七年級數(shù)學(xué)軸對稱小結(jié)與復(fù)習(xí)華東師大版知識精講

初一數(shù)學(xué)軸對稱小結(jié)與復(fù)習(xí)華東師大版【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：軸對稱小結(jié)與復(fù)習(xí)二、知識要點1.知識點概要（1）認識軸對稱以及軸對稱圖形的概念，并能判斷圖形是否是軸對稱圖形.（2）掌握軸對稱的性質(zhì)，能夠應(yīng)用它畫對稱軸，畫軸對稱圖形.（3）掌握線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用.（4）掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定以及運用.2.重點難點（1）重點：判斷圖形是否是軸對稱圖形，線段垂直平分線、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用.（2）難點：靈活運用上述性質(zhì)解決問題；軸對稱圖案的設(shè)計.三、考點分析1.知識點梳理2.重要知識點回顧（1）軸對稱和軸對稱圖形既有區(qū)別又有聯(lián)系：區(qū)別：軸對稱圖形是針對一個圖形而言,它是指某一個圖形所具有的對稱性質(zhì),而軸對稱則針對兩個圖形而言,它描述的是兩個圖形的一種位置關(guān)系；軸對稱圖形沿對稱軸對折后,其自身的一部分和另一部分重合,而軸對稱的兩個圖形沿對稱軸對折后,一個圖形與另一個圖形重合.聯(lián)系：當(dāng)我們把軸對稱的兩個圖形看成一個整體時,它就成為一個軸對稱圖形.軸對稱圖形與軸對稱都具有的性質(zhì)：對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等.說明：軸對稱圖形變換的特征是不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位置,變換后的圖形和原圖形在一起組成的新圖案都具有對稱性.（2）軸對稱或軸對稱圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等圖形.②若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，則對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線.③若兩個圖形對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，則這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.④兩個圖形關(guān)于某直線對稱，若它們的對應(yīng)線段或延長線相交，則交點在對稱軸上.⑤兩個對稱點到對稱軸的距離相等.（3）熟悉常見的幾個軸對稱圖形，會畫出它們的對稱軸，并掌握其性質(zhì)①線段：線段是軸對稱圖形，對稱軸是線段中垂線和本身所在直線.線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等.到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.②角：是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在直線.角平分線上的點到角兩邊的距離相等.到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.3.等腰三角形（1）等腰三角形是軸對稱圖形，常用的輔助線有三種：作等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線.（2）若三角形的三線中有兩線重合，則可得到此三角形是等腰三角形.這可作為等腰三角形的一種識別方法.（3）在有關(guān)三角形問題的條件中出現(xiàn)了高、中線或角平分線時，有時可以延長某些線段以構(gòu)造等腰三角形，然后再用“三線合一”性質(zhì)去解題.【典型例題】例1.下列圖案中是軸對稱圖形的有：（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個解析：本題考查軸對稱圖形的識別，判斷一個圖形是否是軸對稱圖形，根據(jù)其概念，看是否可以存在一條直線，使得這個圖形的一部分沿著這條直線折疊，能夠和另一部分互相重合.所以第2個、第3個、第4個都是軸對稱圖形，應(yīng)選C.例2.如圖，△ABC與△A＇B＇C＇關(guān)于直線l對稱，∠A=30°，∠B＇=50°.則∠C的度數(shù)為（）A.30°B.50°C.90°D.100°解析：根據(jù)條件和軸對稱的性質(zhì)知：∠B=∠B＇=50°.因為∠A=30°，所以∠C=180°-∠A-∠B=100°.故選D.例3.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則其頂角為________度.解析：三角形高可能在三角形的外部，也可能在內(nèi)部，注意分類討論.畫出如下兩個圖，即可求得其頂角為30°或150°.例4.