人教A版高中數(shù)學(xué)二同步學(xué)習(xí)講義：第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2.2 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2.2平面與平面平行的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出平面與平面平行的判定定理。2.掌握平面與平面平行的判定定理,并能初步利用定理解決問題．知識(shí)點(diǎn)平面與平面平行的判定定理思考1三角板的一條邊所在平面與平面α平行,這個(gè)三角板所在平面與平面α平行嗎？答案不一定．思考2三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個(gè)三角板所在平面與平面α平行嗎？答案平行．思考3如圖，平面BCC1B1內(nèi)有多少條直線與平面ABCD平行？這兩個(gè)平面平行嗎？答案無數(shù)條．不平行．梳理面面平行的判定定理表示定理圖形文字符號(hào)平面與平面平行的判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α））?β∥α類型一面面平行的判定定理例1下列四個(gè)命題：(1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則平面α與平面β平行;(2)若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面β平行，則平面α與平面β平行;(3)平行于同一直線的兩個(gè)平面平行;(4）兩個(gè)平面分別經(jīng)過兩條平行直線,這兩個(gè)平面平行．其中正確的個(gè)數(shù)是______________．答案0反思與感悟在判定兩平面是否平行時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線"這個(gè)條件，線不在多,相交就行．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)直線l,m,平面α，β,下列條件能得出α∥β的有(）①l?α,m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?α，且l∥m,l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m;④l∩m＝P，l?α，m?α，且l∥β,m∥β.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)答案A解析①錯(cuò)誤,因?yàn)閘，m不一定相交;②錯(cuò)誤，一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面可能相交；③錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交；④正確．類型二平面與平面平行的證明例2如圖所示，在正方體AC1中，M，N，P分別是棱C1C,B1C1，C1D1的中點(diǎn),求證:平面MNP∥平面A1BD。證明如圖，連接B1C。由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C,∴MN∥A1D。又∵M(jìn)N?平面A1BD,A1D?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD。連接B1D1，同理可證PN∥平面A1BD。又∵M(jìn)N?平面MNP,PN?平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD。引申探究若本例條件不變,求證：平面CB1D1∥平面A1BD.證明因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1為平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1,同理A1D∥平面CB1D1。又BD∩A1D＝D，所以平面CB1D1∥平面A1BD。反思與感悟判定平面與平面平行的四種常用方法(1)定義法：證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，通常采用反證法．(2）利用判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面．證明時(shí)應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．(3）轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β。（4）利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ。跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G,H分別是AB，AC，A1B1,A1C1的中點(diǎn)，求證：(1）B，C,H，G四點(diǎn)共面；（2)平面EFA1∥平面BCHG。證明（1）因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn),所以GH是△A1B1C1的中位線,所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H,G四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC。因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB。因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.類型三線線平行與面面平行的綜合應(yīng)用eq\x(命題角度1線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化的證明問題）例3如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn),E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn)，求證：（1)直線EG∥平面BDD1B1;(2）平面EFG∥平面BDD1B1.證明（1）如圖，連接SB?！逧，G分別是BC,SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB。又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1。(2）連接SD?！逨，G分別是DC,SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD。又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1。反思感悟解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略(1)立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行,這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．(2）eq\x（線線平行)eq\o（→,\s\up7(判定））eq\x（線面平行)eq\o(→，\s\up7（判定)）eq\x（面面平行）所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的判定定理．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為BC，CC1，C1D1，A1A的中點(diǎn)．求證:(1）BF∥HD1；（2)EG∥平面BB1D1D；(3）平面BDF∥平面HB1D1.證明（1)如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接C1M，HM，易知HMC1D1是平行四邊形，∴HD1∥MC1，又由已知可得MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中點(diǎn)O，連接OE，D1O，則OE綊eq\f（1,2）DC.又D1G綊eq\f(1,2)DC,∴OE綊D1G，∴四邊形OEGD1是平行四邊形，∴GE∥D1O。又D1O?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D。(3)由(1）知HD1∥BF，又BD∥B1D1，B1D1，HD1?平面HB1D1，BF,BD?平面BDF,且B1D1∩HD1＝D1,BD∩BF＝B,∴平面BDF∥平面HB1D1。eq\x(命題角度2線線與面面平行的探索性問題）例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO？解當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點(diǎn),P為DD1的中點(diǎn)，連接PQ,如圖，易證四邊形PQBA是平行四邊形，∴QB∥PA.又∵AP?平面APO,QB?平面APO，∴QB∥平面APO.∵P,O分別為DD1，DB的中點(diǎn),∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO。反思感悟?qū)τ谔剿餍詥栴},一是可直接運(yùn)用題中的條件，結(jié)合所學(xué)過的知識(shí)探求;二是可先猜想，然后證明猜想的正確性．跟蹤訓(xùn)練4在底面是平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M為PE的中點(diǎn)，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使平面BFM∥平面AEC?并證明你的結(jié)論．解當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，平面BFM∥平面AEC.∵M(jìn)是PE的中點(diǎn)，∴FM∥CE?！逨M?平面AEC,CE?平面AEC,∴FM∥平面AEC。由EM＝eq\f(1，2）PE＝ED，得E為MD的中點(diǎn),連接BM，BD，如圖所示，設(shè)BD∩AC＝O，則O為BD的中點(diǎn)．連接OE,則BM∥OE.∵BM?平面AEC，OE?平面AEC,∴BM∥平面AEC。又∵FM?平面BFM,BM?平面BFM,FM∩BM＝M，∴平面BFM∥平面AEC.1．下列命題中正確的是(）A．