動力學(xué)課后習(xí)題答案-北航考研

第一章質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)

1-3

運(yùn)動方程：y=1tan0＞其中8=左/。

將運(yùn)動方程對時間求導(dǎo)并將e=30°代入得

16Ik41k

v=y=-----=----=---

“cos20cos203

..2lk2sin08百米2

a-y-----------=-------

cos3e9

1—6

證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動，

所以質(zhì)點(diǎn)的加速度為：4=4,+%,

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為V，由圖可知：

COS，=^=M，所以：4=竺

vavv

將匕,=C'<7n=—

P

3

代入上式可得fl=—o

CP

證畢

1-7

證明：因?yàn)橄?匕，4n=4sin。=加——

/n

所以:

P~\\axv\\

證畢

1—10

解：設(shè)初始時，繩索AB的長度為￡,時刻/時的長度

為s，則有關(guān)系式：

s=￡一%，,并且s2=Z2+x2

將上面兩式對時間求導(dǎo)得：

s=-v0，2sM=2xx

由此解得：元=一也(a)

X

(a)式可寫成：jd=-%s，將該式對時間求導(dǎo)得：

2

XX+X=-5V0=VQ(b)

將(a)式代入(b)式可得：a=工=立三=-玄(負(fù)號說明滑塊A的加速度向上)

*x%3

取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動微分方程有:

ma=尸+8+mg

將該式在xJ軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程:

mx-mg—Fcos0

my--Fsin。+FN

其中:

xv/2

COS0=,sin9=-/3__ov-0

G+/2

將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程可得:

V2/2

i(g+?)

1-11

解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤的切點(diǎn)，由于繩子相對圓盤無滑動，所以以二〃?，由于繩子始終處于拉直狀態(tài),

因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等，即：

vB=v^cos^(a)

因?yàn)?/p>

2三

x(b)

將上式代入(a)式得到A點(diǎn)速度的大小為:

x

v-coR

AT

77F(c)

由于%=-jt,(c)式可寫成：一七1x2—屋=a)Rx,將該式兩邊平方可得:

x2(x2-R2)=CD2R2X2

將上式兩邊對時間求導(dǎo)可得:

2xx(x2_R2)_2XX3=2a)2R2xx

將上式消去23后，可求得:

..CD2R4X

x=--z------

22

(x一R)(d)

(O2R4X

由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為

aA=(x2-R2)2

取套筒A為研究對象，受力如圖所示,

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動微分方程有:

ma=尸+尸、+mg

將該式在X,歹軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的

運(yùn)動微分方程：

mx=-Fcosd

my-Fsin^+FN-mg

其中:

sin6=4,cos^=^-—

x=-，弋y=0

222

xX(X-R)

將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程可得

?ma)2R4x2，mc-o2R百5x

1-13

解：動點(diǎn):套筒A；

動系:0C桿;

定系：機(jī)座;

運(yùn)動分析:

絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動;

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動;

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。

根據(jù)速度合成定理

va=vc+vr

9

有：vacos(P=ve因?yàn)锳B桿平動，所以匕=丫，

vcos2(p

由此可得：VCOS^9=v>OC樸的角速度為(y=—―,OA=------>所以co

eOAcos(p

2/qo

aVCS45av

當(dāng)夕=45°時，OC桿上C點(diǎn)速度的大小為：Vc=o)a=°_

1-15

A

解：動點(diǎn)：銷子M

動系1：圓盤

動系2：0A桿

定系：機(jī)座；

運(yùn)動分析：

絕對運(yùn)動：曲線運(yùn)動

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動

根據(jù)速度合成定理有

%1=匕|+匕1,%2=匕2+匕2

由于動點(diǎn)M的絕對速度與動系的選取無關(guān)，即y,=V?,由上兩式可得:

a2al

匕1+匕1=匕2+匕2(a)

將（a）式在向在x軸投影，可得:

-velsin30°=-ve2sin30°+vr2cos30°

山此解得:

匕2=tan30°(v-v)=OMtan30°(g—用)=,(3—9)=—0.4俏/s

e2elcos"30

ve2=OMCD,=0.2-\/3

匕“=%2=亞2+*=0.529W/5

1-17

解：動點(diǎn)：圓盤上的C點(diǎn)；

動系:OIA桿;

定系：機(jī)座；

運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動（平行于OA桿）;

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。

根據(jù)速度合成定理有

V.,=也+叫

dCl(a)

將（a）式在垂直于OiA桿的軸上投影以及在OC軸上投影得:

vcos30°=vcos30°vsin30°=vsin30°

ud,drr

%Ro)

匕=%=RO,匕=匕=火0,-O^C-2^-

根據(jù)加速度合成定理有

aad=a1e+e+ar+ac（

將（b）式在垂直于OA桿的軸上投影得

-凡sin30°=a：cos30°+sin30°-ac

1a

其中：/=R①,e=2RG）；,ac=2電匕

由上式解得：=

12R12

1—19

解：由于ABM彎桿平移，所以有

=VM-aA=?.W

取：動點(diǎn)：滑塊M；

動系：OC搖桿；

定系：機(jī)座；

運(yùn)動分析：

絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動；

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。

根據(jù)速度合成定理

Va=匕+匕

可求得：

vM=vA=va=42ve=42bco=2忘m/s,v{=ve=ba>=2m/s

也272472.

co.=—―=---=------radA/s

1。/1.53

根據(jù)加速度合成定理

ad\+a=a1++ar+ac

將上式沿“C方向投影可得:

“a

(7*cos45°-a：sin45°=-a：+ac

22

山于a；=(y：/=gm/s?，a'e=ab=lm/s>ac=2<yvr=8m/s>根據(jù)上式可得：

a；=號+7A/2=15.23tn/s2/=-j-=10.16rad/s2

1-20

解：取小環(huán)M為動點(diǎn)，0AB桿為動系

運(yùn)動分析

絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動；

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動；

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。

由運(yùn)動分析可知點(diǎn)的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示,

其中:

V,=OMco=-=2尸。

eCOS'"60°n

根據(jù)速度合成定理：

可以得到：

Ve

va=tan、=2rtan600=l^rco,v.--—=4rty

"CrCOS60°

加速度如圖所示，其中:

&=OMco2-""=2rco2

ecos60°O

2

ac=2tyvr=8r(y

根據(jù)加速度合成定理:

%=/+?r+?C

將上式在x軸上投影，可得：4cos。=一4cos6+%.由止匕求得：4=14尸。2

1—21

解：求汽車B相對汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。

?。簞狱c(diǎn)：汽車B；

B

動系：汽車A（Oxy）；

定系：路面。

運(yùn)動分析

絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；

相對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動（汽車A繞O做定軸轉(zhuǎn)動）

求相對速度，根據(jù)速度合成定理

Vda=C也+嗎1

符上式沿絕對速度方向投影可得：

匕=—匕+匕

因此匕=匕+%

其中：匕=%，匕=須8，0=?，

勺

由此可得：v=v,+v?=m/s

RA9

求相對加速度，由于相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動,

相對速度的大小為常值，因此有：

%=a；=-^-=1.78m/s2

1-23質(zhì)量為加銷釘M山水平槽帶動，使其在半徑為r的固定圓槽內(nèi)運(yùn)動。設(shè)水平槽以勻速v向上運(yùn)動，不計(jì)摩

擦。求圖示瞬時，圓槽作用在銷釘M上的約束力。

解：銷釘M上作用有水平槽的約束力F和圓槽的約束力產(chǎn)。（如圖所示）。由于銷釘M的運(yùn)動是給定的，所以先

求銷釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程求約束力。取銷釘為動點(diǎn)，水平槽為動系。由運(yùn)動分析可知銷釘?shù)乃?/p>