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝20cm，BD∶CD＝3∶2，求點D到AB的距離．分析：求點D到AB距離必須先作出垂線段．過點D作DE⊥AB，則DE長即為欲求距離．由于AD為角平分線，則有：DE＝CD.而CD由已知條件可求.解：過點D作DE⊥AB交AB于點E，∵AD為角平分線且∠C＝90°，即DC⊥AC，∴DE＝DC．而，∴DE＝8cm，即點D到AB的距離為8cm．例5．如圖，已知D、E兩點在線段BC上，AB＝AC，AD＝AE．你能判斷線段BD與EC的大小關(guān)系嗎？并簡述理由.（1）（2）分析：由已知，兩個等腰三角形的底在同一直線上，BD與EC都在其底邊上，聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，通過畫輔助線構(gòu)造基本圖形，如圖（2），問題得解.解：BD＝EC.理由：如圖（2），作AF⊥BC于F，由等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合，得BF＝CF，DF＝EF，所以BF-DF＝CF-EF，即：BD＝CE例6.如下圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC＝10cm，求△DCE的周長.分析：題目中出現(xiàn)角平分線與垂直條件，注意由角平分線的性質(zhì)得線段相等.本題要求△DCE的周長，具體的邊長不能求解，要善于運用整體思想.解：∵Rt△ABC，AB＝AC，∴∠C＝45°．又BD平分∠B，DE⊥BC，DA⊥AB，∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∴AB＝BE．∴△DCE周長＝DE＋EC＋CD＝AD＋CD＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10cm.例7.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，求△ABC的周長．分析：△ABC的周長等于線段AB＋BC＋AC，而線段BC＝BD＋CD，因為DE是AC的垂直平分線，則有CD＝AD，所以BC＝BD＋AD，從而求出AB＋BC，于是求得△ABC的周長．解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm．又∵△ABD的周長＝AB＋BD＋AD＝13cm，∴AB＋BD＋CD＝13cm即AB＋BC＝13cm．∴△ABC的周長＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19（cm）．例8.如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ACB的角平分線相交于點O，過點O作OE∥AB，OF∥AC分別交BC于點E、F，若BC＝8cm，試求△OEF的周長.分析：已知條件中出現(xiàn)平行與角平分線即存在等腰三角形.注意這一基本圖形的運用.解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠EBO．又∵OE∥AB，∴∠EOB＝∠ABO，∴∠EBO＝∠EOB，∴EO＝EB.同樣道理可得：FO＝FC，∴△OEF周長是OE＋FF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝8cm例9.如圖，A、B、C三點不在同一條直線上，求作一點O，使OA＝OB＝OC．分析：由于OA＝OB＝OC，則可得OA＝OB，OB＝OC，由垂直平分線的性質(zhì)可知，點O應(yīng)在AB的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點處．解：（1）作出BC的垂直平分線l1；（2）作出AB的垂直平分線l2；l1與l2交于點O．則點O為所求的點．例10.世界上因為有了圓，萬物才顯得富有生機，以下來自現(xiàn)實生活中的圖形都有圓，如圖（1）、（2）、（3），它們看上去多么美麗和諧，這正是因為圓具有軸對稱的性質(zhì)，請你在圖（4）、（5）的兩個圓中，分別畫出與圖（1）、（2）、（3）不重復(fù)的軸對稱圖形，但要盡可能準確美觀．解析：按要求畫出軸對稱圖形,以下供參考.例11.兩個完全一樣的三角形，可以拼出各種不同的圖形．如下圖已畫出其中一個三角形，請你分別補畫出另一個與其一模一樣的三角形，使每個圖形分別構(gòu)成不同的軸對稱圖形（所畫三角形可與原三角形有重疊部分）．解析：按要求畫出與其一模一樣的三角形，并與其構(gòu)成軸對稱圖形,以下供參考.五、本講數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)1.做好重要知識點的梳理.通過復(fù)習(xí)，熟練掌握軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)及軸對稱知識在生活中的應(yīng)用，進一步掌握等腰三角形的性質(zhì)與識別.2.思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，在復(fù)習(xí)時要注意數(shù)學(xué)思想的體會與應(yīng)用.