一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行B．如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行C．平行于同一直線的兩個(gè)平面一定相互平行D．如果一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)多條直線都平行于另一平面,那么這兩個(gè)平面平行答案B解析如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn),則兩平面平行，所以B正確．2．在正方體中，相互平行的面不會(huì)是(）A．前后相對(duì)側(cè)面B．上下相對(duì)底面C．左右相對(duì)側(cè)面D．相鄰的側(cè)面答案D解析由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，所以選D。3．在正方體EFGH－E1F1G1H1中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是（）A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G答案A解析如圖，∵EG∥E1G1,EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可證H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1.4．如圖,已知在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．答案平行解析在△PAB中，因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，因此DE∥平面ABC。同理可證EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC。5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1中點(diǎn)．能否同時(shí)過D1，B兩點(diǎn)作平面α,使平面α∥平面PAC?證明你的結(jié)論．解能作出滿足條件的平面α，其作法如下：如圖，連接BD1，取AA1的中點(diǎn)M,連接D1M，則BD1與D1M所確定的平面即為滿足條件的平面α.證明如下:連接BD交AC于O，連接PO，則PO∥D1B，故D1B∥平面PAC。又因?yàn)镸為AA1的中點(diǎn),所以D1M∥PA，從而D1M∥平面PAC.又因?yàn)镈1M∩D1B＝D1，D1M?α,D1B?α，所以α∥平面PAC.證明面面平行的方法：（1）面面平行的定義；（2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行；(3)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．直線l∥平面α，直線m∥平面α,直線l與m相交于點(diǎn)P，且l與m確定的平面為β，則α與β的位置關(guān)系是(）A．相交 B．平行C．異面 D．不確定答案B解析因?yàn)閘∩m＝P，所以過l與m確定一個(gè)平面β.又因l∥α,m∥α，l∩m＝P,所以β∥α。2．α、β是兩個(gè)不重合的平面，a、b是兩條不同的直線，則在下列條件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直線a、bB．α內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到β的距離相等C．a(chǎn),b是α內(nèi)兩條直線，且a∥β，b∥βD．a(chǎn)，b是兩條異面直線且a∥α，b∥α，α∥β,b∥β答案D解析A錯(cuò)，若a∥b，則不能斷定α∥β；B錯(cuò)，若三點(diǎn)不在β的同一側(cè)，α與β相交；C錯(cuò)，若a∥b，則不能斷定α∥β。故選D。3．已知m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，有以下命題：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α,m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β;②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥α,n∥β，m∥n，則α∥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3答案B解析設(shè)m∩n＝P，記m與n確定的平面為γ。由題意知：γ∥α，γ∥β,則α∥β。故①正確．②、③均錯(cuò)誤．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M為棱A1D1的動(dòng)點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，E、F分別是A1B1、C1D1的中點(diǎn)，下列平面中與OM掃過的平面平行的是(）A．面ABB1A1 B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1答案C解析取AB、DC的中點(diǎn)分別為E1和F1，OM掃過的平面即為面A1E1F1D1(如圖）,故面A1E1F1D1∥面BCFE.5．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)答案D解析由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4對(duì)．6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1,BB1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1.其中推斷正確的序號(hào)是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案A解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1,BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D，故①正確;∵EF∥A1C1,A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯(cuò)誤;∵FG∥BC1，F(xiàn)G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1,FG∥平面BC1D1，故③正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯(cuò)誤．故選A.7．如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn),G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.其中正確的有(）A．①③ B．①④C．①②③ D．②③答案C解析把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示,則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD。同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個(gè)側(cè)面,則它們兩兩相交．∵AB∥CD,∴平面PCD∥AB。同理平面PAD∥BC。二、填空題8．已知平面α、β和直線a、b、c，且a∥b∥c，a?α,b、c?β，則α與β的關(guān)系是_____．答案相交或平行解析b、c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，滿足要求；若α與β相交,交線為l，b∥c∥l，a∥l,滿足要求，故答案為相交或平行．9．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線a，在β內(nèi)總存在直線b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________．答案平行解析假若α∩β＝l,則在平面α內(nèi),與l相交的直線a，設(shè)a∩l＝A，對(duì)于β內(nèi)的任意直線b，若b過點(diǎn)A,則a與b相交,若b不過點(diǎn)A，則a與b異面,即β內(nèi)不存在直線b∥a.故α∥β。10．已知a和b是異面直線，且a?平面α，b?平面β,a∥β,b∥α，則平面α與β的位置關(guān)系是________．答案平行解析在b上任取一點(diǎn)O,則直線a與點(diǎn)O確定一個(gè)平面γ，設(shè)γ∩β＝l,則l?β，∵a∥β,∴a與l無公共點(diǎn)，∴a∥l，∴l(xiāng)∥α。又b∥α，根據(jù)面面平行的判定定理可得α∥β.三、解答題11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N,P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面PMN∥平面A1BD.證明連接B1D1,B1C?！逷，N分別是D1C1，B1C1的中點(diǎn),∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN?平面A1BD,BD?平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.12．已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC。證明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,∴NQ∥平面PBC.又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ＝Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC。13．如圖,在四棱錐C－ABED中,四邊形ABED是正方形，G，F(xiàn)分別是線段EC,BD的中點(diǎn)．(1）求證:GF∥平面ABC；(2）若點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，平面GFP與平面ABC有怎樣的位置關(guān)系？并證明．（1）證明如圖，連接AE，由F是線段BD的中點(diǎn)得F為AE的中點(diǎn)，∴GF為△AEC的中位線，∴GF∥AC.又∵AC