數(shù)列求和及極限

數(shù)列求和及極限【知識(shí)及方法歸納】1、 數(shù)列求和主要有以下幾種常見(jiàn)方法：（1）公式法；（2）通項(xiàng)轉(zhuǎn)移法；（3）倒序相加法；（4）裂項(xiàng)相消法；（5）錯(cuò)項(xiàng)消法；（6）猜想、證明（數(shù)學(xué)歸納法）。2、 能運(yùn)用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則求數(shù)列的極限；求無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和?！緦W(xué)法指導(dǎo)】1、在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，還應(yīng)掌握自然數(shù)方幕數(shù)列的求和公式，如：12+22+32+???+n2=n（n+1）（2〃+D；2、對(duì)于形式比較復(fù)雜而又不能直接用公式求和的6數(shù)列，可通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析研究，將2其分解為若干個(gè)易求和的新數(shù)列的和、差；3、將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)易求和，這樣的數(shù)列常用倒序相加，如課本中等差數(shù)列的求和公式就是用這種辦法得到；4、利用裂項(xiàng)變換改寫(xiě)數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)消去中間項(xiàng)達(dá)到求和的目的；5、若通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列相乘而得的數(shù)列，其求和的方法類(lèi)似于推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，通過(guò)乘于等比數(shù)列的公比，在錯(cuò)位相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題；6、通過(guò)對(duì)5］、、、53…進(jìn)行歸納，分析，尋求規(guī)律，猜想出5〃，然后再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明。 1【典型例題】 ”例1求和：12+32+52+…+^〃—1）2【分析】這是一個(gè)通項(xiàng)為（2n—1）2的數(shù)列求前n項(xiàng)和，對(duì)通項(xiàng)公式展開(kāi)可得：a=4n2+4n+1，n所以對(duì)原數(shù)列求和分解為3個(gè)新數(shù)列求和，可用方法2求和?！竞?jiǎn)解】12+32+52+…+⑴—1）2=（4?12—4?1+1）+（4?22—4?2+1）+?+（4n2—4n+1）n(n+1)(2n+1)6 —=4(12+22+32+???+n2)-4?n(n+1)(2n+1)6 —.n(n+1) n(2n—1)(2n+1)TOC\o"1-5"\h\z4? +n=2例2求和：1+4+二+-10???+3n二2525125 5n-1【分析】這是一個(gè)通項(xiàng)為擔(dān)2的數(shù)列求前n項(xiàng)和，觀察通項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)等差數(shù)列5n—1與一個(gè)等比數(shù)列的積，可用方法5求和。【簡(jiǎn)解】設(shè)5=1+4+土+堤…+卻些，則%=|+￡+…+業(yè)蕓+3n—l，所以n525125 5n—1 5n525 5n—1 5n(1—與5 =1+3+* +…+——3^-2 =1+3(1+』+工+ …+^—)5n552 5n—1 5n 5 552 5n—2「- -1—(4n—1 一--￡2=1+3?一5 -3^2=7—蚣心，所以5=35-12n+7。5n 5 1—1 5n 44?5n n1616?5n-15

