生物統(tǒng)計學-單因素方差分析

章單因素方差分析One-factorAnalysisofVariance（ANOVA)2021/5/91為研究鈣離子對體重的影響作用，某研究者將36只肥胖模型大白鼠隨機等分為3組，每組12只，分別給予常規(guī)劑量鈣（0.5%）、中等劑量鈣和高劑量鈣（1.5%）3種不同的飼料，喂養(yǎng)9周，測其喂養(yǎng)前后體重的差值（表7.1）問3種不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變是否相同？表7.13種不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重喂養(yǎng)前后差值學過的統(tǒng)計學知識進行檢驗?常規(guī)劑量鈣(0.5%)中劑量鈣(1.0%)高劑量鈣(1.5%)332.96253.21232.55297.64235.87217.71312.57269.3216.15295.47258.9220.72284.25254.39219.46307.97200.87247.47292.12227.79280.75244.61237.05196.01261.46216.85208.24286.46238.03198.41322.49238.19240.35282.42243.49219.562021/5/92單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)

重復次數(shù)

Y1Y2Y3…Yi…Ya(level)1y11y21y31yi1y.12y12y22y32yi2y.23y13y23y33yi3y.3..jy1jy2jy3jyijy.j..ny1ny2ny3nyiny.n平均數(shù)Y1.Y2.Y3.…Yi.…Y..因素也稱為處理(treatment)因素（factor），每一處理因素至少有兩個水平(level)（也稱“處理組”，a個處理組）,各重復n次。一.方差分析基礎2021/5/93第一類錯誤的概率增大a=0.05(犯第一類錯誤的概率，假陽性）1-a=0.95（不犯第一類錯誤的概率）檢驗3次，不犯第一類錯誤的概率為：0.953=0.857375犯第一類錯誤的概率為：1-0.857375=0.142625

統(tǒng)計資料的浪費，檢驗準確性的降低2021/5/94AnalysisofVariance(ANOVA)由英國統(tǒng)計學家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗（Ftest）。用于推斷多個總體均數(shù)有無差異方差分析基礎2021/5/95一.方差分析的基礎二.完全隨機設計的單因素方差分析三.多個樣本均數(shù)間的多重比較四.方差分析的假定條件2021/5/96單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)

重復次數(shù)

Y1Y2Y3…Yi…Ya(level)1y11y21y31yi1y.12y12y22y32yi2y.23y13y23y33yi3y.3..jy1jy2jy3jyijy.j..ny1ny2ny3nyiny.n平均數(shù)Y1.Y2.Y3.…Yi.…Y..因素也稱為處理(treatment)因素（factor），每一處理因素至少有兩個水平(level)（也稱“處理組”，a個處理組）,各重復n次。一.方差分析基礎2021/5/971.方差分析的基本思想所有測量值上的總變異按照其變異的來源分解為多個部份，然后進行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計學意義。2021/5/981.離均差=（x-）2.離均差之和=∑（x-）=03.離均差平方和SS=∑（x-）2雖然離均差（deviationfromaverage)

可以衡量變異程度，但是離均差之和為0，所以不是理想的指標為了合理地計算平均差異，用平方和的辦法來消除離均差的正負號，離均差平方相加，得到平方和（SS），但是由于不同樣本的觀察值個數(shù)不同，所以離均差平方和也不是理想指標將離均差平方和求平均數(shù)，稱為樣本方差(均方差meandeviation,MD)，目的是消除觀察值個數(shù)的影響樣本均方開方，目的是使變異還原，即標準差（

StandardDeviation）。2021/5/991.方差分析的基本思想所有測量值上的總變異按照其變異的來源分解為多個部份，然后進行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計學意義。一.方差分析基礎總變異（Totalvariation,SS總）：全部測量值Yij與總均數(shù)

間的差異

組間變異（betweengroupvariation,SS組間）：各組的均數(shù)與總均數(shù)間的差異組內變異（withingroupvariation,SS組內)：每組的每個測量值Yij與該組均數(shù)的差異2021/5/9103.三種“變異”的計算

總變異（totalvariation):所有測量值之間總的變異程度

包含了：處理效應和隨機誤差

組間變異（variationbetweengroups):各組均數(shù)Yi的變異程度

包含了：處理效應和隨機誤差

2021/5/911

組內變異（variationwithingroups):

各組均數(shù)Yij與其所在組的均數(shù)的變異程度

包含了：隨機誤差

2021/5/912離均差平方和的分解組間變異總變異組內變異2.三種“變異”之間的關系離均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)SS總=SS組間+SS組內V總=V組間+V組內檢驗樣本平均數(shù)之間的變異（方差）的大小2021/5/913One-FactorANOVA

