中考研究探究與實(shí)踐活動(dòng)類

中考研究探究與實(shí)踐活動(dòng)類

興隆縣姜秀芹

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是?種經(jīng)驗(yàn)性的活動(dòng)，學(xué)生需要通過實(shí)際操作演算，動(dòng)手做或是頭腦中的操作——

思想實(shí)驗(yàn)，才能形成對數(shù)學(xué)的全面認(rèn)識.因此，作為新課程的一個(gè)具體目標(biāo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合與

實(shí)踐活動(dòng)始終是課程、教學(xué)及其評價(jià)所應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的對象。所以多年來，河北省數(shù)學(xué)中考中始

終考查一道“探究與實(shí)踐活動(dòng)”的大題，位于23或24題的位置，分值為10分。由于此題

考察學(xué)生的探究活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)，所以閱讀量大、背景新，成為師生最為頭疼的題目。

其實(shí)，縱觀多年來的考題，從考查的視角上還是有規(guī)律的。

-：從探索歸納的角度考查。

設(shè)計(jì)多層次的問題，綜合多元知識，在問題的探索過程中暴漏學(xué)生的思維活動(dòng)過程，從

而進(jìn)行有關(guān)過程性目標(biāo)的考察。

比如.09年中考試題23.如圖13-1至圖13-5,均作無滑動(dòng)滾動(dòng)，。01、。?！?。。3、

。。4均表示G)。與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，00的周長為c.

閱讀理解:

(1)如圖13-1,。。從0。1的位置出發(fā)，沿48滾動(dòng)到

。。2的位置，當(dāng)AB=c時(shí)，。。恰好自轉(zhuǎn)1周.

(2)如圖13-2,N4BC相鄰的補(bǔ)角是〃。,00在

/48C外部沿A-B-C滾動(dòng)，在點(diǎn)B處，必須由

的位置旋轉(zhuǎn)到。。2的位置，Q0繞點(diǎn)B旋

轉(zhuǎn)的角/0￡。2="。，。。在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周.

360

實(shí)踐應(yīng)用：

(I)在閱讀理解的(1)中，若48=2c,則。。自

轉(zhuǎn)周;若48=/，則。O自轉(zhuǎn)周.在

閱讀理解的(2)中，若N48C=120。，則。。

在點(diǎn)8處自轉(zhuǎn)周；若NABC=60°,則。。

在點(diǎn)8處自轉(zhuǎn)周.

(2)如圖13-3,ZABC=90°,AB=BC=-c.。。從

2

。。1的位置出發(fā)，在NABC外部沿A-B-C滾動(dòng)

到。。4的位置，。。自轉(zhuǎn)周.圖13-3

拓展聯(lián)想：

(1)如圖13-4,△ABC的周長為/,。。從與AB相切于點(diǎn)。

的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針方向沿三角形滾

動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，QO自轉(zhuǎn)了多少

周？請說明理由.

(2)如圖13-5,多邊形的周長為/,。。從與某邊相切于

點(diǎn)。的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針方向沿多

邊形滾動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)。的位置，直談寫

出。。自轉(zhuǎn)的周數(shù).

答案：23.解：實(shí)踐應(yīng)用

圖13-5

5

(1)2；(2)

c634

拓展聯(lián)想

在三邊上自轉(zhuǎn)了，周.

(1)?..△ABC的周長為/,

C

又?.?三角形的外角和是360。,

.?.在三個(gè)頂點(diǎn)處，。。自轉(zhuǎn)了儂=1（周）.

360

二。。共自轉(zhuǎn)了（1+1）周.

