垃圾桶，隨后向南偏東60°方向走了30米，到達可回收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走（）A．50米 B．57米 C．64米 D．70米【分析】畫出圖形，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意可知，李華的行走路線如圖，由余弦定理可得：AC＝＝＝70（米）．他回到自家樓下至少還需走70米．故選：D．【點評】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，是基本知識的考查．9．（5分）在△ABC中，a＝3，A＝30°，則b的取值范圍（）A．（0，] B．（0，2] C．（0，3] D．（0，6]【分析】根據(jù)A＝30°即可得出0°＜B＜150°，進而得出0＜6sinB≤6，而根據(jù)正弦定理可得出b＝6sinB，然后即可得出b的取值范圍．【解答】解：∵A＝30°，∴0°＜B＜150°，∵a＝3，A＝30°，∴根據(jù)正弦定理，，∴b＝6sinB，∵0＜6sinB≤6，∴b的取值范圍為（0，6]．故選：D．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和為180°，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的高為2，且底面邊長也為2，則點A到平面PBC的距離為（）A． B． C． D．【分析】結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，利用VA﹣PBC＝VP﹣ABC，代入數(shù)據(jù)直接計算即可．【解答】解：由正四棱錐的性質(zhì)可知，其底面ABCD為正方形，底面對角線的長度為，側(cè)棱長度為，∴，，又VA﹣PBC＝VP﹣ABC，設(shè)點A到平面PBC的距離為h，∴，∴．故選：A．【點評】本題考查正四棱錐的性質(zhì)，運用等體積法求點到平面的距離，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（每題5分，共6小題）11．（5分）已知向量＝（2，0），＝（﹣1，），則其夾角＜，＞＝﹣．【分析】由平面向量的數(shù)量積計算兩向量的模長與夾角．【解答】解：向量＝（2，0），＝（﹣1，），所以?＝2×（﹣1）+0×＝﹣2；||＝2，||＝＝2；所以cos＜，＞＝＝＝﹣，又＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．12．（5分）已知a，b是不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若a⊥α，a∥β，則α⊥β；②a∥α且α∥β，則a∥β；③若a⊥α，b∥α，則a⊥b．所有正確命題的序號為①③．【分析】對于①，由面面垂直的判定定理得α⊥β；對于②，a∥β或a?β；對于③，由線面垂直的性質(zhì)得a⊥b．【解答】解：由a，b是不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，知：對于①，若a⊥α，a∥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正確；對于②，若a∥α且α∥β，則a∥β或a?β，故②錯誤；對于③，若a⊥α，b∥α，則由線面垂直的性質(zhì)得a⊥b，故③正確．故答案為：①③．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題．13．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝4，則∠C的取值范圍為（0，]．【分析】先根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊求出a的范圍，再結(jié)合余弦定理可以用a表示cosC，求出cosC的范圍，進而求得∠C的取值范圍．【解答】解：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意得c＝2，b＝4，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊有|b﹣c|＜a＜b+c，即2＜a＜6，由余弦定理可得，令，由對勾函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；f（x）max＝max{f（2），f（6）}＝max{1，1}＝1，所以當(dāng)2＜x＜6時，f（x）的取值范圍為．即，由因為，所以．故答案為：（0，]．【點評】本題考查三角形三邊的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，對勾函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．14．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1+2i，則z?＝5．【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z＝1+2i（其中i為虛數(shù)單位），∴z?＝（1+2i）（1﹣2i）＝12+22＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）甲乙兩隊正在角逐排球聯(lián)賽的冠軍，在剛剛結(jié)束的前三局比賽中，甲隊2勝1負暫時領(lǐng)先，若規(guī)定先勝三局者即為本次聯(lián)賽冠軍，已知兩隊在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊最終成為本次排球聯(lián)賽冠軍的概率為．【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式求解．【解答】解：設(shè)后兩局中i局A勝為Ai（i＝4.5），則P（Ai）＝，則甲隊最終成為本次排球聯(lián)賽冠軍的概率P（A4）+P（）＝＝．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用16．