河北省衡水中學(xué)高考試卷1高三上學(xué)期四調(diào)考試?yán)頂?shù)試題解析（解析版）

河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合中至少有3個(gè)元素，則（）A．B．C．D．【答案】C考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.若，則等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：由得，所以，故選C.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)相關(guān)的概念；2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算.3.在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”這首古詩(shī)描述的這個(gè)寶塔其古稱(chēng)浮屠，本題說(shuō)它一共有7層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，問(wèn)塔頂有幾盞燈？（）A．5B．6C．4D．3【答案】D【解析】試題分析：由題意可知，每層懸掛的燈數(shù)從上到下依次構(gòu)成比差數(shù)列，公比為，設(shè)頂層的燈數(shù)為，則，解之得，故選D.考點(diǎn)：1.數(shù)學(xué)文化；2.等比數(shù)列的性質(zhì)與求和.4.已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（）A．B．C.D．【答案】C考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程與幾何性質(zhì).5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A．4B．9C.7D．5【答案】B【解析】試題分析：模擬算法，開(kāi)始：輸入；不成立；不成立；不成立；成立；輸出，結(jié)束得算法.故選B.考點(diǎn)：程序框圖.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).7.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)，稱(chēng)為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)有以下四個(gè)命題：①；②函數(shù)是偶函數(shù)；③任意一個(gè)非零有理數(shù)，對(duì)任意恒成立；④存在三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4B．3C.2D．1【答案】A考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的周期性；3.分段函數(shù)的表示與求值.8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．10B．20C.40D．60【答案】B【解析】試題分析：由三視圖可知該幾何體的直觀圖如下圖所示，且三角形是以角為直角的直角三角形，,從而,又，且平面，故四邊形中邊長(zhǎng)為的正方形，過(guò)作于，由易知平面，在直角三角形中可求得，從而,故選B.考點(diǎn)：1.三視圖；2.多面體和體積.學(xué)科網(wǎng)9.已知、是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為，若橢圓的離心率為，則的最小值為（）A．1B．C.D．【答案】A考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.基本不等式；3.斜率公式.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、基本不等式、斜率公式，屬中檔題；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，特別是雙曲線的性質(zhì)，幾乎每均有涉及，主要以選擇題、填空題為主，解題時(shí)，應(yīng)利用圖形，挖掘題目中的隱含條件，結(jié)合圖形求解.10.在棱長(zhǎng)為6的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是面所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐的體積最大值是（）A．36B．C.D．【答案】A考點(diǎn)：1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.軌跡方程的求法；3.多面體的體積.11.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C.D．【答案】B【解析】試題分析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)和圖象，通過(guò)圖象可知，當(dāng)直線繞著原點(diǎn)從軸旋轉(zhuǎn)到與圖中直線重合時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，則，解之得，所以直線的斜率，所以的取值范圍為，故選B.考點(diǎn)：1.函數(shù)與不等式；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬中檔題；導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每高考的必考內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的范圍；或參變分離，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；或通過(guò)數(shù)列結(jié)合解題.12.已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（在軸上方），滿足，，則以為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C.D．【答案】C考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.直線與拋物線的位置關(guān)系；2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬難題；在解拋物線有關(guān)問(wèn)題時(shí)，凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般要運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離處理；拋物線的焦點(diǎn)弦一直是高考的熱點(diǎn)，對(duì)于焦點(diǎn)弦的性質(zhì)應(yīng)牢固掌握.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若、滿足約束條件，則的最大值為．【答案】考點(diǎn)：線性規(guī)劃.14.在中，，若為外接圓的圓心（即滿足），則的值為．【答案】考點(diǎn)：數(shù)量積的幾何運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的幾何運(yùn)算，屬中檔題；平面向量的數(shù)量積有兩種運(yùn)算，一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角，即數(shù)量積的幾何意義運(yùn)算，一是利用坐標(biāo)運(yùn)算，本題充分利用向量線性運(yùn)算的幾何意義與數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算量不大，考查子學(xué)生邏輯思維能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為5，則．【答案】【解析】試題分析：數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，又，所以，由此可得，即應(yīng)填.考點(diǎn)：1.數(shù)列求和；2.累和法求數(shù)列通項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，累和法求數(shù)列通項(xiàng)，屬中檔題；由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，則可以分別通過(guò)累加、累乘法求得通項(xiàng)公式，另外，通過(guò)迭代法也可以求得上面兩類(lèi)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，并項(xiàng)求和法等，可根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行選用.16.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，與拋物線的準(zhǔn)線的的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為，若，則拋物線的方程為．【答案】考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.向量數(shù)量積的幾何意義.