第一章概述第一節(jié)數(shù)學(xué)是什么

第一章概述

第一節(jié)數(shù)學(xué)是什么1一、數(shù)學(xué)的“定義”

恩格斯：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)大大發(fā)展了，諸如事物的結(jié)構(gòu)、數(shù)理邏輯等，都成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象；這些，似乎不能包含在上述定義中。人們?cè)趯ふ覕?shù)學(xué)的新“定義”。但是，要給數(shù)學(xué)下個(gè)定義，并不那么容易。至今難以有關(guān)于“數(shù)學(xué)”的、大家取得共識(shí)的“定義”。21．古今數(shù)學(xué)家的說(shuō)法

（美）R·柯朗（《數(shù)學(xué)是什么》）：“數(shù)學(xué)，作為人類智慧的一種表達(dá)形式，反映生動(dòng)活潑的意念，深入細(xì)致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺(jué)，分析和推理，共性和個(gè)性。”3（法）E·波萊爾：“數(shù)學(xué)是我們確切知道我們?cè)谡f(shuō)什么，并肯定我們說(shuō)的是否對(duì)的唯一的一門科學(xué)?！保ㄓⅲ┝_素：“數(shù)學(xué)是所有形如p蘊(yùn)含q的命題的類”，而最前面的命題p是否對(duì)，卻無(wú)法判斷。因此“數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們?cè)谡f(shuō)什么，也不知道我們說(shuō)的是否對(duì)的一門學(xué)科。”41）哲學(xué)說(shuō)2）符號(hào)說(shuō)3）科學(xué)說(shuō)4）工具說(shuō)5）邏輯說(shuō)6）創(chuàng)新說(shuō)7）直覺(jué)說(shuō)8）集合說(shuō)9）結(jié)構(gòu)說(shuō)（關(guān)系說(shuō)）10）模型說(shuō)11）活動(dòng)說(shuō)12）精神說(shuō)13）審美說(shuō)14）藝術(shù)說(shuō)15）萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)

2．?dāng)?shù)學(xué)的15個(gè)“定義”5

15個(gè)“定義”

來(lái)自6

只講解“哲學(xué)說(shuō)”，其他只作一句話的解釋，并請(qǐng)查資料。

哲學(xué)說(shuō)亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的?！眮?lái)自古希臘，亞里士多德、歐幾里得等人?！稁缀卧尽罚狐c(diǎn)是沒(méi)有部分的那種東西；線是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)度牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》的序言中說(shuō)，他是把這本書“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)”。7

哲學(xué)是研究最廣泛的事物，數(shù)學(xué)也是研究最廣泛的事物，這是它們的共同點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的研究對(duì)象不同，研究方法也不同。兩者雖有相似之處，但數(shù)學(xué)不是哲學(xué)的一部分，哲學(xué)也不是數(shù)學(xué)的一部分。現(xiàn)在有人說(shuō)“哲學(xué)從一門學(xué)科中退出，意味著這門學(xué)科的建立；而數(shù)學(xué)進(jìn)入一門學(xué)科，就意味著這門學(xué)科的成熟?！?/p>

8符號(hào)說(shuō)：是說(shuō)數(shù)學(xué)是一種高級(jí)語(yǔ)言，是符號(hào)的世界?？茖W(xué)說(shuō)：是說(shuō)數(shù)學(xué)是精密的科學(xué)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”。工具說(shuō)：是說(shuō)“數(shù)學(xué)是其它所有知識(shí)工具的源泉”。

邏輯說(shuō)：是說(shuō)數(shù)學(xué)推理依靠邏輯，“數(shù)學(xué)為其證明所具有的邏輯性而驕傲?！?創(chuàng)新說(shuō)：是說(shuō)數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)新，如發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)，提出微積分，創(chuàng)立非歐幾何。直覺(jué)說(shuō)：是說(shuō)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是人的直覺(jué)，數(shù)學(xué)主要是由那些直覺(jué)能力強(qiáng)的人們推進(jìn)的。集合說(shuō)：是說(shuō)數(shù)學(xué)各個(gè)分支的內(nèi)容都可以用集合論的語(yǔ)言表述。