C

（2）—+1

（06）考題：圖12-1

F

探索在如圖12—1至圖12—3中，ZVIBC的面積為a.\

（1）如圖12—1,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)。，使CD=8C,連結(jié)。A.若

△ACC的面積為多,則S尸________（用含。的代數(shù)式表示）；為

（2）如圖12—2,延長A48C的邊BC到點(diǎn)。，延長邊C4到點(diǎn)E,使/舉區(qū)

C￡）=BC,AE=C4,連結(jié)。E.若△￡）￡（?的面積為S2,則邑=__________B￡cD

（用含。的代數(shù)式表示），并寫出理由；型2—2

（3）在圖12—2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連結(jié)FC,，晶、

FE,得到△￡>￡/（如圖12-3）.若陰影部分的面積為s，，義

則$3=__________（用含a的代數(shù)式表示）.

發(fā)現(xiàn)0■學(xué)°

像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得至fAOE嗒和圖3I2T），

此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△OE尸的面積是原來

△ABC面積的倍.

應(yīng)用

去年在面積為10n?的△A8C空地上栽種了某種花

卉.今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把△4BC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，

第一次由ZXABC擴(kuò)展成△￡>￡5,第二次由△QEF擴(kuò)展成△

MGH（如圖12-4）.求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）

面積共為多少n??

答案：探索（1）a；..........................（1分）

（2）2a；???（2分）

理由：連結(jié)A。，,:CD=BC,AE^CA,

,?SBDAC=SNDAE=^^ABC=a，

.?.$2=2。.........................（4分）

（3）6a：..........................（5分）

發(fā)現(xiàn)7....................................（6分）

應(yīng)用拓展區(qū)域的面積:（72-1）X10=480（n?）......（8分）

解析：這兩題是研究性學(xué)習(xí)問題，處處滲透著化歸、分類、建模等數(shù)學(xué)思想，在問題的設(shè)

計(jì)上層層深入，每一步都為下面的思維活動(dòng)打下基礎(chǔ)，是一個(gè)蘊(yùn)涵了讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜

測、合情推理、有條理論證的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，因而在一定程度上體現(xiàn)了對過程性目標(biāo)的考

查。這類問題的功能在于考查學(xué)生通過歸納發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的能力，而不在于利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)

律解決復(fù)雜的問題。

二：從方法遷移的角度考查。

在試題中根據(jù)已建立的數(shù)學(xué)模型，逐步給出解決問題的思路與方法，讓學(xué)生在閱讀理

解的前提下獲得方法的遷移，進(jìn)而考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。比如04年和08

年的考題。（04）操作與探究

22.（本小題滿分8分）我們知道：山于圓是中心對稱圖形，所以過圓心的任何一條直

線都可以將圓分割成面積相等的兩部分（如圖11-1）.

探索下列問題：

（1）在圖12—1給出的四個(gè)正方形中，各畫出一

冬I11—1

條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方

向的直線、與水平方向成45°角的直線和

任意的直線），將每個(gè)正方形都分割成面積

相等的兩部分；圖12—1

（2）一條豎直方向的直線機(jī)以及任意的直線〃，

在由左向右平移的過程中，將正六邊形分成

左右兩部分，其面積分別記為和S2.

①請你在圖12-2中相應(yīng)圖形下方的橫線上

圖12—2

分別填寫與與S2的數(shù)量關(guān)系式（用"<"，

“=”，">”連接）；

②請你在圖12—3中分別畫出反映Si與$2

三種大小關(guān)系的直線〃，并在相應(yīng)圖形下

方的橫線上分別填寫Si與S2的數(shù)量關(guān)系

圖12—3

式（用連接）.

(3)是否存在一條直線，將一個(gè)任意的平面圖

形（如圖12-4）分割成面積相等的兩部

分，請簡略說出理由.

22.(1)圖12—4

(2)①51<5251=$2$>S22分

②

SRS?6分

(3)存在.