PartitionsofTotalVariationVariationDuetoTreatmentSSBVariationDuetoRandomSamplingSSWTotalVariationSSTCommonlyreferredtoas:SumofSquaresWithin,orSumofSquaresError,orWithinGroupsVariationCommonlyreferredtoas:SumofSquaresAmong,orSumofSquaresBetween,orSumofSquaresModel,orAmongGroupsVariation=+2021/5/914均方差，均方(meansquare，MS)變異程度除與離均差平方和的大小有關外，還與其自由度有關，由于各部分自由度不相等，因此各部分離均差平方和不能直接比較，須將各部分離均差平方和除以相應自由度，其比值稱為均方差，簡稱均方。

F值與F分布

如果各組樣本的總體均數(shù)相等（H0），即各處理組的樣本來自相同總體，無處理因素的作用，則組間變異同組內變異一樣，只反映隨機誤差作用的大小。組間均方與組內均方的比值稱為F統(tǒng)計量

F值接近于l，就沒有理由拒絕H0；反之，F(xiàn)值越大，拒絕H0的理由越充分。2021/5/915F分布曲線數(shù)理統(tǒng)計的理論證明，當H0成立時，F(xiàn)統(tǒng)計量服從F分布2021/5/916二.完全隨機設計的單因素方差分析為研究鈣離子對體重的影響作用，某研究者將36只肥胖模型大白鼠隨機等分為3組，每組12只，分別給予常規(guī)劑量鈣（0.5%）、中等劑量鈣和高劑量鈣（1.5%）3種不同的高脂飼料，喂養(yǎng)9周，測其喂養(yǎng)前后體重的差值（表7.1）問3種不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變是否相同？體重：觀測變量單因素（onefactor):不同劑量的鈣(控制變量）水平（level）：3個，高中低完全隨機涉及：36只肥胖模型大白鼠隨機等分為3組2021/5/917常規(guī)劑量鈣(0.5%)中劑量鈣(1.0%)高劑量鈣(1.5%)332.96253.21232.55297.64235.87217.71312.57269.3216.15295.47258.9220.72284.25254.39219.46307.97200.87247.47292.12227.79280.75244.61237.05196.01261.46216.85208.24286.46238.03198.41322.49238.19240.35282.42243.49219.56平均數(shù)293.37239.50224.78252.552021/5/918方差分析的基本步驟解:1.H0:3組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平相同建立假設檢驗確定檢驗水準H1:3組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平不全相同a=0.052021/5/9192021/5/920方差分析的基本步驟解:1.H0:3組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平相同3.根據(jù)v1=v組間=2，v2=v組內=33，在附表中無v=33,在保守的原則下取不大于33且接近于33的數(shù)值，30，得F0.05(2,32)=3.316,F0.01（2,32）=5.390，由F=31.36知P<0.01,按照P<0.05水準，拒絕H0,差異具有統(tǒng)計學意義，可以認為3組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平不全相同。建立假設檢驗確定檢驗水準計算檢驗統(tǒng)計量確定P值作出推斷H1:3組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平不全相同a=0.052.方差分析表2021/5/921三.平均值之間的多重比較不拒絕H0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足分析終止拒絕H0，接受H1,表示總體均數(shù)不全相等哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩兩均數(shù)之間不等？

需要進一步作多重比較。2021/5/922

H0:μi=

μjH1:μi≠

μj事先指定的兩個組(i,j)進行比較：一類錯誤的概率為：比較性錯誤率（comparison-wiseerrorrate,CER)任意兩組之間的比較：一類錯誤的概率為：試驗性錯誤率(Experiment-wiseerrorrate,EER)避免應用t檢驗反復進行比較避免沒有任何生物學意義的反復比較2021/5/9231.LSD-ttest(leastsignificantdifference)法聯(lián)合估計的方差，用MSE代替(所有組聯(lián)合估計，比兩個組的數(shù)據(jù)聯(lián)合估計更好）MSE的自由度，臨界值：t0.05,N-a

適用于：事先指定的兩個組進行比較2021/5/924應用解：1.建立假設檢驗，確定檢驗水準H0：μA=μB,即兩對比組總體均數(shù)相等H1：μA≠μB,即兩對比組總體均數(shù)不等α=0.052.計算檢驗統(tǒng)計量3.確定P值，作出判斷按照α=0.05水準，組次1與2比較，拒絕H0,差別有統(tǒng)計學意義，喂養(yǎng)中等劑量鈣9周后體重不同。2021/5/925應用解：1.建立假設檢驗，確定檢驗水準H0：μA=μB,即兩對比組總體均數(shù)相等H1：μA≠μB,即兩對比組總體均數(shù)不等α=0.052.計算檢驗統(tǒng)計量3.確定P值，作出判斷按照α=0.05水準，組次1與3比較，拒絕H0,差別有統(tǒng)計學意義，喂養(yǎng)高等劑量鈣9周后體重不同。2021/5/9262.