度圖如圖所示。

根據(jù)速度合成定理有V=ve+匕

由此可求出：匕=_工=_。再根據(jù)加速度合成定理有：%=勺+'

cos。cos。

山于絕對運(yùn)動是圓周運(yùn)動，牽連運(yùn)動是勻速直線平移，所以&=0,并且上式可寫成:

因?yàn)?上=—^,所以根據(jù)上式可求出：a：=a：tan6=t。

rrcos6rcos0

根據(jù)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程有:

m(a'a+a^)=F+Fo+mg

將該式分別在水平軸上投影:sin0+a"cos0)=Focos0

「mv2

由此求出：FF7

o=-rc-os0

1-24圖示所示吊車下掛一重物M,繩索長為/,初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度a沿水平滑道

平移。試求重物M相對吊車的速度與擺角。的關(guān)系式。

mar=F+mg+Fc

將上式在切向量方向投影有

ma；=ml。=_mgsind+Fcos0

e

因?yàn)镕=ma-ma,0==0^-,所以上式可寫成

eedrA6drd0

血6需=-mgsin0+macosO

整理上式可得

=-gsinede+QCOs9de

將上式積分:

—02=gcos6+Qsine+c

其中c為積分常數(shù)（由初始條件確定），因?yàn)橄鄬λ俣蓉?歷，上式可寫成

2

蘇=geos。+asin。+c

初始時e=o,系統(tǒng)靜止，匕=匕=0,根據(jù)速度合成定理可知匕=o,由此確定。=-8。重物相對速度與擺

角的關(guān)系式為：

v；-2/[g（cos6—1）+asing]

1-26水平板以勻角速度0繞鉛垂軸0轉(zhuǎn)動，小球M可在板內(nèi)一光滑槽中運(yùn)動（如圖7-8）,初始時小球相對靜止

且到轉(zhuǎn)軸0的距離為Ro，求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為R>Ro時的相對速度。

mar=YF+Fc+Fc

dv

將上式在匕上投影有ma=m—L=Fcos。

rdtc

因?yàn)椋?〃求。2,叫,=0上空，eA=ycose,所以上式可寫成

edtdRdtdt

mv=mRco2cosO

rdR

整理該式可得：匕也=&02

rdR

將該式積分有：=-CD2R2+C

2r2

初始時R=Ro,vr=0,由此確定積分常數(shù)c=―；①2吟,因此得到相對速度為

匕=%/上一年

1-27重為P的小環(huán)M套在彎成肛=02形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸x以勻角速度3轉(zhuǎn)動，如圖所示。

試求小環(huán)M的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。

解：取小環(huán)為動點(diǎn)，金屬絲為動系，根據(jù)題意，相對平衡位置為例=0,因?yàn)榻饘俳z為曲線，所以匕=0,因

此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中尸，尸e，P分別為約束力、牽連慣性力和

小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程有：

F+Fe+P=0

P

其中：乙=二y。2,將上式分別在軸上投影有

g

「一Fsin9=0

7

Fe-7cos。=0(a)

以為tan9=—型，y=±,?=—二，因此

drxdxx~

ac2

tan8=一

x(b)

由（a）式可得

八P

tan。=—

F。(c)

將冗=￡/y2和式（b）代入式（C）,并利用Xy=C2,可得:

g

再山方程（a）中的第一式可得

第二章質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)

2-1解：當(dāng)摩擦系數(shù)/足夠大時，平臺AB

相對地面無滑動，此時摩擦力尸4加丫

取整體為研究對象，受力如圖，

系統(tǒng)的動量：0=加,匕

將其在％軸上投影可得：Pi=m7vr=m^bt

根據(jù)動量定理有：

華=m,b=F<JFN=/（加］+m2）g

d/

即：當(dāng)摩擦系數(shù)/->—竺的一時，平臺AB的加速度為零。

（叫+m2）g

當(dāng)摩擦系數(shù)f<—竺它一時，平臺AB將向左滑動，此時系統(tǒng)的動量為:

