數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）課后習(xí)題答案

數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第三版)，科學(xué)出版社，師義民、徐偉、秦超英、徐勇編

課后習(xí)題答案(文中章節(jié)號(hào)有所偏差，已全部更正)

第一章統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

第二節(jié)

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5.證明：

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由17題公式：二/,“(x)=〃尸”'"),/(幻/“)(x)="(l-F"(x))"'./(x)

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（，產(chǎn)2x

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其它

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19.解:

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F(x)=，6

其它其它.

0

由/t(1)(x)=?[l-F(x)r'./(x)得:

o<x<0

其它

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其它

0

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由/H*)(X)=

(人■〃-1)「*”-步

o<x<0

Zt(A)(X)=

其它

0

20.解：由次序統(tǒng)計(jì)量（鼻）,和），…,玉.）尸的聯(lián)合分布削度為:

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、J*"'5T)Kl-e」)"-l+e-力f產(chǎn)<”叫1-/與玉<x,

產(chǎn)")i0".其它

21.解：次序統(tǒng)計(jì)量為:(-4.2,-2.1,-2.1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,

1.2,2.0,3.2,3.21,22)

樣本中位數(shù)為：3=x“,|=x(7)=0

堂

極差為：R=xw=x(n=22-(-4.2)=26.6

若增加2.7,構(gòu)成容量為14的樣本中位數(shù)為：

x=l[x+x]=1(0+1.2)=0.6

2(j)《產(chǎn)2

第二章參數(shù)估計(jì)

第三章

1.(1);巧.白玉獨(dú)立”:-芍)口做0,2枕)『%%口口z2(?-1)

t1?-l*7-2n-\2

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代7=1K川2M

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(2)注意：斗與了不獨(dú)立，茗=石」苞」之陽(yáng)/巴1!)看」文\

n"片1\n)〃冗

這時(shí)]與弓是獨(dú)立的一^卜-■-JJxy□：V(0,紇修)

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即x,—xGN(0,cr")，故['?"0"(01),而，若xJA^(0,1),￡*|x|=

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(2)D%聲=&￡靖.令尸(4,%,一％)=￡靖,為/=1為約束條件。

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構(gòu)造拉格朗n函數(shù)：

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3.解:

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1

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上0212

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(1):E9y=2Ex-2Ex=仇E92=----max{xt}二----x----x0-0

⑵:。落4x盾"上行^

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二a更有效。

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心+1)占《+】)片

，方為疝勺無(wú)偏估計(jì)。

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，s：是昌的相合估計(jì).

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（0其它

（1）:矩估計(jì)法：樣衣k階原點(diǎn)矩%”估計(jì)總體k階原表期區(qū)￥*：樣本k階中心能

'打/?|,

念（工-洌估計(jì)總體k階中心矩E（X-EXy

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由樣本值可得:X=1,2,S；=0,407,19=2.4

⑵：最大似然估計(jì)：￡(*,；，)=立/(%/)=w(0,6),絲空誓2=-。<0

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設(shè)次序統(tǒng)計(jì)量：X⑴⑵…:兒)”

.??當(dāng)。="“)即:夕=加爾4)的，￡(修。)達(dá)到最大。

0=maxX.=2.2

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,:EX以

2

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22/1212

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矩估計(jì)：=,+1=x=>0=-——,代入樣本值。*0.3

0+2x-l

..,?

⑵：最大似然估計(jì)：￡(x,/)=jlF(x,；e)=(e+i)"吊x,

f-'i\f=l

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令8=自使得:辿絲Z史=。

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展:-1+—一，代入樣本值9=0.2

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12:(1).：L(X,-0)=nf(X;,0^~Y]

,=1?/=.!?：；?

LnL(X,;9)=應(yīng)〃矽+1)+￡LnX,，￡x：_2nLn6

1一2蜀1??

