換元積分法和分部積分法

4.2換元積分法和分部積分法章一、類(lèi)換元積分法三、分部積分法（IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts）二、類(lèi)換元積分法2021/5/91第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法設(shè)可導(dǎo),則有基本思路

2021/5/92在上次課中，我們學(xué)習(xí)了“不定積分的概念和性質(zhì)”給出了“基本積分公式表”。但是，對(duì)于形如這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表我們就無(wú)能為力了。為此，……2021/5/93一、第一類(lèi)換元積分法定理4.2.1

則有換元公式(也稱(chēng)配元法,湊微分法)證明過(guò)程請(qǐng)看書(shū)!2021/5/94例4.2.11）求2）求補(bǔ)充例題1求解:

令則故原式

=2021/5/95補(bǔ)充例題2求答案：補(bǔ)充例題3求答案：例4.2.4求解:例4.2.5求答案：2021/5/96萬(wàn)能湊冪法常用的幾種配元形式:

2021/5/97解:

原式=補(bǔ)充例題4求自主學(xué)習(xí)課本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.82021/5/98例4.2.9

求解:例4.2.10

解:2021/5/99解法2（與課本解法不一樣）2021/5/910補(bǔ)充例題5求解:

原式=補(bǔ)充例題6求或2021/5/911解補(bǔ)充例題72021/5/912補(bǔ)充例題8解:2021/5/913補(bǔ)充例題9解:2021/5/914解:補(bǔ)充例題10自主學(xué)習(xí)課本P141例4.2.11—例4.2.132021/5/915二、第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則用第二類(lèi)換元積分法

.難求，2021/5/916是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證明略,詳細(xì)過(guò)程可參見(jiàn)課本P142則有換元公式定理4.2.2

設(shè)反函數(shù)2021/5/917例4.2.14

計(jì)算1）解:2021/5/9182021/5/919補(bǔ)充例題11解:2021/5/9202021/5/921解:

令則∴原式補(bǔ)充例題12求自主學(xué)習(xí)課本P142例4.2.142）2021/5/922解:

令則∴原式補(bǔ)充例題13

求自主學(xué)習(xí)課本P142例4.2.152021/5/923解:令則∴原式補(bǔ)充例題14

求2021/5/924令于是自主學(xué)習(xí)課本P143例4.2.162021/5/925或從上面三個(gè)例子，可以看出如果被積函數(shù)含有：可作代換可作代換可作代換2021/5/926解

于是2021/5/927第二類(lèi)換元法常見(jiàn)類(lèi)型:令令令或令或令或第三節(jié)講2021/5/928(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令2.常用基本積分公式的補(bǔ)充

2021/5/9292021/5/930前面，我們利用復(fù)合函數(shù)的求到法則得到了“換元積分法”

。但是，對(duì)于形如的積分用直接積分法或換元積分法都無(wú)法計(jì)算.

注意到，這些積分的被積函數(shù)都有共同的特點(diǎn)——都是兩種不同類(lèi)型函數(shù)的乘積。這就啟發(fā)我們把兩個(gè)這就是另一個(gè)基本的積分方法：分部積分法.

函數(shù)乘積的微分法則反過(guò)來(lái)用于求這類(lèi)不定積分，2021/5/931積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.由導(dǎo)數(shù)乘法公式：2021/5/932

第四章（IntegrationbyParts）補(bǔ)充例題16解:

令則∴原式另解:令則∴原式三、分部積分法答案2021/5/933一般說(shuō)來(lái),當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時(shí),可考慮運(yùn)用分部積分法進(jìn)行計(jì)算:冪函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之積,一個(gè)函數(shù)難于用其它方法積分,兩個(gè)函數(shù)的乘積.2021/5/934把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪指三”

的順序,前者為后者為補(bǔ)充例題18求解:

令,則原式=反:反三角函數(shù)對(duì):

對(duì)數(shù)函數(shù)冪:

冪函數(shù)指:

指數(shù)函數(shù)三:

三角函數(shù)解題技巧:自主學(xué)習(xí)課本P144-P145例4.2.18與例4.2.192021/5/935答案：

.答案：

補(bǔ)充例題22答案：

補(bǔ)充例題23答案：

2021/5/936解:

令則∴原式補(bǔ)充例題242021/5/937解:

令,則∴