初中數(shù)學(xué)蘇科九年級下單元測試卷-第6章 圖形的相似測試卷

圖形的相似測試卷（3）一、選擇題1．已知x：y：z=3：4：6，則的值為（）A． B．1 C． D．2．如圖，頂角為36°的等腰三角形，其底邊與腰之比等k，這樣的三角形稱為黃金三角形.已知腰AB=1，△ABC為第一個黃金三角形，△BCD為第二個黃金三角形，△CDE為第三個黃金三角形，以此類推，第2014個黃金三角形的周長（）A．k2013 B．k2014 C． D．k2013（2+k）3．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=6，則DE的長等于（）A．2 B．3 C．4 D．64．下列說法中，正確的有（）個．①全等三角形的對應(yīng)角相等②全等三角形的對應(yīng)邊相等③全等三角形的周長相等④相似三角形的對應(yīng)角相等⑤相似三角形的對應(yīng)邊成比例.A．6 B．5 C．4 D．35．如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P，則下列結(jié)論(1)△AOD≌△COE；(2)OE=OD；(3)△EOP∽△CDP.其中正確的結(jié)論是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．兩個相似三角形的相似比是2：3，則這兩個三角形的面積比是（）A．： B．2：3 C．2：5 D．4：97．如圖，表示△AOB以O(shè)為位似中心，擴大到△COD，各點坐標(biāo)分別為：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），則點C坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（2，4） C．（3，3） D．（3，4）8．為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖所示圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)，根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是（）A．BC，∠ACB B．DE，DC，BC C．EF，DE，BD D．CD，∠ACB，∠ADB9．如圖是孔明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖.點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么該古城墻的高度是（）A．6米 B．8米 C．10米 D．15米10．如圖，圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標(biāo)是（）A．（0，9） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）11．如果△ABC∽△DEF，相似比為2：1，且△DEF的面積為4，那么△ABC的面積為（）A．1 B．4 C．8 D．1612．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長線于E，則圖中的相似三角形（全等除外）有（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對二、填空題13．已知線段AB=20，點C為線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC=.14．在△ABC和△A1B1C1中，下列四個命題：(1)若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，則△ABC≌△A1B1C1；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，則△ABC≌△A1B1C1；(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1；(4)若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1.其中是真命題的為（填序號）.15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿BD折疊，點C恰巧落在邊AB上的C′處，折痕為BD，再將其沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的A′處.若△BED與△ABC相似，則相似比=.16．下列關(guān)于位似圖形的表述：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比.其中正確命題的序號是.17．張華同學(xué)的身高為1.6米，某一時刻他在陽光下的影長為2米，與他鄰近的一棵樹的影長為6米，則這棵樹的高為米.18．如圖所示，C為線段AB上一點，且滿足AC：BC=2：3，D為AB的中點，且CD=2cm，則AB=cm.三、解答題19．已知a，b，c，d四個數(shù)成比例，且a，d為外項.求證：點（a，b），（c，d）和坐標(biāo)原點O在同一直線上.20．如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AC，BE相交于點F，F(xiàn)是線段BE、AC的黃金分割線嗎？為什么？21．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別是邊BC、CD的中點，直線EF交邊AD的延長線于點M，交邊AB的延長線于點N，連接BD.(1)求證：四邊形DBEM是平行四邊形；(2)連接CM，當(dāng)四邊形ABCM為平行四邊形時，求證：MN=2DB.22．已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）.問：△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由.23．如圖，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的長.24．如圖，已知A（﹣4，0），B（0，4），現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9：4，將OB向右側(cè)放大，B點的對應(yīng)點為C.(1)求C點坐標(biāo)及直線BC的解析式；(2)一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象；(3)現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P.答案1．已知x：y：z=3：4：6，則的值為（）A． B．1 C． D．【考點】S1：比例的性質(zhì)．【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可用x表示y，用x表示z，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由x：y：z=3：4：6，得y=，z=2x．==．故選：A．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)得出y=，z=2x是解題關(guān)鍵．2．如圖，頂角為36°的等腰三角形，其底邊與腰之比等k，這樣的三角形稱為黃金三角形.已知腰AB=1，△ABC為第一個黃金三角形，△BCD為第二個黃金三角形，△CDE為第三個黃金三角形，以此類推，第2014個黃金三角形的周長（）A．