《電磁場(chǎng)與電磁波》課件靜電場(chǎng)6

2.8靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題主要內(nèi)容:靜電場(chǎng)邊值問題分離變量法鏡像法※靜電場(chǎng)的邊值問題一般情況下電位滿足兩個(gè)方程無(wú)源——Laplace’sEquation有源——Poission’sEquation邊值問題：在給定邊界條件下求解偏微分方程Poission’sEquation+邊界條件Laplace’sEquation+邊界條件唯一性定理：滿足偏微分方程和邊界條件的解是唯一的。邊值問題的分類第1類:已知整個(gè)邊界上的電位DirichletProblems狄理赫利問題第2類:已知整個(gè)邊界上電位的法導(dǎo)NeumannProblems紐曼問題第3類:已知部分邊界電位+另一部分邊界電位法導(dǎo)HybridProblems

混合問題例.兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于和處，在兩板之間的處有一面密度為的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。此方程的解為：解：在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間，除處有均勻面電荷分布外，其余空間均無(wú)電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程：利用邊界條件，得：于是有：

問題的引入：如圖一張紙，下列何種情況可以填滿殘缺的部分？？

可以看出第一，第四種形狀可以滿足要求。下面可以看到求解靜電場(chǎng)的問題與此問題類似。2.8.2分離變量法求解二維拉氏方程分離變量法的主要思想：將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開來(lái)，從而原方程拆分成多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含1個(gè)自變量的常微分方程；運(yùn)用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個(gè)齊次的或易于求解的方程；利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)、以及其他巧妙方法，求出各個(gè)方程的通解；最后將這些通解“組裝”起來(lái)。直角坐標(biāo)系中分離變量法求解令：兩邊同時(shí)除以：——三項(xiàng)中每一項(xiàng)必須是常數(shù)！令：的求解1.如果(k為正實(shí)數(shù))2.如果3.如果(k為正實(shí)數(shù))直角坐標(biāo)中解的形式的選擇確定Y和Z通解的步驟類似最后再將X、Y、Z的通解“組裝”在一起最后代入邊界條件確定待定常數(shù)例2-15.解直角坐標(biāo)系下的二維拉氏方程簡(jiǎn)化的步驟：判斷解的形式有界：正余弦和雙曲函數(shù)；無(wú)界：指數(shù)函數(shù)求特征值，寫出通解形式代入邊界，求待定系數(shù)寫出問題的解什么是“鏡像法”？用適當(dāng)?shù)溺R像電荷(Image-Charges)代替邊界，求解電位分布的方法?！扮R像法”思路用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變2.8.3鏡像法MethodofImages(1)將導(dǎo)體移走,在“對(duì)稱”點(diǎn)處放置一個(gè)“像”電荷q*平面鏡像(2)仍然要滿足“導(dǎo)體板”存在時(shí)的條件,q*＝？q*＝－q邊界條件：對(duì)稱性：拉氏方程q*＝－q“像點(diǎn)”——q*：滿足“導(dǎo)體板”存在時(shí)的條件——滿足！——滿足！——滿足！球面鏡像例如：一個(gè)點(diǎn)電荷，位于接地導(dǎo)體球旁邊，球半徑為a求：球外任意點(diǎn)的電位?導(dǎo)體球上任一點(diǎn)M在所研究的區(qū)域外，用一些假想的電荷代替場(chǎng)問題的邊界，如果這些電荷和場(chǎng)原有的電荷一起產(chǎn)生的電場(chǎng)滿足原問題的邊界條件，則其電位的疊加即是我們所要求的電位解。其中的假想電荷稱為鏡像電荷。一般多是點(diǎn)電荷或線電荷。鏡像法：用于一些特殊的邊界情況，如無(wú)限大平面（地面）、球面的