（?7,+m2）g

P=AW2（V+vr）+WjV

將上式在X軸投影有：

px=m2（-v+匕）+相］（-v）=m2bt-（加］+m2）v

根據(jù)動量定理有：

生=m2b-+tn、）a=F=g=/（叼+他，）g

d/

山此解得平臺的加速度為：a=-^—-fg（方向向左）

7M1+

2-2取彈簧未變形時滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn)，取整體為研究對象，受力如圖所示，其中廣為作用在滑塊A

上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動量為：

p=mv+mlvi=mv+w,(v+vr)

將上式在x軸投影：

px=mx+m](x+/(ycos^)

根據(jù)動量定理有：

系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

（m+m^x+kx=mjco2sin<y/

2-4取提起部分為研究對象，受力如圖（a）所示，提起部分的質(zhì)量為加=QV/,提起部分的速度為y,根據(jù)點(diǎn)

的復(fù)合運(yùn)動可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對速度為匕，方向向下，大小為v（如圖a所示）。

尸⑺

y

vmg

(a)(b)

根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程有:

dvdm

m—=F(t)+mg+vr——=F(/)+(pvt)g+vrpv

將上式在y軸上投影有:

dv2

/?—=F(t)-(pvt)g-vpv=F(t)-p(vgt+v-)

d/v

由于曳=0，所以由上式可求得：F(Z)=p(vg/+v2)?

d/

再取地面上的部分為研究對象，由于地面上的物體沒有運(yùn)動，并起與提起部分沒有相互作用力，因此地面的

支撐力就是未提起部分自身的重力，即：FN=(l—vt)pg

2-5將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對象，

受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程有：

dv?.dm

m—=r++r+v,.——

dtvNrdt

船的質(zhì)量為：〃?=/77O—qt，水的阻力為F——fv

將其代入上式可得：

dv

的-叫「"g+八-q%

將上式在X軸投影：(加-曳=-jy-q(-V)o

0r應(yīng)用分離變量法可求得

dt

ln(qq->v)=—ln(w0-qt)+c

q

由初始條件確定積分常數(shù)：c=ln(qu)-/in/M。，并代入上式可得:

q

1(也二芍

f

2-8圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為質(zhì)量為相的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)

動，其相對方

板的速度大小為〃(常量)。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為/。質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由e確定。初始時，9=0,方板

的角速度為零，求方板的角速度與e角的關(guān)系。

z

解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對象，作用在研究對象上的外力對轉(zhuǎn)軸Z的力矩為零，因此系統(tǒng)對Z軸的動量矩守恒。

下面分別計(jì)

算方板和質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的動量矩。

設(shè)方板對轉(zhuǎn)軸的動量矩為4，其角速度為啰，于是有

L]=JCD

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對轉(zhuǎn)軸的動量矩為上2,取方板為動系，質(zhì)點(diǎn)M為動點(diǎn)，其牽連速度和相對速度分別為1,匕。相對速度

沿相對軌跡

的切線方向，牽連速度垂直于連線。質(zhì)點(diǎn)M相對慣性參考系的絕對速度匕=匕+匕。它對轉(zhuǎn)軸的動量矩為

L[=L2(mvJ=L2(mve)+Z2(wvr)

其中：

22

L2(mve)=mra>=m[(l+Rcos(p)+(7?sin°)。6y

2

A2(wvr)-m(J+7?cos°)匕cos。+m7?sin(pvx

系統(tǒng)對z軸的動量矩為4=4+乙。初始時，。=0,°=0,匕=〃，此時系統(tǒng)對z軸的動量矩為

Lo=m(l+R)n

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動到圖8-12位置時，系統(tǒng)對z軸的動量矩為

22

L(/)=Ja>+m[(l+Rcos(p)+(7?sin(py]a>+m(l+Rcos(p)ucos(p+mRsin(pi)