如運用轉(zhuǎn)化思想線段或角進行位置的轉(zhuǎn)移；運用方程思想設(shè)未知數(shù)列方程求解；在計算等腰三角形的角度或邊長時是分類思想的運用等等.【模擬試題】（答題時間：100分鐘）一、填空題（2分×15＝30分）1、線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是___________；角是軸對稱圖形，它的對稱軸是___________.2、成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)___________相等，對應(yīng)___________相等.3、角平分線上的任意一點到這個角的兩邊的___________相等.線段中垂線上的點到___________的距離相等.4、若三角形三個內(nèi)角之比為1∶1∶2，該三角形是___________三角形.5、舉一個有無數(shù)條對稱軸的軸對稱圖形是___________.6、計算器屏幕上顯示0到9這十個數(shù)字中，其中成軸對稱圖形的有___________個.7、有一個角是60°的等腰三角形，腰長為4，則它的周長是___________.8、等腰△ABC中，AB＝2AC，周長是20，則腰長為___________.9、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，則∠AED是___________度.10、如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點，且AD＝BD＝BC，則∠ABD＝___________.*11、等腰三角形的頂角是x°，則一腰上的高與底邊的夾角等于___________.*12、如圖，∠MAN＝15°，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠MEF＝___________.二、選擇題（3分×10＝30分）13、下列幾何圖形中：角，線段，等邊三角形，長方形，直角三角形，梯形，其中一定是軸對稱圖形的有（）A.3個 B.4個 C.5個 D.6個14、下圖中的圖形中是軸對稱圖形的是（）15、下圖的圖形中不是軸對稱圖形的是（）16、下列說法正確的有（）①軸對稱圖形的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；②成軸對稱的兩條線段必在對稱軸的同側(cè)；③軸對稱的對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分；④成軸對稱的對應(yīng)線段若相交，則交點必在對稱軸上.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個*17、等腰三角形一邊長是4，另一邊長是9，則它的周長是（）A.17 B.22 C.17或22 D.*18、等腰三角形的周長是24，其中一邊長是10，則腰長是（）A.10 B.7 C.10或7 D.*19、等腰三角形一個角等于70°，則它的底角是（）A.70° B.55° C.70°或55° D.60°20、△ABC與△MNP關(guān)于直線l對稱，且l垂直平分AN，那么有（）A.∠C＝∠M B.∠B＝∠PC.∠A＝∠N D.∠A＝∠P21、到三角形三個頂點距離相等的點是（）A.三邊高線的交點B.三條中線的交點C.三邊中垂線的交點D.三條內(nèi)角平分線的交點*22、平面上有A、B兩個點，以AB為一邊作等腰直角三角形能作（）A.3個 B.4個 C.5個 D.6個三、作圖題（16分）23、求作圖中△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形.24、如圖，點C、D在∠AOB內(nèi)部，在∠AOB內(nèi)部找一點P，使得P到OA、OB的距離相等，并且使得PC＝PD.四、解答題（8分×3＝24分）25、如圖，BC＝20cm，DE是線段AB的中垂線，與BC交于點E，AC＝12cm，求△ACE的周長.*26、如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，EF、GH分別是AB、AC兩邊的中垂線，與BC邊交于點E、G，求∠EAG的度數(shù).*27、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分線，且∠CAE∶∠EBA＝4∶1，求∠AEC的度數(shù).

【試題答案】一、填空題：1、線段本身所在線段的中垂線，角平分線所在的直線2、角，線段3、距離，線段兩個端點4、等腰直角5、圓6、47、128、89、10510、36°11、12、75°（提示：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD，∴∠CBD＝∠A＋∠BCA＝30°，∠DCE＝∠A＋∠CDB＝45°，∠EDF＝∠A＋∠CED＝15°＋45°＝60°，∠MEF＝∠A＋∠DFE＝75°）二、選擇題：13、B14、A15、B16、C17、B18、C19、C20、C21、C22、D三、作圖題：23、如圖.分別作點A，點B，點C關(guān)于l的對稱點A′、B′、C′，然后連接A′B′，A′C′，B′C′.24、如答圖.分別作線段CD的中垂線，∠AOB的角平分線，交于P