七年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱小結(jié)與復(fù)習(xí)華東師大版知識(shí)精講

初一數(shù)學(xué)軸對(duì)稱小結(jié)與復(fù)習(xí)華東師大版【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：軸對(duì)稱小結(jié)與復(fù)習(xí)二、知識(shí)要點(diǎn)1.知識(shí)點(diǎn)概要（1）認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱以及軸對(duì)稱圖形的概念，并能判斷圖形是否是軸對(duì)稱圖形.（2）掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，能夠應(yīng)用它畫對(duì)稱軸，畫軸對(duì)稱圖形.（3）掌握線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用.（4）掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定以及運(yùn)用.2.重點(diǎn)難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：判斷圖形是否是軸對(duì)稱圖形，線段垂直平分線、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用.（2）難點(diǎn)：靈活運(yùn)用上述性質(zhì)解決問題；軸對(duì)稱圖案的設(shè)計(jì).三、考點(diǎn)分析1.知識(shí)點(diǎn)梳理2.重要知識(shí)點(diǎn)回顧（1）軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形既有區(qū)別又有聯(lián)系：區(qū)別：軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言,它是指某一個(gè)圖形所具有的對(duì)稱性質(zhì),而軸對(duì)稱則針對(duì)兩個(gè)圖形而言,它描述的是兩個(gè)圖形的一種位置關(guān)系；軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后,其自身的一部分和另一部分重合,而軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后,一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形重合.聯(lián)系：當(dāng)我們把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體時(shí),它就成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形.軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱都具有的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等.說明：軸對(duì)稱圖形變換的特征是不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位置,變換后的圖形和原圖形在一起組成的新圖案都具有對(duì)稱性.（2）軸對(duì)稱或軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.②若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.③若兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.④兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，若它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，則交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.⑤兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等.（3）熟悉常見的幾個(gè)軸對(duì)稱圖形，會(huì)畫出它們的對(duì)稱軸，并掌握其性質(zhì)①線段：線段是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是線段中垂線和本身所在直線.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等.到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.②角：是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是角平分線所在直線.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.3.等腰三角形（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，常用的輔助線有三種：作等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線.（2）若三角形的三線中有兩線重合，則可得到此三角形是等腰三角形.這可作為等腰三角形的一種識(shí)別方法.（3）在有關(guān)三角形問題的條件中出現(xiàn)了高、中線或角平分線時(shí)，有時(shí)可以延長(zhǎng)某些線段以構(gòu)造等腰三角形，然后再用“三線合一”性質(zhì)去解題.【典型例題】例1.下列圖案中是軸對(duì)稱圖形的有：（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)解析：本題考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，判斷一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)其概念，看是否可以存在一條直線，使得這個(gè)圖形的一部分沿著這條直線折疊，能夠和另一部分互相重合.所以第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)都是軸對(duì)稱圖形，應(yīng)選C.例2.如圖，△ABC與△A＇B＇C＇關(guān)于直線l對(duì)稱，∠A=30°，∠B＇=50°.