高一平面向量素質(zhì)能力提高競(jìng)賽綜合測(cè)試

高一平面向量素質(zhì)能力提高競(jìng)賽綜合測(cè)試第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知的外接圓半徑為1，圓心為點(diǎn)，且，則的面積為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由變形可得,即,所以,由變形可得,故,所以,同理可得:,所以,選D.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用．及,不厭其煩的運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行了三次兩邊平方,再運(yùn)用余弦定理將三邊分別算出來,最后再借助三角形的面積公式求出其面積.值得提出的是本題的難點(diǎn)是如何探尋到解決問題的思路,很難將面積問題與一個(gè)不相干的向量等式進(jìn)行聯(lián)系,在這里兩邊平方是解決本題的突破口.2．半圓的直徑AB＝4,O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A．2 B．0 C． D．【答案】D【詳解】為的中點(diǎn)，，從而則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值是，故選D.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查平面向量的幾何運(yùn)算以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.3．已知平面向量，，滿足⊥，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可得點(diǎn)C的軌跡，然后根據(jù)三角形相似將轉(zhuǎn)為求線段和最短，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】設(shè)，，則，，即C在以為圓心，2為半徑的圓上，如圖，取，則，又，所以有～，所以，又因?yàn)?，，所以．故選：B.4．已知為單位向量，，，當(dāng)取到最大值時(shí)，等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運(yùn)算，由米勒最大角定理分析運(yùn)算可得結(jié)果，或者直接建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)結(jié)合基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意：與共線，點(diǎn)位于的等分點(diǎn)處(靠近點(diǎn))解法一：欲使最大，根據(jù)“米勒最大角定理”，此時(shí)以為弦圓與相切，根據(jù)切割弦定理：,故.解法二：設(shè)，則，有=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故選:A5．已知集合且且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，定義：，若，則“存在使”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由存在使得，根據(jù)絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)有：，同理對(duì)縱坐標(biāo)也如此運(yùn)算可證得充分性成立；必要性可舉例說明不成立.【詳解】充分性：若存在，使，即，則，故.故充分性成立；必要性：取，則，則，但是，所以，則不共線，所以必要性不成立.故選：A.6．在平面內(nèi)，定點(diǎn)滿足，，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到為正三角形，且為的中心，結(jié)合題設(shè)條件求得，得到為邊長(zhǎng)為的正三角形，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，得到，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】由題意知，即點(diǎn)到三點(diǎn)的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因?yàn)?，解得，所以為邊長(zhǎng)為的正三角形，如圖所示，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，可得設(shè)，其中，又因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，可得，所以.即的最大值為.故選：B.7．如圖，在等腰中，已知，，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，其中，，且，若線段EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合圖形中線段對(duì)應(yīng)向量的線性關(guān)系，可得，又，，可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值.【詳解】在等腰中，已知?jiǎng)t，因?yàn)榉謩e是邊的點(diǎn)，所以，而，左右兩邊平方得，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，即的最小值為.故選：B.8．已知，，．若，則的最小值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，畫出圖形，確定點(diǎn)C的位置，再利用向量模的幾何意義，借助對(duì)稱思想求解作答.【詳解】令，依題意，，而，則，因，則有點(diǎn)C在半徑為1，所含圓心角為的扇形的弧上，如圖，因，則表示直線上的點(diǎn)Q與直線上的點(diǎn)P間距離，、分別是點(diǎn)C到點(diǎn)Q，P的距離，因此，表示三點(diǎn)Q，P，C兩兩距離的和，作點(diǎn)C關(guān)于直線OA對(duì)稱點(diǎn)N，關(guān)于直線OB對(duì)稱點(diǎn)M，連MN交OA，OB分別于點(diǎn)F，E，連FC，EC，ON，OM，則有，令，則，，于是得，而，由余弦定理得，因此，，對(duì)于直線上任意點(diǎn)Q、直線上任意點(diǎn)P，連接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，則，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與F重合且點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)取“=”，從而得，所以的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知幾個(gè)向量的模，探求向量問題，可以借助向量的幾何意義，作出符合要求的圖形，數(shù)形結(jié)合求解作答.