結(jié)構(gòu)說(shuō)（關(guān)系說(shuō)）：是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)的結(jié)構(gòu)方面及聯(lián)系方面，“數(shù)學(xué)是一種關(guān)系學(xué)”。10模型說(shuō)：是說(shuō)數(shù)學(xué)就是研究各種形式的模型，如微積分是物體運(yùn)動(dòng)的模型，概率論是偶然與必然現(xiàn)象的模型，歐氏幾何是現(xiàn)實(shí)空間的模型，非歐幾何是非歐空間的模型?；顒?dòng)說(shuō)：是說(shuō)“數(shù)學(xué)是人類最重要的活動(dòng)之一”。精神說(shuō)：是說(shuō)“數(shù)學(xué)不僅是一種技巧，更是一種精神，特別是理性的精神?！?1審美說(shuō)：是說(shuō)“數(shù)學(xué)家無(wú)論是選擇題材還是判斷能否成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要是美學(xué)的原則。”

藝術(shù)說(shuō)：是說(shuō)“數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)。”

萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)：是說(shuō)數(shù)的規(guī)律是世界的根本規(guī)律，一切都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)比。12

方延明：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)與形之間各種形式模型的結(jié)構(gòu)的一門科學(xué)。徐利治：數(shù)學(xué)是“實(shí)在世界的最一般的量與空間形式的科學(xué)，同時(shí)又作為實(shí)在世界中最具有特殊性、實(shí)踐性及多樣性的量與空間形式的科學(xué)”?；氐蕉鞲袼沟亩x：

數(shù)學(xué)是研究（現(xiàn)實(shí)世界中的）數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。

13[思]：

請(qǐng)你在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)文化”課的過(guò)程中，始終帶著下面的問(wèn)題——在學(xué)完“數(shù)學(xué)文化”課后，給出一個(gè)你自己對(duì)“數(shù)學(xué)”的定義。14

二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

抽象性精確性應(yīng)用的廣泛性

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1．抽象性

第一，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象本身就是抽象的；第二，在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切；第三，數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過(guò)了其它學(xué)科中的抽象；第四，核心數(shù)學(xué)主要處理抽象概念和它們的相互關(guān)系。16

2．精確性數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無(wú)疑性。漢克爾說(shuō)：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！弊鳛閷?duì)照的三個(gè)例子：①電子管電路→半導(dǎo)體電路→集成電路②地心說(shuō)→日心說(shuō)→開普勒三定律③高溫超導(dǎo)的上界（朱經(jīng)武）30oK→90oK→120oK→240oK17關(guān)于“晶體的結(jié)構(gòu)有多少種”的討論

曾經(jīng)，許多物理學(xué)家、化學(xué)家、晶體學(xué)家給出了各不相同的結(jié)論。數(shù)學(xué)家介入以后，運(yùn)用“群”的理論，得到了明確的答案：晶體的結(jié)構(gòu)只能有240種。

而且，數(shù)學(xué)家的推理是如此精確，讓人信服，使得之后就不再有人去研究這一問(wèn)題了，因?yàn)榻Y(jié)論已經(jīng)確定無(wú)疑。

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3．應(yīng)用的廣泛性

華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無(wú)處不在。例子：①哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)；②海王星的發(fā)現(xiàn)；③電磁波的發(fā)現(xiàn)。19

哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)古時(shí)人們認(rèn)為彗星的出現(xiàn)是不祥之兆，直到17世紀(jì)，英國(guó)天文學(xué)家哈雷開始計(jì)算彗星軌道時(shí)，發(fā)現(xiàn)1682年、1607年和1531年出現(xiàn)的彗星有相似的軌道，他判斷這三顆彗星其實(shí)是同一顆彗星，并預(yù)言它將在1758年底或1759年初再次出現(xiàn)。1759年，這顆彗星果然出現(xiàn)了。雖然哈雷已在此前的1742年逝世，但為了紀(jì)念他，這顆彗星稱為“哈雷彗星”。

哈雷彗星的回歸周期為76年，最近一次的回歸是在1986年；下一次回歸是在2062年。20海王星的發(fā)現(xiàn)這個(gè)太陽(yáng)系最遠(yuǎn)的行星（之一），

是1846年在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)的。天文學(xué)家分析了天王星運(yùn)動(dòng)的不規(guī)律性，推斷出這是由其他行星的引力而產(chǎn)生的。勒未累計(jì)算出它應(yīng)處的位置，觀察員在指定位置發(fā)現(xiàn)了該行星。航海家2號(hào)拍攝,1989.8.