,￡nZ(^;(9)=--V|^,|-nLn2-nlno

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(3):Z(y,;0=ewe*,(esX)

LnL(X/;f)=-￡X,+“J,,%產(chǎn))=?>O

：.O=X(“=時(shí)〃X,;8)為最大

:■。:minXj

ii-蘢",琛

(4):”X,;a/)=斤e二下ea

LnL(X-a,P)=-^X,+y-nLnp

3LnL(X.a,伊_n

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HZ/Z(X,;a，m_勺，nan

豆=下一丁力

"X,;a,夕)對(duì)a為單增

,*'a->?)口*⑵4…4占”,

/.a=m加X(jué),時(shí)〃X,;a/)為最大。

令"加中號(hào);")=0=八6—

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a=minX,g=minX-X

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「?8=〃+L65。

v9（〃,。）在*a處連續(xù)

???施曲d.65H其中a能。分別為包〃,通最大似然估計(jì)。

.'.^=J+I.65S-

14覦：設(shè)（X“…,*”）'為*的一個(gè)樣本，其值為尤）。記，則

___以1n_

LnL(0)=-nLn4lK——Lna2------y￡(芍一〃)？

22。片

如￡（e）.=g￡(?)=o

dui[工yb)=1

則似然方程

|『「-盒+鬲加3=0

a'-a

1l>1?

3

解得估計(jì)為潮?5■Zx,=f,標(biāo)=一Z(x,-x)=S：

"Mln,=l

有樣木值。4.7,15.1,14.&15.0,15.2,14.6),代入得第149才=(0.216了

15:尸｛X=K｝=C1p*(l-p)i

,"A工&nN

“",”)=口尸｛苞=冬｝=口。叱(1-p)-

>=1't=l

C：+；號(hào)吶+

-LnL(X,;p)=Lri[\K,>("N.KJLH"p)

如也;嘰孕."

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令,，於"二'也=oA="X

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=0-p)名'FG：

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")=(1-2)7,僅必=，加=,7二匕力(乂,,,.,匕)=0仁

，又是充分完備統(tǒng)計(jì)地

Ep--EX--EX=2xNp=p

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「.濰無(wú)偏的，/=￡(夕禺)=二是"陽(yáng)￡

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，,1笠X,

16:〃凡；0)=門/因洌=一/為，X>0

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淵n《x,；e)_I*'夕ainz(x,；g)_o3

dee2n'do''

或=做=￡￥=&(「分布：a=\,P=LEX=-=e)

ep

無(wú)偏

1-宓r，1-打

L(X網(wǎng)*e%=獷

C(e)=),譏9)=-gr=x,h(x,,...,x?)=i

tfu

.-.又為充分完備統(tǒng)計(jì)量

沸=E{0\7)=E(X11)=N為它的M股足

17:/(x)=/J壽

2(X，)=[J/(%,)=------!——.T△￡￡

⑴:易驗(yàn)證？為，的最大似然儕計(jì)

￡7=2成Y=DT+（聯(lián)尸="為無(wú)偏估計(jì)

n

由￡（凡,『）的表達(dá)式可得，c（?）=-------!——-

（歷"

r=1￡x,2,b（e）=三/（x，...,x“）=i

??.T為完全統(tǒng)計(jì)量

■無(wú)獷牌引嘴/

（2）X=（乂,…,X”）的聯(lián)合分布密度為

:c(0)exp{b(0)T(x)}h(x}

其中*x)=i,r(x)=JX：、b@=-1,c(0)

I,trl2b

由定義它是指分布族，從而T（X）.=￡X：是〃的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量

/=!

從而匕=借尸為獷的無(wú)偏估計(jì).

乂匕和匕都是充分統(tǒng)計(jì)量71的函數(shù)，即

E（/7）=匕及￡（外儲(chǔ)=匕，故/匕分別是。利3o''的最小方差無(wú)偏估計(jì)。

18解：CV1,…,X,）『的聯(lián)合分布密度為

0”*'；"'，）=（短）卜合￡（“,-獷

1-nt,_1n

c（6）=------e*]=億4）=（冗一￡x；y

令（2的平n.