=\J+(/2+R2+21Rcos(p)m\(o+(/cos(p+R)mu

由于系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。所以有4，=品，因此可得：

m(l+R)u=[J+(/2+R2+21Rcos(p)mja)+(Icos(p+R)mu

由上式可計(jì)算出方板的角速度為

ml(\-cosc>)w

co--------------------------

J+m(l~+R~+21Rcos。)

2-11取鏈條和圓盤為研究對象，受力如圖(鏈條重力未畫)，設(shè)圓盤的角速度為0，則系統(tǒng)對。軸的動量矩

為：

2

Lo=Joco+p](2a+7rr)ra)

根據(jù)動量矩定理有:

用口。+3")戶]而

=q(Q+x)gr_P/(Q_X)gr

整理上式可得:

[Jo+Pi(2。+研/]6>=Pt(2x)gr

由運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知：cor=x，因此有：cor=x°上式可表不成：

22

[Jo+Pi(2a+7rr)r]x=2ptgrx

令分=-----9支——上述微分方程可表示成：x-/t2x=0.該方程的通解為：

Jo+2/(2。+勿”)尸2

A,

x-c}e

根據(jù)初始條件：/=0,》=/，文=0可以確定積分常數(shù)4=。2=e，于是方程的解為：

x-xoch2/

系統(tǒng)的動量在x軸上的投影為：

px=sin即=2即=2pp

系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為：

p、,-{a-x)a)r-pj{a-\-x)a)r--Ip^cor-2ptxx

根據(jù)動量定理：

Px=Fox

Py=舄_尸-0/(2a+⑺g

由.上式解得：

FOx=2夕/a042ch力,7=尸+pd2a+m-)g-Zp/^xjchQ/lt)

2-14取整體為研究對象，系統(tǒng)的動能為:

7=l^+lWcy^

A

其中：u.Vc分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。

若匕是AB桿匕的A點(diǎn)相對楔塊C的速度，則根據(jù)

復(fù)合運(yùn)動速度合成定理可知：

vc=vAcot0,

因此系統(tǒng)的動能可表示為：

1o1_

7=—mvA+—mccot0vA-—(m+mccot0)vA

系統(tǒng)在運(yùn)動過程中，AB桿的重力作功。根據(jù)動能定理的微分形式有:

dT=3W,

系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示成：

22

d—(m+mccot=(m+mccot0)vAdvA=mgvAdt

由上式解得:

d%=mg

2

dtm+mccot0,ac=aAcot0

2-17質(zhì)量為加。的均質(zhì)物塊上有一半徑為R的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為m(wn=3m)

光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動，初始時，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運(yùn)動到B處夕=30°時相對物塊的速度、物塊

的速度、槽對小球的約束力和地面對物塊的約束力。

AIA

解：取小球和物塊為研究對象，受力如圖B所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動力均為有勢力，水平方向無外力，因

此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，水平動量守恒。設(shè)小球?yàn)閯狱c(diǎn)，物塊為動系，設(shè)小球相對物塊的速度為匕，物塊的速度

為八,則系統(tǒng)的動能為

2

7=g加+；mv1=；+gm[(ye-vrsin(p?+(vrcos^)]

設(shè)9=0為勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢能為

V--mgRsin(p

根據(jù)機(jī)械能守恒定理和初始條件有「+%=(),即

,nv22

~l+；制(匕-vrsin^>)+(vrcos^?)]=mgRsincp

⑴

系統(tǒng)水平方向的動量為:

p*=mv+m(v-vsin°)

aeer⑵

根據(jù)系統(tǒng)水平動量守恒和初始條件由（2）式有

3mve+m(ye-vrsin夕)=0

由此求出匕=；n「sine，將這個結(jié)果代入上面的機(jī)械能守恒式（1）中，且夕=30°最后求得:

匕二4樗，匕.樗

下面求作用在小球上的約束力和地面對物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對象，受力如圖C,D所示。設(shè)

小球的相對物塊的加速度為肛，物塊的加速度為,,對于小球有動力學(xué)方程

ma&=機(jī)(《+Q：+〃：)二尸+mg

對于物塊，由于它是平移，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動動力學(xué)方程有

加0%=F+〃?og+Ev(b)