21電磁波的發(fā)現(xiàn)英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來(lái)的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出了光的電磁理論。此外，他的結(jié)論還推動(dòng)了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪ā?4年后，德國(guó)物理學(xué)家赫茲在振蕩放電實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了電磁波的存在，不久，意大利的馬可尼和俄國(guó)人波波夫又在此基礎(chǔ)上獨(dú)立地發(fā)明了無(wú)線電報(bào)。從此，電磁波走進(jìn)了千家萬(wàn)戶。22

三、數(shù)學(xué)與其它領(lǐng)域的聯(lián)系

1.數(shù)學(xué)與教育

數(shù)學(xué)對(duì)于受教育者，不僅僅是學(xué)會(huì)一門課程、一門知識(shí)、更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想、方法、精神；把數(shù)學(xué)作為成才的基本素質(zhì)要求。23

1）波利亞：“讓我們教猜想吧！”

波利亞還說(shuō)：“在數(shù)學(xué)家證明一個(gè)定理之前，必須猜想到這個(gè)定理；在他完成證明的細(xì)節(jié)之前，必須先猜想出證明的主導(dǎo)思想?！笔聦?shí)上，教育并不總是在讓學(xué)生認(rèn)知，教育在很大程度上是讓學(xué)生欣賞，只有這樣，才有最佳的教育效益。24丁石孫——北京大學(xué)蘇步青——復(fù)旦大學(xué)谷超豪——中國(guó)科大潘承洞——山東大學(xué)齊民友——武漢大學(xué)伍卓群——吉林大學(xué)侯自新——南開大學(xué)李岳生——中山大學(xué)曹策問(wèn)——鄭州大學(xué)楊思明——湘潭大學(xué)展?jié)綎|大學(xué)黃達(dá)人——中山大學(xué)吳傳喜——湖北大學(xué)周明儒——徐州師大王梓坤——北師大陸善鎮(zhèn)——北師大王建磐——華東師大史寧中——東北師大路鋼——華中師大邱玉輝——西南師大王國(guó)俊——陜西師大庾建設(shè)——廣州大學(xué)房靈敏——西藏大學(xué)252627282930313233展?jié)?，男，回族?963年4月出生，山東兗州人，中共黨員，理學(xué)博士，教授，博士生導(dǎo)師。1979年9月入山東大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，先后獲得學(xué)士、碩士、博士學(xué)位；1987年留校任教，先后被評(píng)聘為講師、副教授、教授；1991年1月至1992年12月獲德國(guó)洪堡基金會(huì)獎(jiǎng)勵(lì)基金，赴德國(guó)弗萊堡大學(xué)從事合作研究；1993年4月任山東大學(xué)數(shù)學(xué)系副主任；1995年3月任山東大學(xué)副校長(zhǎng)；1996年12月任山東大學(xué)黨委

常委、副校長(zhǎng)；2000年7月任

山東大學(xué)黨委常委、校長(zhǎng)。3435吳傳喜，湖北大學(xué)36周明儒，徐州師范大學(xué)37383940路鋼，華中師范大學(xué)41侯自新教授曾任南開大學(xué)數(shù)學(xué)系主任、校長(zhǎng)助理、副校長(zhǎng)、研究生院院長(zhǎng)、中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)、天津市學(xué)位委員會(huì)副主任，九屆全國(guó)人民代表大會(huì)代表，天津市十四屆人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)委員?，F(xiàn)任十屆全國(guó)人民代表大會(huì)代表、中國(guó)高等院校數(shù)學(xué)研究與高等人才培養(yǎng)中心主任、中國(guó)老教授協(xié)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)、天津市教育發(fā)展基金會(huì)副理事長(zhǎng)。

