力法典型方程

力法典型方程.17.3力法典型方程17.3力法典型方程前面用一次超靜定結(jié)構(gòu)說(shuō)明了力法計(jì)算的基本原理，現(xiàn)在以一個(gè)三次超靜定結(jié)構(gòu)為例進(jìn)一步說(shuō)明力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本原理和力法的典型方程。如圖所示為一個(gè)三次超靜定剛架,去掉固定端支座B處的多余約束,用多余未知力

X1、X2

、X3代替,得到如圖所示的基本結(jié)構(gòu)（懸臂剛架）。17.3力法典型方程由于原結(jié)構(gòu)B處為固定端支座，其線位移和角位移都為零。所以，基本結(jié)構(gòu)在原荷載q及多余未知力X1、X2

、X3共同作用下，B點(diǎn)沿X1、X2

、X3方向的位移都等于零，即基本結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的位移條件為：1=0

2

=03

=017.3力法典型方程為了分析方便，分別考慮將原荷載q及多余未知力X1、X2

、X3單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)上,相應(yīng)的變形情況,如圖所示。17.3力法典型方程根據(jù)疊加原理，有1=11+12+13+1F=0

2

=21

+22

+23

+2F

=0

（a）

3

=31

+32

+33

+3F

=0式（a）中：11、12、13、1F——分別表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力X1作用點(diǎn)沿著X1作用方向由于多余未知力X1、X2

、X3及原荷載單獨(dú)作用所引起的位移。；21、22、23、2F；31、32、33、3F的意義同前。上面位移符號(hào)的第一個(gè)腳標(biāo)表示位移發(fā)生的地點(diǎn)與方向，第二個(gè)腳標(biāo)表示位移產(chǎn)生的原因。上面所有的位移，規(guī)定與各未知力方向一致為正。17.3力法典型方程再令、和各自單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上，引起基本結(jié)構(gòu)相應(yīng)的變形分別如圖所示。根據(jù)疊加原理（胡克定理），有ij

=

ijXj。17.3力法典型方程將ij

=

ijXj代入上面的（a）式，可得：

11X1+

12X2+

13X3+1F=0

21X1+

22X2+

23X3+2F

=0

31X1+

32X2+

33X3+3F

=0式（17－2）稱為力法典型方程，方程中的符號(hào)意義為：11、12、13—分別表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力X1作用點(diǎn)沿著X1作用方向在多余未知力、和單獨(dú)作用下所引起的位移。17.3力法典型方程21、22、23——分別表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力X2作用點(diǎn)沿著X2作用的方向由于多余未知力、和各自單獨(dú)作用所引起的位移；31、32、33——分別表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力X3作用點(diǎn)沿著X3作用的方向由于多余未知力、和各自單獨(dú)作用所引起的位移。上面所有的位移，仍然規(guī)定與各未知力方向一致為正。【思考】熟練掌握

ij命名的規(guī)律。17.3力法典型方程對(duì)于有n個(gè)多余約束的n次超靜定結(jié)構(gòu)，力法的基本未知力是n個(gè)多余未知力X1，X2，…，Xn，力法方程是在n個(gè)多余約束處的n個(gè)位移條件——基本結(jié)構(gòu)中沿多余未知力方向的位移與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。根據(jù)疊加原理，n個(gè)變形條件可改寫(xiě)為

11X1+

12X2+…+

1iXi+…+

1nXn

+1F=0

21X1+

22X2+…+

2iXi

+…+

2nXn+2F

=0

i1X1+

i2X2+…+

iiXi+…+

inXn+iF

=0

n1X1+

n2X2+…+

niXi+…+

nnXn+nF

=0

這就是n次超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下力法方程的一般形式，稱力法一般方程。17.3力法典型方程在式（17-3）中：δii—稱為主系數(shù),表示基本結(jié)構(gòu)由單位力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的沿Xi方向的位移，恒為正；δij（i≠j）——稱為副系數(shù),表示基本結(jié)構(gòu)由單位力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的沿Xi方向的位移,可能是正值或負(fù)值,也可能為零；

iF——自由項(xiàng),表示基本結(jié)構(gòu)由荷載單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的沿Xi方向的位移，可能是正值或負(fù)值，也可能為零。即位移的第一個(gè)腳標(biāo)表示產(chǎn)生的地點(diǎn)與方向，第二個(gè)腳本表示原因。根據(jù)位移互等定理可知，δij=δji17.3力法典型方程力法典型方程中的各系數(shù)也稱為柔