二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則【答案】ACD【分析】對(duì)A，由奔馳定理即可判斷；對(duì)B，由面積公式求出，結(jié)合奔馳定理即可求；對(duì)C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；對(duì)D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求【詳解】對(duì)A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對(duì)；對(duì)B，，由得，故，B錯(cuò)；對(duì)C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對(duì)；對(duì)D，若O為△ABC的垂心，則，，又，同理，∴，∵，則，且如圖，分別為垂足，設(shè)，，則，又，故，由，解得，由，故，D對(duì)故選：ACD10．已知等腰中，，且，若，則（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BC【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示可得，然后利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律結(jié)合條件可得，然后利用三角代換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)榈妊?，，所以，又，，∴，又，∴，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，令，則，故B正確；所以，所以，(其中)當(dāng)時(shí)，有最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知向量滿足．設(shè)，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．無最大值【答案】BD【分析】先由已知可求得，然后建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)，再由得，設(shè)，則點(diǎn)M在直線OB上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖形可得答案【詳解】因?yàn)?，所以．又，所以，解得，因?yàn)?，所以建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，即圓心為，半徑為2的圓，設(shè)，則點(diǎn)M在直線OB上運(yùn)動(dòng)，則，令點(diǎn)到直線的距離為，則無最大值，故選：BD12．已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，（其中）.（

）A．當(dāng)時(shí)，直線過邊的中點(diǎn)；B．若，且，則；C．若時(shí)，與的面積之比為；D．若，且，則滿足.【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量數(shù)乘的含義可判斷A;對(duì)于B，由條件可判斷為等邊三角形，利用數(shù)量積的定義即可求得的值；對(duì)于C，利用作圖，結(jié)合向量加減法的幾何意義，可判斷與的面積之比；對(duì)于D,由得，，平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可推得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則當(dāng)時(shí)，有,即得O,C,D三點(diǎn)共線，故直線過邊的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由于且時(shí)，，故O為的外心和重心，故為等邊三角形，則,由可得，故，故B正確；對(duì)于C，延長(zhǎng)OA至,使,延長(zhǎng)OB至,使,連接,設(shè)其中點(diǎn)為E,連接OE并延長(zhǎng)至，使,連接,則四邊形是平行四邊形，所以，而時(shí)，，故,即三點(diǎn)共線，且，根據(jù)同底等高三角形面積相等，則,即與的面積之比為,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，且，由得，，所?即，故D正確，故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為______．【答案】-1【分析】先根據(jù)向量模長(zhǎng)相關(guān)不等式得到，解出，設(shè)，，夾角為，將兩邊平方，得到，結(jié)合，求出，得到答案.【詳解】，故，因?yàn)椋?，又，所以，解得：，不妨設(shè)，，夾角為，則，兩邊平方得：，即，解得：，因?yàn)?，所以，故，夾角的余弦的最小值為-1.故答案為：-114．是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，已知是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若，，且，則的最大值等于________．【答案】##【分析】在平面直角坐標(biāo)系中作出軌跡，作矩形，可知，根據(jù)向量線性運(yùn)算和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可證得，由此可得點(diǎn)軌跡，利用圓上點(diǎn)到圓內(nèi)定點(diǎn)距離最大值的求法可確定，由此可得結(jié)果.【詳解】，，，，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓；點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，作矩形，其中與交于點(diǎn)，如下圖所示，四邊形為矩形，；，；又，，又，，點(diǎn)軌跡是以為原點(diǎn)，為半徑的圓，，又，.故答案為：.15．在中，為鈍角，M，N是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若的最小值為，則_____________．【答案】##【分析】先利用向量數(shù)量積和的最小值為得到的正弦值和余弦值及的正弦值和余弦值，再依據(jù)兩角和的余弦公式即可求得的值【詳解】取線段的中點(diǎn)P，連接，過C作于O，如圖，則，依題意，，因的最小值為，則的最小值為1，因此，在中，，在中，，，．故答案為：16．設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的最小值為_________.【答案】24【分析】通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法、點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】如圖，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題可知，，所以，，，設(shè)，則，，，所以，當(dāng)時(shí)，取到等號(hào).故答案為：24.四、解答題:本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的最小值．