k2013 B．k2014 C． D．k2013（2+k）【考點】S3：黃金分割．【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，求出前幾個三角形的周長，進而找出規(guī)律：第n個黃金三角形的周長為kn﹣1（2+k），從而得出答案．【解答】解：∵AB=AC=1，∴△ABC的周長為2+k；△BCD的周長為k+k+k2=k（2+k）；△CDE的周長為k2+k2+k3=k2（2+k）；依此類推，第2014個黃金三角形的周長為k2013（2+k）．故選D．【點評】本題考查了黃金三角形，用到的知識點是黃金分割的定義和相似三角形的性質(zhì)，找出各個三角形周長之間的關(guān)系，得出規(guī)律是本題的關(guān)鍵．3．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=6，則DE的長等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【考點】S4：平行線分線段成比例【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，解得，DE=2，故選：A．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．下列說法中，正確的有（）個．①全等三角形的對應(yīng)角相等②全等三角形的對應(yīng)邊相等③全等三角形的周長相等④相似三角形的對應(yīng)角相等⑤相似三角形的對應(yīng)邊成比例.A．6 B．5 C．4 D．3【考點】S5：相似圖形；K9：全等圖形．【專題】選擇題【難度】易【分析】理清相似三角形以及全等三角形的判定及性質(zhì)，即可熟練求解此題．【解答】解：①全等三角形的對應(yīng)角相等，正確；②全等三角形的對應(yīng)邊相等，正確；③全等三角形的周長相等，正確；④相似三角形的對應(yīng)角相等，正確；⑤相似三角形的對應(yīng)邊成比例，正確；故選B【點評】本題主要考查了全等和相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是能夠掌握并熟練運用全等和相似三角形的性質(zhì)．5．如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P，則下列結(jié)論(1)△AOD≌△COE；(2)OE=OD；(3)△EOP∽△CDP.其中正確的結(jié)論是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形．【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊中線定理首先證明△AOD≌△COE（ASA），推出OE=OD，∠OED=∠PCD=45°即可解決問題．【解答】解：∵在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，∴∠A=∠B=∠ACO=45°，OA=OC=OB，∠AOC=90°=∠DOE，∴∠AOD=∠COE=90°﹣∠DOC，在△AOD與△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD=OE，故①②正確，∵∠EOD=90°，∴∠OED=45°，∵∠ACB=90°，BC=AC，OB=OA，∴∠PCD=∠PCE=45°，∴∠OEP=∠DCP，∵∠EPO=∠CPD，∴△△EOP∽△CDP，故③正確，故選D．【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，以及三角形相似的條件，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．6．兩個相似三角形的相似比是2：3，則這兩個三角形的面積比是（）A．： B．2：3 C．2：5 D．4：9【考點】S7：相似三角形的性質(zhì)．【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是2：3，∴這兩個三角形的面積比是4：9，故選D．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．7．如圖，表示△AOB以O(shè)為位似中心，擴大到△COD，各點坐標(biāo)分別為：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），則點C坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（2，4） C．（3，3） D．（3，4）【考點】SC：位似變換；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】選擇題【難度】易【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合兩圖形的位似比進而得出C點坐標(biāo)．【解答】解：∵△AOB以O(shè)為位似中心，擴大到△COD，各點坐標(biāo)分別為：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），∴點C坐標(biāo)為：（2，4）．故選：B．【點評】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對應(yīng)點橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖所示圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)，根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是（）A．BC，∠ACB B．DE，DC，BC C．EF，DE，BD D．CD，∠ACB，∠ADB【考點】SA：相似三角形的應(yīng)用．【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)即可解答．【解答】解：此題比較綜合，要多方面考慮，A、因為知道∠ACB和BC的長，所以可利用∠ACB的正切來求AB的長；B、無法求出A，B間距離．C、因為△ABD∽△EFD，可利用，求出AB；D、可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是選項B；故選：B．【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖是孔明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖.點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么該古城墻的高度是（）A．6米 B．8米 C．10米 D．15米【考點】SA：相似三角形的應(yīng)用．【專題】選擇題【難度】易【分析】因為孔明和古城墻均和地面垂直，且光線的入射角等于反射角，因此構(gòu)成一組相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例即可解答．【解答】解：根據(jù)題意，容易得到△ABP∽△PDC．即CD：AB=PD：BP，∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，∴CD=×AB=10；那么該古城墻的高度是10米．故選C．