侯自新教授多年從事李群、李代數(shù)及齊性空間微分幾何等方面的研究與教學(xué)工作。42

2.數(shù)學(xué)與文學(xué)

1）用數(shù)學(xué)方法對(duì)作品和語(yǔ)言進(jìn)行寫作風(fēng)格分析、詞匯相關(guān)程度和句型頻譜分析

例：《紅樓夢(mèng)》前80回與后40回的作者是否相同？

1980年6月，在美國(guó)威斯康辛大學(xué)召開的國(guó)際首屆《紅樓夢(mèng)》研討會(huì)上，來(lái)自威斯康辛大學(xué)的華裔學(xué)者陳炳藻先生宣讀了一篇《從詞匯上的統(tǒng)計(jì)論〈紅樓夢(mèng)〉的作者問(wèn)題》的博士論文，引起了國(guó)際紅學(xué)界的關(guān)注和興趣。1986年，陳炳藻教授公開發(fā)表了《電腦在文學(xué)上的應(yīng)用：〈紅樓夢(mèng)〉與〈兒女英雄傳〉兩書作者》的專著。利用計(jì)算機(jī)對(duì)《紅樓夢(mèng)》前八十回和后四十回的用字進(jìn)行了測(cè)定，并從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)出發(fā)，探討《紅樓夢(mèng)》前后用字的相關(guān)程度。他將《紅樓夢(mèng)》的一百二十回分為三組，每組四十回。并將《兒女英雄傳》作為第四組進(jìn)行比較，從每組中任意取出八萬(wàn)字，分別挑出名詞，動(dòng)詞，形容詞，副詞，虛詞這五種詞匯，運(yùn)用數(shù)理語(yǔ)言學(xué)，通過(guò)計(jì)算機(jī)程序?qū)@些詞進(jìn)行編排，統(tǒng)計(jì)，比較和處理，進(jìn)而找出各組相關(guān)程度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)《紅樓夢(mèng)》前八十回與后四十回的詞匯相關(guān)程度達(dá)到78.57%，而《紅樓夢(mèng)》與《兒女英雄傳》的詞匯相關(guān)程度是32.14%。由此他推斷出《紅樓夢(mèng)》的作者為同一個(gè)人所寫的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論是否被紅學(xué)界所結(jié)受，還存在一定的爭(zhēng)論。但是這種方法卻給很多人留下了深刻的印象。

《靜靜的頓河》的作者是肖洛霍夫。

432）語(yǔ)言學(xué)好比一個(gè)公理化系統(tǒng)（語(yǔ)法好比法則和定理）3）語(yǔ)音學(xué)（關(guān)于語(yǔ)調(diào)）的研究

計(jì)算機(jī)模擬人的語(yǔ)調(diào)，并繪出直觀的三維圖像，是南開大學(xué)中文系與計(jì)算機(jī)系合作的一個(gè)成果，曾獲得國(guó)家級(jí)教學(xué)成果二等獎(jiǎng)。

其中大量用到數(shù)學(xué)。

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3.數(shù)學(xué)與史學(xué)

1）史衡學(xué)

數(shù)學(xué)的介入，使史學(xué)的研究成果更加客觀、嚴(yán)謹(jǐn)，較多地排除了人為因素。

2）考古對(duì)數(shù)學(xué)史研究的推進(jìn)

1986年上海陸家咀發(fā)現(xiàn)元朝玉掛，談祥柏教授研究后發(fā)現(xiàn)，它是一個(gè)四階完全幻方。過(guò)去以為只有印度歷史上才有這種“完全幻方”。45

4.數(shù)學(xué)與哲學(xué)