B=（4也）=（詈，-合），版乂，…,《）=1

（T」￡x；y是（“02尸的充分完備統(tǒng)計(jì)量也有

（元S"也是（",，）'的完備統(tǒng)計(jì)量，

又又是〃的無(wú)偏估計(jì)，S：是人的無(wú)偏儕計(jì)

因此有E（3X+4S『）=3u+4/也就是3T+4S：是3〃+44的無(wú)偏估計(jì)。

X￡（3T+4S?建同））=37+4S：2

A3文+4s：?是3〃+4er?的最小方差無(wú)偏估計(jì)

E￡X；-5S7）=5E5sr=￡A"-=/-4（/

因此尤-5障為-4（/的無(wú)偏估計(jì)

故月一5S；2（兄S“=3厘?-5ES?為最小方差無(wú)偏估計(jì)

I

Lnf(x,^)=-Lnx(2^-

1(0)=E淡*叫=E(x-爾=5=1

R(0)］/4加

故下界為

/n/(0)=~

(2/U(0⑼.有DX=L=g(9)

12

lh/(x.^)=—,Lfif(x,0)=-Lnd

6

/@臼歿也;=*$

故下界為［g網(wǎng)/JV/7=巨

/鏟

(3):由犬0S(/i,p).得尸(X=x)=CR(1-p產(chǎn)

即/U/＞C"F-p產(chǎn)

Lnf(x./?)=￡〃('；+xLnp+(N-x)Ln(l-p)

所以/(p)=E［嗎”1=Jx_^-xY=I￡(v_Np?

l寺＞J\-p)p(1-p)

Dx

P《-P)2

?下界為［g(9)I/=4P2_4p，(］-p)

,「齊為/nl(p)nN/~nN

/7(1-尸)

20.證有效估計(jì)，苜先耍淤明戶的無(wú)偏性

(1)￡a3--X￡X-=(DX-(￡X)2)=a-

nW

。伊)=，&:)=￥死(與人生

nznan

ln(＞，

/⑺=-￡(-^f--)二工

r。

nl(a2)n

是的有效估計(jì)

2、2/

Da=2戊(”一乎)=------

"(w-l)2/”1

I(a')=-謠出塵;吟)=-L1二2」

,S2a22b，w/(<72)n

1n—\

lim,-lima4-a4

…砌(T2s)…17

，S二是/的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)

2

21.X"N(O,I)則E|X|=FD\X\=EX-(aAf)=1-2

7T

￡6-=^-xnx￡^-“=x井":、昌，

,3不是。的無(wú)偏估計(jì)

22.先找c?的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)

4

<72=-t(x,-1)2,Da2由前知I2tr

nr-inw/(a2)n

=」￡?-I)?是〃的有效估計(jì)

小7

23.先求儆最大似然估計(jì)6

na-心

“o加嚴(yán)

1.((Y,:(9)=nf(X,.;0)=-TF-x?(

3r(a)

ln(x;0)=na\nO-0i,x,+(a-l)￡l

rnxt-Mn「(a)

d\n(x,,0)na?..c)ln/aa

'-Zx,令8=映-—=o=e=-

ouen/-idex

j1Y

由定理3.4g(8)=:在儂連續(xù)知以。)=±=±

80a

￡g(^)=lx￡A,=-xr(a+1)x—?—==l

aa0T(a)a0T(a)0

函。)=4X空=<閃一網(wǎng)門=3

a1nnanaO^

/(.=一￡(二"%°))=_E(及)=*而口算=」_

d08"&nZ(0)naO

???4(。)=宣照.常仁人;二三是J的有效估計(jì).

nl(0)eae

24.(J)選取統(tǒng)計(jì)量U=~—N(O,1)

笈°%

P{|U|<〃a}=1-a=0.9P{-〃a<U<ua}-0.9

221

2①("a)-1=0.9?,*①(〃?)=0.95=Q=1.65

222

故〃的90%留信區(qū)間為(2.120875,2.129125)U?卜工=2.125

X-LL

<2)選取統(tǒng)計(jì)量?，(力一1)

P{|T[<%(〃-1)}=1-a=0.9查t分布表得右”。5)=1.7531

2

從而的〃的置信區(qū)間為(2,1175,2.1325)

25.選取統(tǒng)計(jì)法：T=—；~~4—??〃—I)

S/

/VW

P{|r|</a(n-l)}=l-a=0.95

7

從而的〃的置信區(qū)間為(工一/。(15)、號(hào)"x+f(i5)x^2-)

54彳4

代入數(shù)據(jù)的(2.69,2.72)

選取統(tǒng)計(jì)量：T二一q一名?1）

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/4曾

QS-DS；

V79.3

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27.取統(tǒng)計(jì)量U-———S(0,I)

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