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求的值；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.試題解析：（1）在中，，因?yàn)?，所以，即，又，?（2）由（1）知，從而.因此，.所以，所以的面積為.考點(diǎn)：1.正弦定理；2.三角恒等變換；3.三角形內(nèi)角和與三角形面積公式.學(xué)科網(wǎng)【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、三角恒等變換、三角形內(nèi)角和與三角形面積公式，屬中檔題.正、余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用正弦定理解決一類(lèi)已知三角形兩邊及一角對(duì)邊求其它元素，或已知兩邊及一邊對(duì)角求其它元素的問(wèn)題，這時(shí)要討論三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題；利用余弦定理可以快捷求第三邊直接運(yùn)用余弦定理解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題；知道兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用余弦定理可以快捷求第三邊.18.（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱柱中，為正方形，為菱形，，平面平面.（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）求二面角的余弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)平面；(3).試題解析：（1）連接，在正方形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?在菱形中，，因?yàn)槊?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）平面，理由如下：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.在正方形中，，所以，且.∴四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)椋?，所?（3）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，由（1）可知：，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在的直線為、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.在菱形中，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)榧?，所以即，由?）可知：是平面的一個(gè)法向量.所以，所以二面角的余弦值為.考點(diǎn)：1.面面垂直的判定與性質(zhì)；2.線面平行、垂直的判定與性質(zhì)；3.空間向量的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】本題考查.面面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行、垂直的判定與性質(zhì)及空間向量的應(yīng)用，屬中檔題；解答空間幾何體中的平行、垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；求二面角，則通過(guò)求兩個(gè)半平面的法向量的夾角間接求解.此時(shí)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及正確求出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵所在.19.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線，分別交橢圓于，.（1）若點(diǎn)在第一象限，且直線，互相垂直，求圓的方程；（2）若直線，的斜率存在，并記為，求的值；（3）試問(wèn)是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.試題解析：（1）由圓的方程知圓的半徑，因?yàn)橹本€，互相垂直，且和圓相切，所以，即①又點(diǎn)在橢圓上，所以②聯(lián)立①②，解得，所以，所求圓的方程為．（2）因?yàn)橹本€和都與圓相切，所以，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以．（3）方法一（1）當(dāng)直線、不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，，由（2）知，所以，故，因?yàn)?，，在橢圓上，所以，，即，，所以，整理得，所以，所以.（2）當(dāng)直線、落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有.綜上：.考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.直線與圓的位置關(guān)系.學(xué)科網(wǎng)20.（本小題滿分12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，過(guò)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且.（1）求橢圓的離心率；（2）若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；（3）過(guò)的直線與（2）中橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)；（3）的內(nèi)切圓的面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.（3）設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為，由此可得，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，由根與系數(shù)關(guān)系代入，換元令，轉(zhuǎn)化為，可知當(dāng)時(shí)，有最大值，從而求出內(nèi)切圓面積的最大值與相應(yīng)的直線方程即可.試題解析：（1）由題，為的中點(diǎn).設(shè)，則，，，由題，即，∴即，∴.（2）由題外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑，∵由題外接圓與直線相切，∴，即，即，∴，，，故所求的橢圓的方程為.（3）設(shè)，，由題異號(hào)，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為，，因此要使內(nèi)切圓的面積最大，只需最大，此時(shí)也最大，，由題知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，由得，由韋達(dá)定理得，，（），令，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)，，，故的內(nèi)切圓的面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.直線與圓的位置關(guān)系.21.（本小題滿分12分）已知，設(shè)函數(shù).（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范圍；（2）對(duì)任意恒成立時(shí)，的最大值為1，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).(2)，構(gòu)造函數(shù)，道的最大值為，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，由于，則，此時(shí)恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意.試題解析：（1），①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，由，得在時(shí)無(wú)解，②當(dāng)時(shí)，不合題意；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在遞減，在單調(diào)遞增，∴即，∴，④當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，滿足條件，綜上所述：時(shí)，存在，使得是在上的最大值.∴，滿足條件，∴的取值范圍是.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值；2.函數(shù)與不等式.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知圓錐曲線（為參數(shù)）和定點(diǎn)，、是此圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于、兩點(diǎn)，求的值.【答案】(1)；（2）.試題解析：（1）曲線可化為，其軌跡為橢圓，焦點(diǎn)為，.經(jīng)過(guò)和的直線方程為，即.（2）由（1）知，直線的斜率為，因?yàn)?，所以的斜率為，傾斜角為，所以的參數(shù)方程為(為參數(shù)).代入橢圓的方程中，得.因