對于任意一條直線/，在直線/從平面圖形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過程中，當(dāng)圖

形被直線/分割后，設(shè)直線/兩側(cè)圖形的面積分別為S”S2.兩側(cè)圖形的面積由&Va

（或$>S2）的情形，逐漸變?yōu)?>S2（或&<叢）的情形，在這個(gè)平移過程中，一定

會(huì)存在&=52的時(shí)刻.因此，一定存在一條直線，將一個(gè)任意平面圖形分割成面積相等

的兩部分.......................................................8分

解析：本題以范例的形式給出，并在解答問題的過程中暗示解決問題的思路,

要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行方法的遷移應(yīng)用，在以活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)與知識解決

新的問題?！敖鉀Q問題”的前提是對前一環(huán)節(jié)的歸納概括，把握問題的實(shí)質(zhì)，考察

了學(xué)生高效地習(xí)得新知并運(yùn)用它解決問題的能力。解決這類問題?般用類比和轉(zhuǎn)化

的思想方法。

再看08中考（本小題滿分10分）

在一平直河岸/同側(cè)有48兩個(gè)村莊，48至心的距離分別是3km和2km,4B=akm

（a>1）.現(xiàn)計(jì)劃在河岸/上建一抽水站產(chǎn)，用輸水管向兩個(gè)村莊供水.

方案設(shè)計(jì)

某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖13-1是方案?的示意圖，設(shè)該方案中管道

長度為4,且4=PB+B4（km）（其中8尸人/于點(diǎn)尸）；圖13-2是方案二的示意圖，設(shè)

該方案中管道長度為a，且4=%+PB（km）（其中點(diǎn)AC與點(diǎn)A關(guān)于/對稱，A目與I

交于點(diǎn)尸）.

觀察計(jì)算

（1）在方案?中，4=km（用含a的式子表本）;

（2）在方案二中，組長小宇為了計(jì)算4的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇

同學(xué)的思路計(jì)算，d2=km（用含a的式子表示）.

探索歸納

（1）①當(dāng)。=4時(shí)，比較大?。?d2（填“>”、"=”或"V"）；

（填“>”、“=”或“<”）；

②當(dāng)。=6時(shí)，比較大小：4d2

（2）請你參考右邊方框中的方法指導(dǎo)，方法指導(dǎo)

就a（當(dāng)a>1時(shí)）的所有取值情況進(jìn)當(dāng)不易直接比較兩個(gè)正數(shù)相與〃的大小時(shí)，

行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，可以對它們的平方進(jìn)行比較：

nr-n2=（m+n）（m-n）,tn+n>0,

應(yīng)選擇方案一還是方案二？

\（/M2-1）與。"-〃）的符號相同.

答案：觀察計(jì)算

23.當(dāng)ii4加”2_“2>、0八口時(shí)d，…⑺、八日n

tn-n>09即機(jī)An

（1）a+2：當(dāng)加2-=0時(shí)，m-〃=0,BPm=n

當(dāng)m2一/v0時(shí)，

（2）V?2+24.m-〃v0,即m<n

探索歸納

⑴①<；②〉；

(2)d；-片=(a+2/-(J>+24『=而_20.

①當(dāng)4a-20>0,即a>5時(shí)，d；-d；>0,\dt-J2>0.\&>4；

②當(dāng)4a-20=0,即a=5時(shí)，d；=0,\J,-J2=0.\《=4；

③當(dāng)4a-20<0,即。<5時(shí),d；-d；<0,\d「d2<0.\dx<d2.

綜上可知：當(dāng)。>5時(shí)，選方案二;

當(dāng)a=5時(shí)，選方案一或方案二；

當(dāng)l<a<5（缺a>1不扣分）時(shí)，選方案一.