【點評】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．10．如圖，圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標(biāo)是（）A．（0，9） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）【考點】SC：位似變換；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】選擇題【難度】易【分析】利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點的連線的交點即可得出答案．【解答】解：如圖所示：點D即為所求，坐標(biāo)為：（9，0）．故選：C．【點評】此題主要考查了位似變換，利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心的位置是解題關(guān)鍵．11．如果△ABC∽△DEF，相似比為2：1，且△DEF的面積為4，那么△ABC的面積為（）A．1 B．4 C．8 D．16【考點】S7：相似三角形的性質(zhì)．【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為2：1，∴△ABC和△DEF的面積比為4：1，又△DEF的面積為4，∴△ABC的面積為16．故選：D．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長線于E，則圖中的相似三角形（全等除外）有（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對【考點】S8：相似三角形的判定；L5：平行四邊形的性質(zhì)．【專題】選擇題【難度】易【分析】根據(jù)相似三角形的判定來找出共有多少對相似的三角形．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，∵AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．∴共有5對，故選C．【點評】本題主要考查的是相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．13．已知線段AB=20，點C為線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC=.【考點】S3：黃金分割．【專題】填空題【難度】中【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AC為較長線段；則AC=AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AC的值．【解答】解：∵C為線段AB=20的黃金分割點，且AC＞BC，∴AC=20×=10﹣10．故答案為10﹣10．【點評】本題黃金分割點的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．熟記黃金比的值是解題的關(guān)鍵．14．在△ABC和△A1B1C1中，下列四個命題：(1)若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，則△ABC≌△A1B1C1；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，則△ABC≌△A1B1C1；(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1；(4)若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1.其中是真命題的為（填序號）.【考點】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；O1：命題與定理．【專題】填空題【難度】中【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法逐項分析即可．【解答】解：(1)若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，則△ABC≌△A1B1C1是正確的，利用SAS判定即可；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，則△ABC≌△A1B1C1是錯誤的，SSA不能判定兩個三角形全等，角必須是夾角；(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1是正確的，根據(jù)兩對角相等的三角形相似判定即可；(4)若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1是正確的，根據(jù)兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判定即可，綜上可知①③④，故答案為：①③④．【點評】本題考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其各種判定方法并且靈活運用其各種判定方法．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿BD折疊，點C恰巧落在邊AB上的C′處，折痕為BD，再將其沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的A′處.若△BED與△ABC相似，則相似比=.【考點】S7：相似三角形的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）．【專題】填空題【難度】中【分析】根據(jù)△BED與△ABC相似和△ABC沿BD折疊，點C恰巧落在邊AB上的C′處，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函數(shù)求出BD、AC的長，得到答案．【解答】解：△BED與△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，設(shè)BC為x，則AC=x，BD=x，=．故答案為：．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)和翻折變換的知識，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等和銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．下列關(guān)于位似圖形的表述：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比.其中正確命題的序號是.【考點】SC：位似變換．【專題】填空題【難度】中【分析】分別利用位似圖形的性質(zhì)以及位似圖形的定義分析得出答案．【解答】解：①相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，故此選項錯誤；②位似圖形一定有位似中心，正確；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形，正確；④位似圖形上對應(yīng)兩點與位似中心的距離之比等于位似比，故此選項錯誤．故答案為：②③．【點評】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及位似圖形的定義，正確利用位似圖形的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．