則∠C的度數(shù)為（）A.30°B.50°C.90°D.100°解析：根據(jù)條件和軸對(duì)稱的性質(zhì)知：∠B=∠B＇=50°.因?yàn)椤螦=30°，所以∠C=180°-∠A-∠B=100°.故選D.例3.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則其頂角為________度.解析：三角形高可能在三角形的外部，也可能在內(nèi)部，注意分類討論.畫出如下兩個(gè)圖，即可求得其頂角為30°或150°.例4.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝20cm，BD∶CD＝3∶2，求點(diǎn)D到AB的距離．分析：求點(diǎn)D到AB距離必須先作出垂線段．過點(diǎn)D作DE⊥AB，則DE長(zhǎng)即為欲求距離．由于AD為角平分線，則有：DE＝CD.而CD由已知條件可求.解：過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，∵AD為角平分線且∠C＝90°，即DC⊥AC，∴DE＝DC．而，∴DE＝8cm，即點(diǎn)D到AB的距離為8cm．例5．如圖，已知D、E兩點(diǎn)在線段BC上，AB＝AC，AD＝AE．你能判斷線段BD與EC的大小關(guān)系嗎？并簡(jiǎn)述理由.（1）（2）分析：由已知，兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，BD與EC都在其底邊上，聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，通過畫輔助線構(gòu)造基本圖形，如圖（2），問題得解.解：BD＝EC.理由：如圖（2），作AF⊥BC于F，由等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合，得BF＝CF，DF＝EF，所以BF-DF＝CF-EF，即：BD＝CE例6.如下圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC＝10cm，求△DCE的周長(zhǎng).分析：題目中出現(xiàn)角平分線與垂直條件，注意由角平分線的性質(zhì)得線段相等.本題要求△DCE的周長(zhǎng)，具體的邊長(zhǎng)不能求解，要善于運(yùn)用整體思想.解：∵Rt△ABC，AB＝AC，∴∠C＝45°．又BD平分∠B，DE⊥BC，DA⊥AB，∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∴AB＝BE．∴△DCE周長(zhǎng)＝DE＋EC＋CD＝AD＋CD＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10cm.例7.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，求△ABC的周長(zhǎng)．分析：△ABC的周長(zhǎng)等于線段AB＋BC＋AC，而線段BC＝BD＋CD，因?yàn)镈E是AC的垂直平分線，則有CD＝AD，所以BC＝BD＋AD，從而求出AB＋BC，于是求得△ABC的周長(zhǎng)．解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm．又∵△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋BD＋AD＝13cm，∴AB＋BD＋CD＝13cm即AB＋BC＝13cm．∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19（cm）．例8.如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE∥AB，OF∥AC分別交BC于點(diǎn)E、F，若BC＝8cm，試求△OEF的周長(zhǎng).分析：已知條件中出現(xiàn)平行與角平分線即存在等腰三角形.注意這一基本圖形的運(yùn)用.解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠EBO．又∵OE∥AB，∴∠EOB＝∠ABO，∴∠EBO＝∠EOB，∴EO＝EB.同樣道理可得：FO＝FC，∴△OEF周長(zhǎng)是OE＋FF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝8cm例9.如圖，A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，求作一點(diǎn)O，使OA＝OB＝OC．分析：由于OA＝OB＝OC，則可得OA＝OB，OB＝OC，由垂直平分線的性質(zhì)可知，點(diǎn)O應(yīng)在AB的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點(diǎn)處．解：（1）作出BC的垂直平分線l1；（2）作出AB的垂直平分線l2；l1與l2交于點(diǎn)O．則點(diǎn)O為所求的點(diǎn)．例10.世界上因?yàn)橛辛藞A，萬物才顯得富有生機(jī)，以下來自現(xiàn)實(shí)生活中的圖形都有圓，如圖（1）、（2）、（3），它們看上去多么美麗和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱的性質(zhì)，請(qǐng)你在圖（4）、（5）的兩個(gè)圓中，分別畫出與圖（1）、（2）、（3）不重復(fù)的軸對(duì)稱圖形，但要盡可能準(zhǔn)確美觀．解析：按要求畫出軸對(duì)稱圖形,以下供參考.例11.兩個(gè)完全一樣的三角形，可以拼出各種不同的圖形．如下圖已畫出其中一個(gè)三角形，請(qǐng)你分別補(bǔ)畫出另一個(gè)與其一模一樣的三角形，使每個(gè)圖形分別構(gòu)成不同的軸對(duì)稱圖形（所畫三角形可與原三角形有重疊部分）．解析：按要求畫出與其一模一樣的三角形，并與其構(gòu)成軸對(duì)稱圖形,以下供參考.五、本講數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)1.做好重要知識(shí)點(diǎn)的梳理.通過復(fù)習(xí)，熟練掌握軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)及軸對(duì)稱知識(shí)在生活中的應(yīng)用，進(jìn)一步掌握等腰三角形的性質(zhì)與識(shí)別.2.思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意數(shù)學(xué)思想的體會(huì)與應(yīng)用.