這道題要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行計(jì)算，自己學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)類比遷移進(jìn)行應(yīng)用，

很好的考查學(xué)生是否學(xué)會(huì)了“模仿”指導(dǎo)中的方法，是否具備分析應(yīng)用的能力。也就是這兩

道題題目無論是題的作圖還是二題的計(jì)算題目中都告訴了你方法看你怎樣去遷移方法。

三：從動(dòng)手操作的角度考查。

要求學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)過程自主的發(fā)現(xiàn)有關(guān)規(guī)律，得到相關(guān)猜想，加以尋找解

釋并進(jìn)行應(yīng)用；也可以要求學(xué)生利用有關(guān)知識解決一些具體的問題，當(dāng)然在具體的方案的設(shè)

計(jì)中可能需要學(xué)生經(jīng)歷一定的實(shí)驗(yàn)、操作等活動(dòng)過程。

（07）23.（本小題滿分10分）

在圖14-1—14-5中，正方形A8CD的邊長為a,等腰直角三角形R1E的斜邊AE=2b,

且邊A。和AE在同一直線上.

操作示例

當(dāng)2/7<a時(shí)，如圖14-1,在BA上選取點(diǎn)G,使BG=b,連結(jié)/G和CG,裁掉△*G

和ACGB并分別拼接到△「￡1，和△CH。的位置構(gòu)成四邊形FGCH.

思考發(fā)現(xiàn)

小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△用G繞點(diǎn)F逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。到△尸EH的位置，易知E”與4。在同一直線上.連結(jié)C”，

由剪拼方法可得。〃=BG,故之ZXCG8,從而又可將aCGB繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△C”。的位置.這樣，對于剪拼得到的四邊

形FGCH（如圖14-1）,過點(diǎn)F作FM1AE于點(diǎn)M（圖略）,利用SAS

公理可判斷△HFMg/XC，。，易得FH=HC=GC=FG,NFHC謝。.進(jìn)

而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形.

實(shí)踐探究

（1）正方形FGC”的面積是；（用含a,6的式子表示）

（2）類比圖14-1的剪拼方法，請你就圖14-2—圖14-4的三種情形分別畫出剪拼成一

個(gè)新正方形的示意圖.

(2b=a)Ca<2b<2a)(b=a)

圖14-2圖14-3

聯(lián)想拓展

小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)bWa時(shí)，此類圖形都能剪

拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著人

的增大不斷上移.

當(dāng)匕〉a時(shí)，如圖14-5的圖形能否剪拼成一個(gè)正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的

示意圖；若不能，簡要說明理由.

答案:23.實(shí)踐探究⑴a2+b\（2分）

剪拼方法如圖6（圖中BG=O”=h）.........................（10分）

（注：圖6用其它剪拼方法能拼接成面積為J+戶的正方形均給分）

（05年）操作示例

對于邊長為a的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH,按圖11—1所示的方式擺放，在沿虛線

BD,EG剪開后，可以按圖中所示的移動(dòng)方式拼接為

圖11一1中的四邊形BNED。

從拼接的過程容易得到結(jié)論：

①四邊形BNED是正方形；

②S"?:〃脛ABCD+S,E方修EFGH=S￡方修BNED。

實(shí)踐與探究

（1）對于邊長分別為a,b（a>b）的兩個(gè)正方

形ABCD和EFGH,按圖11—2所示的方式擺放，連

接DE,過點(diǎn)D作DMLDE,交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M

作MN_LDM,過點(diǎn)E作EN_LDE,MN與EN相交于圖11-1

點(diǎn)N。

①證明四邊形MNED是正方形，并用含a,b的A________D

代數(shù)式表示正方形MNED的面積；J/'G——iF

②在圖11-2中，將正方形ABCD和正方形EFGHM<

、

沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED,請簡略說B丁CW'E

X/

明你的拼接方法（類比圖用數(shù)字表示對應(yīng)的、/

11-L\,

圖形）。

N

（2）對于n（n是大于2的自然數(shù)）個(gè)任意的正圖11-2

方形，能否通過若干次拼接，將其拼接成為一個(gè)正方

形？請簡要說明你的理山。

答案：解：（1）①證明：由作圖的過程可知四邊形MNED

是矩形。A________J)

在RtAADM與RtACDE中，6,，，GLF

VAD=CD,又NADM+NMDC=NCDE+NMDC=M

2\P

90°,B