將方程（a）在小球相對運(yùn)動軌跡的法線方向投影，可得

加（a：-aecoscp）=F-mgsin（p

其中相對加速度為已知量，a；=或。將方程（b）在水平方向和鉛垂方向投影，可得

R

m()ac=Fcos(p

O^FN-mog-Fsin(p

令0=30°,聯(lián)立求解三個投影方程可求出

47也294

4=-^，F(xiàn)/mg,F『36的mg

2—18取小球?yàn)檠芯繉ο?，兩個小球?qū)ΨQ下滑，

設(shè)圓環(huán)的半徑為Ro每個小球應(yīng)用動能定理有：

=/wg7?(l-cos6)(a)

將上式對時間/求導(dǎo)并簡化可得：

科=&sin，(b)

R

每個小球的加速度為

=(ROcosO-RO2sin^)/+(-R0sinO-RO2cos0)j

取圓環(huán)與兩個小球?yàn)檠芯繉ο?，?yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理

Ym'aic=￡Fj

將上式在y軸上投影可得：

2

加0x0—2m(7?dsin0+R0cos^)=Fv-2mg-m^g

將(a),(b)兩式代入上式化筒后得

2

Fv=wog+2mg(3cos0-2cos0)

FN=0時對應(yīng)的夕值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時上式可表示成

3cos2。-2cos6+--=0

2m

11

上述方程的解為:3-3-

圓環(huán)脫離地面時的。值為q

一1

向a=arccos—也是方程的解,但是。〉用時圓環(huán)己脫離地面，因此0=0不是圓環(huán)脫離地面

2(32

時的值。

2-19取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉ο?。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過鉛垂軸。根據(jù)受

力分析可知：系統(tǒng)對鉛垂軸的動量矩守恒。設(shè)小球相對圓柱的速度為匕，牽連速度為匕，由系統(tǒng)對z軸的動量

矩守恒，有：

L.=-tn0r~co-mver+mvrcosOr=0

其中：ve=rct)＞則上式可表示成：

(m0+m)r~a)=mvTcosOr

廿ld-1m八〃

其中：〃=-------，tan9=----

m0+m2療

根據(jù)動能定理積分式，有：%所_2

其中：［=（匕—匕cos6）2+（匕sine）2,將其代入動能定理的積分式，可得:

222

tn()r~a)+m[(rco-vTcos^)+(vrsinJ=2mghn

將。二絲羅代入上式，可求得：「，晟花

則：2ghn、

ry1-/zcos~0

由q二（ve一匕cosOp+（匕sin6）2

可求得：匕=匕“一〃（2-〃）852例5

2-20取鏈條為研究對■象，設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為。

應(yīng)用動量矩定理，鏈條對O軸的動量矩為：

Lo=

外力對O軸的矩為：

Mo=p0gr'+￡pgrcos（pAsM

pOgr+pgrcos(prd(p

=pOgr~+pgr~sin。

L0=Mo

：.pTD^d=pOgr2+pgr2sin0

因?yàn)椋骸?=處=業(yè)絲=往業(yè)=上業(yè)，所以上式可表示成：

dtdedtdor(13

7ir0=飲+gsin。

vdv.八

萬一7^=/+gsin0

rd0

Trvdv=rg(0+sin0)d0

積分上式可得：)gy2=噂((。2一cos。)+c

I

由初始條件確定積分常數(shù)c=gr，最后得：u=[gr(2—ZcosO+e?)/萬]5

第三章剛體動力學(xué)（I）

3-3取套筒B為動點(diǎn)，OA桿為動系

根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理

L=1+匕七'、

可得：vcos30°-v=col>

ae匕

2V3.一》黑fC>

VB=VBC=匕=3①I

心6吠

研究AD桿，應(yīng)用速度投影定理有:

vA=vDcos30°，vD=^Y~col

再取套筒D為動點(diǎn)，BC桿為動系,根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理

VD=VBC+VDr

將上式在X軸上投影有：一匕IJ=—vD"C+n,A/％-VD+VBC-3〃

3-4AB構(gòu)件（灰色物體）作平面運(yùn)動，已知A點(diǎn)的速度

vA=coaOlA=450cm/5

AB的速度瞬心位于C,應(yīng)用速度瞬心法有

v3

coA=—rad/s巳凝、、、、、、

AABR=-A---C-2

VB=①/。,

設(shè)OB桿的角速度為0,則有顯-「

CD-2-=—rad/s

OB4

%埒

設(shè)P點(diǎn)是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點(diǎn)，

該點(diǎn)的速度：

VP~①ABCP

齒輪I的角速度為：co,=—=6rad/s

r\

3-6AB桿作平面運(yùn)動，取A為基點(diǎn),

根據(jù)基點(diǎn)法公式有：

%=也+vBA

將上式在AB連線上投影,J

VB=0，?0,B=

吟、、一J

因此,

1

3，B

AB

3-7齒輪II作平面運(yùn)動，取A為基點(diǎn)有

??=UA+aBA+aBA

。=勺+UBA+?L

將上式在X投影有：

-acos0=a、~a^A

再將基點(diǎn)法公式在y軸上投影有：

osinP-a'BA-an2r2,

由此求得

asinB

a,,=-------

2々

再研究齒輪n上的圓心，取A為基點(diǎn)

aaaa

O2+O2=%+O2A+O2A

將上式在y軸上投影有

asinB

atat

o2=o2A=r2aH=-

由此解得：

a

_o2_asmP

a°'°24+弓2（。+々）

a

再將基點(diǎn)法公式在X軸上投影有：一“覆=4-o2A

由此解得:

n_QCOS,一q

%=2,

又因?yàn)檎?（0+々）口嬴

山此可得：

,\acosB-a,

G）c°c'02=土NI---2---化-----+---々----）---

3-9卷筒作平面運(yùn)動，C為速度瞬心,其上D點(diǎn)的速度為丫，卷筒的角速度為:

VV

co------=---------

DCR-r

角加速度為：

卷筒O點(diǎn)的速度為：

vR

vo—coR=

R-r

O點(diǎn)作直線運(yùn)動，其加速度為:

vRaR

研究卷筒，取O為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的加速度。

“8="。+UBO+aB0

將其分別在x,y軸匕投影

aBx=4。+aBO&B),=~aBO

22

aB-+aBy=(R_功2(R-r)+v

同理，取O為基點(diǎn)，求C點(diǎn)的加速度。

a+a+a

ac=ococo

將其分別在x,y軸上投影

aCx=aO~aCO~°aCy=aCO

Rv2

ac=aCv=----------7

°。(R-r)2

3-10圖示瞬時，AB桿瞬時平移，因此有:

vB=vA=coOA=2m/s

AB桿的角速度：03AB=0

圓盤作平面運(yùn)動，速度瞬心在P點(diǎn)，圓盤的

的角速度為：

a)=-=4m/s

Br

圓盤上C點(diǎn)的速度為：%="BPC=2V2m/s

AB桿上的A、B兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動，取A為基點(diǎn)

根據(jù)基點(diǎn)法公式有

a

B+嗎=aA+”篙

將上式在x軸上投影可得：一力二°

因此：

2

aB=*=~=8m/s2

r

山于任意瞬時，圓盤的角速度均為：

%=—

將其對時間求導(dǎo)有：

氏=%=或

rr,

由于“,=°，所以圓盤的角加速度=而8=°。

圓盤作平面運(yùn)動，取B為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法公式有:

ac=+a'cB+aCB=QB+aCB

2

ac=J⑷尸+(a%)2=8V2m/s

3-13滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度

和加速度。AB桿作平面運(yùn)動，其速度瞬心為P,

AB桿的角速度為：

V