如運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想線段或角進(jìn)行位置的轉(zhuǎn)移；運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)列方程求解；在計(jì)算等腰三角形的角度或邊長(zhǎng)時(shí)是分類思想的運(yùn)用等等.【模擬試題】（答題時(shí)間：100分鐘）一、填空題（2分×15＝30分）1、線段是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是___________；角是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是___________.2、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)___________相等，對(duì)應(yīng)___________相等.3、角平分線上的任意一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的___________相等.線段中垂線上的點(diǎn)到___________的距離相等.4、若三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1∶1∶2，該三角形是___________三角形.5、舉一個(gè)有無數(shù)條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形是___________.6、計(jì)算器屏幕上顯示0到9這十個(gè)數(shù)字中，其中成軸對(duì)稱圖形的有___________個(gè).7、有一個(gè)角是60°的等腰三角形，腰長(zhǎng)為4，則它的周長(zhǎng)是___________.8、等腰△ABC中，AB＝2AC，周長(zhǎng)是20，則腰長(zhǎng)為___________.9、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，則∠AED是___________度.10、如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點(diǎn)，且AD＝BD＝BC，則∠ABD＝___________.*11、等腰三角形的頂角是x°，則一腰上的高與底邊的夾角等于___________.*12、如圖，∠MAN＝15°，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠MEF＝___________.二、選擇題（3分×10＝30分）13、下列幾何圖形中：角，線段，等邊三角形，長(zhǎng)方形，直角三角形，梯形，其中一定是軸對(duì)稱圖形的有（）A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)14、下圖中的圖形中是軸對(duì)稱圖形的是（）15、下圖的圖形中不是軸對(duì)稱圖形的是（）16、下列說法正確的有（）①軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；②成軸對(duì)稱的兩條線段必在對(duì)稱軸的同側(cè)；③軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分；④成軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)線段若相交，則交點(diǎn)必在對(duì)稱軸上.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)*17、等腰三角形一邊長(zhǎng)是4，另一邊長(zhǎng)是9，則它的周長(zhǎng)是（）A.17 B.22 C.17或22 D.*18、等腰三角形的周長(zhǎng)是24，其中一邊長(zhǎng)是10，則腰長(zhǎng)是（）A.10 B.7 C.10或7 D.*19、等腰三角形一個(gè)角等于70°，則它的底角是（）A.70° B.55° C.70°或55° D.60°20、△ABC與△MNP關(guān)于直線l對(duì)稱，且l垂直平分AN，那么有（）A.∠C＝∠M B.∠B＝∠PC.∠A＝∠N D.∠A＝∠P21、到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A.三邊高線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三邊中垂線的交點(diǎn)D.三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)*22、平面上有A、B兩個(gè)點(diǎn)，以AB為一邊作等腰直角三角形能作（）A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)三、作圖題（16分）23、求作圖中△ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形.24、如圖，點(diǎn)C、D在∠AOB內(nèi)部，在∠AOB內(nèi)部找一點(diǎn)P，使得P到OA、OB的距離相等，并且使得PC＝PD.四、解答題（8分×3＝24分）25、如圖，BC＝20cm，DE是線段AB的中垂線，與BC交于點(diǎn)E，AC＝12cm，求△ACE的周長(zhǎng).*26、如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，EF、GH分別是AB、AC兩邊的中垂線，與BC邊交于點(diǎn)E、G，求∠EAG的度數(shù).*27、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分線，且∠CAE∶∠EBA＝4∶1，求∠AEC的度數(shù).

【試題答案】一、填空題：1、線段本身所在線段的中垂線，角平分線所在的直線2、角，線段3、距離，線段兩個(gè)端點(diǎn)4、等腰直角5、圓6、47、128、89、10510、36°11、12、75°（提示：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD，∴∠CBD＝∠A＋∠BCA＝30°，∠DCE＝∠A＋∠CDB＝45°，∠EDF＝∠A＋∠CED＝15°＋45°＝60°，∠MEF＝∠A＋∠DFE＝75°）二、選擇題：13、B14、A15、B16、C17、B18、C19、C20、C21、C22、D三、作圖題：23、如圖.分別作點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′，然后連接A′B′，A′C′，B′C′.24、如答圖.分別作線段CD的中垂線，∠AOB的角平分線，交于P