（5分）如圖，若正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則異面直線AC與A1B所成的角的大小是60°；直線A1B和底面ABCD所成的角的大小是45°．【分析】連接A1C1，證明四邊形AA1C1C為平行四邊形，可得A1C1∥AC，得到異面直線AC與A1B所成的角即為∠BA1C1，再說明△BA1C1為等邊三角形，可得異面直線AC與A1B所成的角的大小是60°；由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得∠A1BA為直線A1B和底面ABCD所成的角，再由等腰直角三角形得答案．【解答】解：如圖，連接A1C1，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴四邊形AA1C1C為平行四邊形，可得A1C1∥AC，∴異面直線AC與A1B所成的角即為∠BA1C1，連接BC1，則△BA1C1為等邊三角形，∴異面直線AC與A1B所成的角的大小是60°；∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，∴∠A1BA為直線A1B和底面ABCD所成的角，大小為45°．故答案為：60°；45°．【點評】本題考查異面直線所成角與線面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．三、解答題.17．（15分）如圖所示，在三棱錐A﹣BCD中，點M、N分別在棱BC、AC上，且MN∥AB．（Ⅰ）求證：MN∥平面ABD；（Ⅱ）若MN⊥CD，BD⊥CD，求證：平面CBD⊥平面ABD．【分析】（1）由MN∥AB，利用直線與平面平行的判斷定理，證明MN∥平面ABD．（2）推導(dǎo)出BA⊥DC，DC⊥BD，從而CD⊥平面ABD，由此能證明平面ABD⊥平面BCD．【解答】證明：（1）∵在三棱錐A﹣BCD中，點M、N分別在棱BC、AC上，且MN∥AB∵MN?平面ABD，AB?平面ABD，∴MN∥平面ABD．（2）∵MN⊥CD，MN∥AB，∴AB⊥CD，BD⊥CD，DB∩AB＝B，∴CD⊥平面ABD，∵CD?平面BCD，∴平面ABD⊥平面BCD．【點評】本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18．（17分）為了了解一種植物果實的情況，隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量（單位：克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計這種植物果實重量的平均數(shù)和方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）已知這種植物果實重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實，若所取樣本容量n＝40，從該樣本分布在[27.5，32.5）和[47.5，52.5]的果實中，隨機抽取2個，求都抽到優(yōu)質(zhì)果實的概率．【分析】（1）利用頻率和為1，求圖中a的值；（2）用該組區(qū)間的中點值作代表，估計這種植物果實重量的平均數(shù)和方差s2；（3）利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：（1）由題意，（0.015+0.020+0.040+a+0.075）×5＝1，∴a＝0.05；（2）平均數(shù)＝（30×0.02+35×0.04+40×0.075+45×0.05+50×0.015）×5＝40，S2＝（30﹣40）2×0.1+（35﹣40）2×0.2+（40﹣40）2×0.375+（45﹣40）2×0.25+（50﹣40）2×0.075＝28.75，（3）果實重量在[27.5，32.5）和[47.5，52.5]內(nèi)的分別有4個和3個，分別記為A1，A2，A3，A4，和B1，B2，B3，從中任取2個的取法有：A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3，共21種取法，其中都是優(yōu)質(zhì)果實的取法有B1B2，B1B3，B2B3，共3種取法，故所求概率P＝＝．【點評】本題考查頻率分布直方圖，考查概率的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19．（18分）在△ABC中，cosA＝，c＝3，且b≠c，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知．求：（1）b的值；（2）△ABC的面積．條件①：sinB＝2sinA；條件②：sinA+sinB＝2sinC．【分析】選條件①時，（1）直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用和一元二次方程的解法的應(yīng)用求出b的值；（2）利用同角三角函數(shù)的值和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．選條件②時，（1）直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用和一元二次方程的解法的應(yīng)用求出b的值；（2）利用同角三角函數(shù)的值和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）選條件①時，由于sinB＝2sinA；所以b＝2a，由cosA＝，c＝3，且b≠c，所以整理得：2a2﹣7a+6＝0，解得a＝2或a＝，當(dāng)a＝時，整理得b＝2a＝c＝3，與題意矛盾，故a＝2，b＝4，（2）由于cosA＝，所以sinA＝，故：．選條件②時，sinA+sinB＝2sinC，由正弦定理得：a+b＝2c，故a＝6﹣b，利用，整理得：，解得b＝4，（2）由于cosA＝，所以sinA＝，故：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．20．（20分）如圖1，已知菱形AECD的對角線AC，DE交于點F，點E為AB的中