1）數(shù)學(xué)中“無(wú)限”的概念、“連續(xù)”的概念，一經(jīng)出現(xiàn)，便成了哲學(xué)研究的對(duì)象。2）“哲學(xué)從一門學(xué)科中退出，意味著這門學(xué)科的建立；而數(shù)學(xué)進(jìn)入一門學(xué)科，就意味著這門學(xué)科的成熟?！?“沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們無(wú)法看透哲學(xué)的深度，沒(méi)有哲學(xué)，人們也無(wú)法看透數(shù)學(xué)的深度，而若沒(méi)有兩者，人們就什么也看不透?！?）哲學(xué)系的“邏輯學(xué)”專業(yè)與數(shù)學(xué)系的“數(shù)理邏輯”專業(yè)。46

5.數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)

1）普遍運(yùn)用數(shù)學(xué)，建立經(jīng)濟(jì)模型2）獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的學(xué)者中，數(shù)學(xué)家出身的和有數(shù)學(xué)背景的人占一半以上。

6.數(shù)學(xué)與社會(huì)學(xué)

1）定量社會(huì)學(xué)、實(shí)證社會(huì)學(xué)已經(jīng)形成了一套邏輯嚴(yán)密的研究模式2）“社會(huì)科學(xué)的許多重要領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展到不懂?dāng)?shù)學(xué)的人望塵莫及的階段?！?7

7.數(shù)學(xué)與工程技術(shù)

1）“1991年的海灣戰(zhàn)爭(zhēng)就是信息戰(zhàn)爭(zhēng)、數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”2）數(shù)學(xué)與工程技術(shù)的相互滲透，非常廣泛、深刻。

2000年是聯(lián)合國(guó)宣布的“世界數(shù)學(xué)年”，聯(lián)合國(guó)教科文組織指出：“純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙?！?8趣味題一：抓堆和抓三堆1.抓堆：有一堆谷粒（例如100粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰(shuí)抓到最后一把誰(shuí)贏。問(wèn)：甲應(yīng)該如何抓？為什么？49從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手有一堆谷粒（例如10粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰(shuí)抓到最后一把誰(shuí)贏。問(wèn)：甲應(yīng)該如何抓？為什么？50數(shù)學(xué)思想：?jiǎn)栴}一般化；問(wèn)題特殊化；歸納總結(jié)，找出規(guī)律；證明規(guī)律，得到結(jié)論。51問(wèn)題一般化抓堆：有一堆谷粒（例如n粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰(shuí)抓到最后一把誰(shuí)贏。問(wèn)：甲應(yīng)該如何抓？為什么？

問(wèn)題特殊化n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，52“抓堆”游戲的結(jié)論把“6的倍數(shù)”留給對(duì)方，自己可以取勝。（“反面說(shuō)法”）在n=100時(shí)，甲抓4?？梢匀?。532.抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰(shuí)抓到最后一把誰(shuí)贏。問(wèn)：甲應(yīng)該如何抓？為什么？54從簡(jiǎn)單的情形入手有三堆谷粒（例如4粒、5粒、6粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒。甲先抓，規(guī)定“誰(shuí)抓到最后一把誰(shuí)贏”。問(wèn)：甲應(yīng)該如何抓？為什么？55游戲?qū)嶄?，5，6，56數(shù)學(xué)文化：?jiǎn)栴}一般化；問(wèn)題特殊化；歸納抽象，找出規(guī)律；證明規(guī)律，得到結(jié)論。57抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰(shuí)抓到最后一把誰(shuí)贏。問(wèn)：甲應(yīng)該如何抓？為什么？解：

問(wèn)題一般化記號(hào)：將三堆谷粒的狀況記為（a,b,c）,例如（100,200,300）。這樣，誰(shuí)抓為（0,0,0），誰(shuí)贏。58

分析：

問(wèn)題特殊化

1）只有一堆時(shí)，即狀況為（a,0,0）,此時(shí)先抓者必勝。592）只有兩堆時(shí)，即狀況為（a,b,0）（1）若b=a,即狀況為（a,a,0）,此時(shí)后抓者必勝。因?yàn)閷?duì)方先抓后，結(jié)果或剩一堆，成為（a,0,0）的狀況，一把可抓完；或剩兩堆，你抓后，又成為新