【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求得答案;(2)當(dāng)時(shí)，利用向量的線性運(yùn)算可推得對(duì)任意正整數(shù)，且，有,由此可得,結(jié)合向量的坐標(biāo)以及模的計(jì)算,可得答案;(3)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得的表達(dá)式,設(shè),分類討論的取值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，,.（2）當(dāng)時(shí),,故對(duì)任意正整數(shù)，且，有，,所以,而,故,所以當(dāng)時(shí)，,即當(dāng)時(shí)，求.（3）當(dāng)時(shí)，,,,,故，設(shè),當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，上式有最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)，上式有最小值,綜上的最小值是.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的線性運(yùn)算以及向量模的最值問題，難點(diǎn)在于第三問的最小值問題，解答時(shí)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得其表達(dá)式，由于表達(dá)式含有兩個(gè)變量，因此要轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，即確定取某個(gè)值時(shí)取得最小值，再結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求解即可.18．如圖，梯形，，，，為中點(diǎn)，．(1)當(dāng)時(shí)，用向量表示的向量；(2)若為大于零的常數(shù)），求的最小值，并指出相應(yīng)的實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)；【分析】（1）結(jié)合圖形，先證得四邊形是平行四邊形，從而利用向量的線性運(yùn)算即可得解.（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求模得到關(guān)于的二次表達(dá)式，從而可求得的最小值及相應(yīng)的值.【詳解】（1）過作交于，如圖，因?yàn)?，所以，，則四邊形是平行四邊形，故，即是的中點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以．.（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最小值．所以的最小值為，此時(shí)．19．已知向量，其中，，，，其分量之間滿足遞推關(guān)系，，，.(1)當(dāng)時(shí)，直接寫出向量；(2)證明：不存在，使得中；(3)證明：存在，當(dāng)時(shí)，向量滿足.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析【分析】（1）利用并結(jié)合題意寫出，，，，，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得到答案；（2）假設(shè)存在，使得中，通過推導(dǎo)可得到，能得到，以此類推能得到，與題意矛盾，故可證；（3）設(shè)三個(gè)數(shù)中最大的為，能得到，因?yàn)?，故存在，使得，結(jié)合題目中的定義可得中三個(gè)數(shù)中必有0，故可證【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)題意可得，，，，，觀察到，所以從開始，周期為3，所以；（2）假設(shè)存在，使得中，設(shè)，所以，，，不妨設(shè)，則由，，，由可得，解得，即，以此類推，可得，，，這與，，是兩兩不相等的正整數(shù)矛盾，故假設(shè)不成立，所以不存在，使得中；（3）設(shè)三個(gè)數(shù)中最大的為，記作，因?yàn)?，，，，所以，，若單調(diào)遞減，由可得存在，使得，由（2）的證明可得，這與題設(shè)矛盾，所以不可能單調(diào)遞減，即存在，使得，根據(jù)的定義，可得中三個(gè)數(shù)中必有0，假設(shè)三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)為0，顯然，不妨設(shè)，則，，即，這與矛盾，舍去；假設(shè)三個(gè)數(shù)中有三個(gè)為0，顯然，通過（2）已經(jīng)證明不成立；故三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)數(shù)為0，不妨設(shè)，則，設(shè)，所以，即，，故，則，，所以存在，當(dāng)時(shí)，向量滿足【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查平面向量中的新定義，解題的關(guān)鍵在于理解題中運(yùn)算的含義,在第（3）問中討論三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)為0或三個(gè)為0的情況并不滿足題意，故三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)數(shù)為020．設(shè)A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，△ABC的外心為O，內(nèi)心為I．(1)如圖1，若，．①試用，表示；②求的值．(2)如圖2，時(shí)，與共線．①求證：；②求的值．【答案】(1)①；②(2)①見解析；②1【分析】（1）①由已知可得△ABC的外心O為的中點(diǎn)，且為的角平分線，利用等面積法求得內(nèi)切圓的半徑為，從而可求得，從而可得答案；②將用表示，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解；（2）①如圖，設(shè)的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為，，記中點(diǎn)為，于，結(jié)合條件可得，即可得證；②由①得，則，再根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得出答案.（1）解：①因?yàn)?，，所以△ABC的外心O為的中點(diǎn)，且為的角平分線，，故，，，因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)心為I，所以點(diǎn)在上，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，即，所以，所以，即，所以；②由①得，，故；（2）①證明：如圖，設(shè)的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為，，記中點(diǎn)為，于，由與共線，知，又，，，，則，所以；②解：由①得，所以，即，即所以．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算以及線性運(yùn)算，三角恒等變換的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象，屬于難題．21．是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)四等分線段（如圖所示