SNK(student-Newman-Keuls)SNKqtest根據(jù)q值的抽樣分布作出統(tǒng)計推論。1．將各組的平均值按由大到小的順序排列：順序 (1) (2) (3)

平均值 YB YC YA

原組號 B C A 2.計算兩個平均值之間的差值及組間跨度a3.計算統(tǒng)計量q值4.根據(jù)計算的q值及查附表得到的q界值，作出統(tǒng)計推斷。2021/5/927應用解：1.建立假設檢驗，確定檢驗水準H0：μA=μB,即兩對比組總體均數(shù)相等H0：μA≠μB,即兩對比組總體均數(shù)不等a=0.052.計算檢驗統(tǒng)計量首先將三個樣本均數(shù)由大到小排列，并編組次3.確定P值，作出判斷按照a=0.05水準，組次1與2、1與3比較均拒絕H0,差別有統(tǒng)計學意義，喂養(yǎng)9周后體重差值不同。組次2與3不拒絕H0,差別無統(tǒng)計學意義，喂養(yǎng)9周后體重差值相同。2021/5/9282021/5/929<<<<<2021/5/9302.其他方法：Bonferroni法，Dunnett法等(了解，自學）

Bonferroni方法采用α＝α’/c作為下結論時所采用的檢驗水準。c為兩兩比較次數(shù)，α'為累積I類錯誤的概率。適用性當比較次數(shù)不多時，Bonferroni法的效果較好。但當比較次數(shù)較多(例如在10次以上)時，則由于其檢驗水準選擇得過低，結論偏于保守，犯假陽性幾率低。2021/5/931應用解：1.建立假設檢驗，確定檢驗水準H0：μA=μB,即兩對比組總體均數(shù)相等H0：μA=μB,即兩對比組總體均數(shù)不等α=0.05,α’=0.01672.計算檢驗統(tǒng)計量首先將三個樣本均數(shù)由大到小排列，并編組次3.確定P值，作出判斷按照α=0.05水準，組次1與2、1與3比較均拒絕H0,差別有統(tǒng)計學意義，喂養(yǎng)9周后體重差值不同。組次2與3不拒絕H0,差別無統(tǒng)計學意義，喂養(yǎng)9周后體重差值相同。2021/5/9322021/5/933一般不鼓勵?。。]有預先計劃的任意兩組之間的比較翻來覆去的比較，尋找有意義的結果兩兩比較預先規(guī)定的兩兩比較（LSD）

Posthoc兩兩比較（SNK）兩兩比較的Bonferroni比較

2021/5/934四.方差分析的假定條件1.正態(tài)性:各處理組樣本是相互獨立的隨機樣本,其總體服從正態(tài)分布；（專業(yè)知識)2.方差齊性（Bartlett檢驗法）:相互比較的各處理組樣本的總體方差相等即具有方差齊同（homogeneityofvariance）上述條件與兩均數(shù)比較的t檢驗的應用條件相同。最大方差與最小方差之比大于2.5,考慮方差齊性檢驗2021/5/935Bartlett檢驗法:僅僅適用于正態(tài)分布2021/5/936Lavene檢驗法:

適用于正態(tài)分布和非正態(tài)分布

適用于兩個以及多個樣本

SAS,SPSS統(tǒng)計學軟件的默認方法2021/5/9373.數(shù)據(jù)變換改善數(shù)據(jù)的正態(tài)性或方差齊性。使之滿足方差分析的假定條件平方根反正弦變換——適用于二項分布率（比例）數(shù)據(jù)。2.平方根變換——適用于泊松分布的計數(shù)資料3.對數(shù)變換——適用于對數(shù)正態(tài)分布資料

數(shù)值為負，加上a值，再取對數(shù)）2021/5/93818例已型腦炎患者隨機分成3組,分別接受A,B,C三種不同的處理，記錄發(fā)熱的天數(shù)，問三種處理的平均效應是否相同處理潛伏期方差均值A4520151857.3