，…的前n項(xiàng)和例3 求―,―，…的前n項(xiàng)和1212+2212+22+32【分析】先寫(xiě)出此數(shù)列的通項(xiàng)〃=—2n±1一=—2n±1—=—^=6(]-^)，它屬n12+22+...+n2 n(n+1)(2n+1)n(n+1) nn+16于用方法4，即裂項(xiàng)求和?！竞?jiǎn)解】因?yàn)閍= 2n+1 = 6(：：：1)=6 6(】—1)，所以S=6[(1-1)+TOC\o"1-5"\h\zn12+22+ +n2 n(n+1)(2n+1)n(n+1) nn+1 n2(匚1)+???+(m)]=住。23 nn+1 n+1例4 若an=(—1)n(5n—3)，【分析】由于所求的和Sn與n的奇偶有關(guān)，所以按n的奇偶分兩類(lèi)分別求和。【簡(jiǎn)解】S=-2+7-12+17-22+27-???+（-1）n（5n—3），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S=（〃一訪5-5〃+3=5^n n2 2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S=n.5=*。n2 2例5在等比數(shù)列｛a｝中，lim=（Q］+a2+a3+ +a）=1,則。］的取值范圍是多少？n nT8 ' 23 n 4 '【分析】無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和是指前n項(xiàng)和的極限limS〃。當(dāng)IqlV1時(shí)，limS〃=豈；ns ns 1q當(dāng)IqlA1時(shí)，這一極限不存在。即在無(wú)窮等比數(shù)列中，IqIV1（q尹0）是limS〃存ns在的充要條件。所以特別要注意公式S=limS=/1的含義及適用范圍。因此由nFn1—q-1a-=4可得：q=1-4ay因?yàn)?<IqI<1，所以0VI1-4aJVL即：0<a1<2，【簡(jiǎn)解】得a］的取值范圍是（0，4）U（4，2）?！緩?fù)習(xí)練習(xí)】一、選擇題1、 等差數(shù)列｛a｝、｛b｝的前n項(xiàng)和分別為S與T，若已=*，則lim%等于（）TOC\o"1-5"\h\znn nn九3n+1 …?A、1 B、云 C、2 D、43 3 92、等差數(shù)列｛a〃｝的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為 （ ）A、130 B、170 C、210 D、2603、 等比數(shù)列｛氣｝中，a1>1，且前n項(xiàng)和S〃滿(mǎn)足limS〃=X，則。］的取值范圍是（）ncs aA、（A、（1、+8）B、（1、4）C、（1、2） D、（1、3）4、根據(jù)時(shí)常調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的幾個(gè)月內(nèi)累積的需求量5〃（萬(wàn)件）近似地滿(mǎn)足5廣部21〃-〃2-5）d2,…，12）。按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是A、5月、6月B、6月、7月C、7月、8月D、8月、9月5、若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有 （ ）A、13項(xiàng) B、12項(xiàng) C、11項(xiàng) D、10項(xiàng)二、填空題1、設(shè)a>1,則lim卜"+1=ns1+an+12、 已知等差數(shù)列｛a｝的公差d >0，首項(xiàng)a >0, S= —1 ，^0 limS= 。n 1 nz=1aiai+1 …n 3、 已知等比數(shù)列｛a｝(aER),a1+a2=9,a1?a2?a3=27,且S=a1+a2+a3+ +a(n=1、2…)，則limS= 。ns4、設(shè)0VaVb,^0lim 4bnnT8an-bn5、若數(shù)列｛5、若數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)為；三、解答題1、已知數(shù)列-8土，￡-12.32 32?52(nEN),則lim(a1+n2a)= 。nT8(2[J%1)2，…Sn為其前n項(xiàng)的和，計(jì)算得S1=9,vv_24v_4^v_80

，2一25，53一49，54一81觀察上述結(jié)果，推測(cè)計(jì)算Sn的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。2、設(shè)數(shù)列｛a」的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)所有的正自然數(shù)n,都有S〃=*氣）。證明：｛a」是等差數(shù)列。3、 ｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)所有nEN*,a”與2的等差中項(xiàng)等于S〃與2的等比中項(xiàng)。（1）寫(xiě)出數(shù)列｛an｝的前3項(xiàng)；（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）；（3）令b=2（—n+1+-—^）（nEN*）,求lim（b1+b2+…+b-n）。n n+14、 設(shè)｛a〃｝是正數(shù)組成的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S〃。（1）證明：恒Sn+；gSg2<lgs明；（2）

是否存在常數(shù)C>0,使得lg（Sn—C+；g（Sn+2—=lg（S“]-c）成立？并證明你的結(jié)論。5、設(shè)｛a｝為