矩陣分析課后習題解答

第一章線性空間與線性變換（以下題目序號與課后習題序號不用然對應，但題目序次是一致的，答案為個人整理，不用然正確，僅供參照，別的，此答案未經贊同不得擅自上傳）（此處注意線性變換的核空間與矩陣核空間的差異）.利用子空間定義，R(A)是Cm的非空子集，即考據R(A)對Cm滿足加法和數乘的封閉性。.證明同。.dimR(A)rankA,dimN(A)nrankA（解空間的維數）.提示：設Aijn（ni,jn)，分別令XXi(0,0,1,0,0,)T(其中位于(a)1Xi的第i行），代入XTAX0，得aii0；令XXij(0,0,1,0,01,0,0)T（其中1位于Xij的第i行和第j行），代入XTAX0，得aiiaijajiajj0，由于aiiajj0，則aijaji0，故ATA，即A為反對稱陣。若X是n維復列向量，同樣有aii0，aijaji0，再令XXij(0,0,i,0,0,1,0,)T(其中i位于Xij的第i行，1位于Xij的第j行），代入XHAX0，得aiiajji(ajiaij)0，由于aiiajj0，ajiaij，則aijaji0，故A0.AB是Hermite矩陣，則(AB)HBHAHBAAB.存在性：令BAAH,CAAH，ABC，其中A為任意復矩陣，22可考據BHB,CHC唯一性：假設AB1C1，B1HB1,C1HC1，且B1B,C1C，由AHB1HC1HB1C1，得B1AAHB,C1AAHC（矛盾)22第二章酉空間和酉變換（注意實空間與復空間部分性質的差異）~法二：設ei(e1,e2,en)(0,0,1,0,0)T(e1,e2,en)X（1在第i行）；0)T~ej(e1,e2,en)(0,0,1,0,(e1,e2,en)Y（1在第j行）~H~1ij依照此題內積定義（ei,ej)YX0ij故e1,e2,en是V的一個標準正交基。（注意，在無特別定義的情況下，內積的定義默認為(X,Y)YHX）先求得C使CHAC，假設PCB，使PHAPI，則有(BBH)1，依次式求得B，進而求得P。(此方法不用然正確）將123進行列變換化為階梯型知可取1，2為其中兩個基，（，，）另兩個基可取T(0,0,0,1)T，化標準正交基略。3（0,0,1,0）,4略第二章矩陣的分解1注：例（1）中的Jordan標準型有誤，J11，Jordan標準型1不唯一，各Jordan塊之間可以互換，互換的原則是：同一特色值對應的Jordan塊之間可以互換；不同樣特色值對應的Jordan塊整體可以互換。、同方法同上由

Ak

O知

A的特色值全為

0（

x

0,Ax

x

Akx

kx），則

A

I的特色值全為

1，依照行列式與特色值的關系，則

AI

1略見課本P67例見課本P69例第三章范數及其應用（1）AFAm2A2，AB2A2B2minA2