17．張華同學(xué)的身高為1.6米，某一時刻他在陽光下的影長為2米，與他鄰近的一棵樹的影長為6米，則這棵樹的高為米.【考點】SA：相似三角形的應(yīng)用．【專題】填空題【難度】中【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．【解答】解：據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，設(shè)這棵樹的高度為xm，則可列比例為，解得，x=4.8．故答案為：4.8．【點評】本題主要考查同一時刻物高和影長成正比，考查利用所學(xué)知識解決實際問題的能力．18．如圖所示，C為線段AB上一點，且滿足AC：BC=2：3，D為AB的中點，且CD=2cm，則AB=cm.【考點】S2：比例線段．【專題】填空題【難度】中【分析】根據(jù)已知條件先設(shè)AC=2x，得出BC=3x，AB=5x，根據(jù)D為AB的中點，得出CD=0.5x，再根據(jù)CD=2cm，求出x，從而得出AB的長．【解答】解：∵AC：BC=2：3，∴設(shè)AC=2x，則BC=3x，AB=5x，∵D為AB的中點，∴AD=2.5x，∴CD=0.5x，∵CD=2cm，∴x=4，∴AB=5x=5×4=20cm；故答案為：20．【點評】此題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用線段的和與差即可解答．19．已知a，b，c，d四個數(shù)成比例，且a，d為外項.求證：點（a，b），（c，d）和坐標(biāo)原點O在同一直線上.【考點】S2：比例線段．【專題】解答題【難度】難【分析】設(shè)經(jīng)過點O和（a，b）的直線是y=kx，設(shè)經(jīng)過點O和（c，d）的直線的解析式是：y=mx，證明k=m即可證得．【解答】證明：設(shè)經(jīng)過點O和（a，b）的直線是y=kx，則b=ak，則k=，設(shè)經(jīng)過點O和（c，d）的直線的解析式是：y=mx，則d=cm，解得：m=，∵a，b，c，d四個數(shù)成比例，∴=，∴=，∴k=m，則直線y=kx和直線y=mx是同一直線，即點（a，b），（c，d）和坐標(biāo)原點O在同一直線上．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及比例線段的定義，理解證明的思路是關(guān)鍵．20．如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AC，BE相交于點F，F(xiàn)是線段BE、AC的黃金分割線嗎？為什么？【考點】S3：黃金分割．【專題】解答題【難度】難【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，則利用三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)計算出∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，易得∠CBF=72°，∠CFB=72°，所以CB=CF，再證明△ABF∽△ACB，則AB：AC=AF：AB，所以CF：AC=AF：CF，根據(jù)黃金分割的定義得到點F是線段AC的黃金分割點，用同樣的方法可得F是線段BE的黃金分割點．【解答】解：F是線段BE、AC的黃金分割點．理由如下：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，∴∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，∴∠CBF=72°，∠CFB=72°，∴CB=CF，∵∠ABF=∠ACB=36°，∴△ABF∽△ACB，∴AB：AC=AF：AB，∴CF：AC=AF：CF，∴點F是線段AC的黃金分割點，同理可得F是線段BE的黃金分割點．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比．也考查了正五邊形的性質(zhì)．21．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別是邊BC、CD的中點，直線EF交邊AD的延長線于點M，交邊AB的延長線于點N，連接BD.(1)求證：四邊形DBEM是平行四邊形；(2)連接CM，當(dāng)四邊形ABCM為平行四邊形時，求證：MN=2DB.【考點】S4：平行線分線段成比例；L7：平行四邊形的判定與性質(zhì)；LH：梯形．【專題】解答題【難度】難【分析】(1)首先根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥BD，再有條件AD∥BC，可根據(jù)兩邊互相平行的四邊形是平行四邊形，可判定四邊形DBEM是平行四邊形；(2)首先根據(jù)平行線分線段成比例定理可得=，再根據(jù)BE=CE，可得BN=CM，進而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得=，進而得到MN=2DB．【解答】證明：(1)∵點E、F分別是邊BC、CD的中點，∴EF∥BD，又∵AD∥BC，∴四邊形DBEM是平行四邊形；(2)∵四邊形ABCM為平行四邊形，∴AB=CM，AB∥CM，∴=，∵BE=CE，∴BN=CM，∴AB=BN，∵EF∥BD，∴=．∴MN=2DB．【點評】此題主要考查了三角形中位線定理，以及平行四邊形的判定、平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理：定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．22．已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）.問：△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由.【考點】S8：相似三角形的判定；LB：矩形的性質(zhì)．【專題】解答題【難度】難【分析】延長FE和CD交于P，求出等腰三角形PCF，推出∠PCE=∠FCE，根據(jù)△AFE∽△DEC推出∠AEF=∠PCE，推出∠A=∠FEC，∠AEF=∠ECF，根據(jù)相似三角形的判定推出即可．【解答】答：相似．證明：延長FE和CD交于P，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，∵E為AD中點，∴AE=DE，在△AFE和△DPE中，，∴△AFE≌△DPE（ASA），∴PE=EF，∵EC⊥EF，∴PC=FC，∴∠PCE=∠FCE，∵CE⊥EF，∠A=90°，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DEC，即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，∴△AFE∽△DEC，∴∠AEF=∠DCE，∵∠DCE=∠FCE，∴∠AEF=∠ECF，∵∠A=∠FEC=90°，∴△AFE∽△EFC．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)等知識點的綜合運用．23．如圖，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的長.【考點】S7：相似三角形的性質(zhì)．【專題】解答題【難度】難【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出=，再求解即可．