2022-2023學(xué)年湖北省荊州市高三下學(xué)期期中(第三次月考)考試數(shù)學(xué)試題_第1頁
2022-2023學(xué)年湖北省荊州市高三下學(xué)期期中(第三次月考)考試數(shù)學(xué)試題_第2頁
2022-2023學(xué)年湖北省荊州市高三下學(xué)期期中(第三次月考)考試數(shù)學(xué)試題_第3頁
2022-2023學(xué)年湖北省荊州市高三下學(xué)期期中(第三次月考)考試數(shù)學(xué)試題_第4頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年湖北省荊州市高三下學(xué)期期中(第三次月考)考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.2.在三棱錐中,,,,,點(diǎn)到底面的距離為2,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.3.若不等式對于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實數(shù),則等于()A. B. C. D.5.三棱錐的各個頂點(diǎn)都在求的表面上,且是等邊三角形,底面,,,若點(diǎn)在線段上,且,則過點(diǎn)的平面截球所得截面的最小面積為()A. B. C. D.6.設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),若,則的值為()A.1 B. C. D.7.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且8.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.49.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.10.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.12.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y14.在中,內(nèi)角所對的邊分別是,若,,則__________.15.已知函數(shù)f(x)=axlnx﹣bx(a,b∈R)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y=3x﹣e,則a+b=_____.16.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè),過點(diǎn)的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)在區(qū)間上變動時,求中點(diǎn)的軌跡;(2)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,求的周長(用表示),并寫出時該周長的具體取值.18.(12分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個零點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)某大型公司為了切實保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查,為此需要抽驗1000人的血樣進(jìn)行化驗,由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個人的血分別化驗,這時需要驗1000次.方案②:按個人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗,如果每個人的血均為陰性,則驗出的結(jié)果呈陰性,這個人的血只需檢驗一次(這時認(rèn)為每個人的血化驗次);否則,若呈陽性,則需對這個人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗,這樣,該組個人的血總共需要化驗次.假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨(dú)立.(1)設(shè)方案②中,某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為,求的分布列;(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時,各需化驗的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))20.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時,對于任意,當(dāng)時,不等式恒成立,求出實數(shù)的取值范圍.21.(12分)記為數(shù)列的前項和,N.(1)求;(2)令,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求其前項和.22.(10分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.(1)求的值;(2)動點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】因為,所以的虛部是,故選C.2、C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定,由此可知為三棱錐外接球的球心,在中,可以算出的一個表達(dá)式,在中,可以計算出的一個表達(dá)式,根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑,進(jìn)而求出球的表面積.【詳解】取中點(diǎn),由,可知:,為三棱錐外接球球心,過作平面,交平面于,連接交于,連接,,,,,,為的中點(diǎn)由球的性質(zhì)可知:平面,,且.設(shè),,,,在中,,即,解得:,三棱錐的外接球的半徑為:,三棱錐外接球的表面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題,求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.3、C【解析】

試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,即可得到結(jié)論.解:不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,]成立,等價于a≥-x-對于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點(diǎn):不等式的應(yīng)用點(diǎn)評:本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題4、A【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡,由于為純虛數(shù),則化簡后的復(fù)數(shù)形式中,實部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù),所以,得所以.故選A項【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,純虛數(shù)的概念,屬于簡單題.5、A【解析】

由題意畫出圖形,求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑,再求出外接球球心到D的距離,利用勾股定理求得過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑,則答案可求.【詳解】如圖,設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=取SA中點(diǎn)E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以O(shè)D=.則過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題,還考查了求截面的最小面積,屬于較難題.6、B【解析】

設(shè),通過,再利用向量的加減運(yùn)算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識,利用向量共線及向量運(yùn)算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.7、D【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,根據(jù)三視圖的長度,進(jìn)一步求出個各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線,屬中檔題.9、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積,再計算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于容易題.11、D【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出,再寫出,進(jìn)而求出.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

過作于,連接,易知,,從而可證平面,進(jìn)而可知,當(dāng)最大時,取得最大值,取的中點(diǎn),可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因為,所以平面,所以,當(dāng)最大時,取得最大值,取的中點(diǎn),則,所以,因為,所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上(不在左右頂點(diǎn)),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.14、【解析】

先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查兩角和的正弦公式,考查三角形的內(nèi)角和定理,屬于中檔題.15、0【解析】

由題意,列方程組可求,即求.【詳解】∵在點(diǎn)處的切線方程為,,代入得①.又②.聯(lián)立①②解得:..故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè),判斷為偶函數(shù),考慮x>0時,的解析式和零點(diǎn)個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設(shè),則在是偶函數(shù),當(dāng)時,,由得,記,,,故函數(shù)在增,而,所以在減,在增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此的圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)問題,涉及構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,以及化簡運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)的周長為,時,的周長為【解析】

(1)設(shè)的方程為,根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設(shè)?坐標(biāo)分別是?,利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)可得,再利用弦長公式即可求解.【詳解】(1)設(shè)的方程為于是聯(lián)立設(shè)?坐標(biāo)分別是?則設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則消去參數(shù)得:(2)設(shè),,由拋物線定義知,,∴由(1)知∴,,的周長為時,的周長為【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)的軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義、弦長公式,考查了計算能力,屬于中檔題.18、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】

(1)當(dāng)a=2時,求出,求解,即可得出結(jié)論;(2)函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)等價于a=2x在上有兩解,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù),可分析求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)a=2時,定義域為,則,令,解得x1,或x1(舍去),所以當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增;故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,(2)設(shè),函數(shù)g(x)在上有兩個零點(diǎn)等價于在上有兩解令,,則,令,,顯然,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時,有,即,當(dāng)時,有,即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,時,取得極小值,也是最小值,即,由方程在上有兩解及,可得實數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.19、(1)分布列見解析;(2)406.【解析】

(1)計算個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽性反應(yīng)的概率為,得到分布列.(2)計算,代入數(shù)據(jù)計算比較大小得到答案.【詳解】(1)設(shè)每個人的血呈陰性反應(yīng)的概率為,則.所以個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽性反應(yīng)的概率為.依題意可知,,所以的分布列為:(2)方案②中.結(jié)合(1)知每個人的平均化驗次數(shù)為:時,,此時1000人需要化驗的總次數(shù)為690次,時,,此時1000人需要化驗的總次數(shù)為604次,時,,此時1000人需要化驗的次數(shù)總為594次,即時化驗次數(shù)最多,時次數(shù)居中,時化驗次數(shù)最少,而采用方案①則需化驗1000次,故在這三種分組情況下,相比方案①,當(dāng)時化驗次數(shù)最多可以平均減少次.【點(diǎn)睛】本題考查了分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.20、(1)極小值為,極大值為.(2)【解析】

(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù),再對函數(shù)求導(dǎo),即可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)題意,對目標(biāo)式進(jìn)行變形,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可求得結(jié)果.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,,,可知,,解得,,可知在,時,,函數(shù)單調(diào)遞增,在時,,函數(shù)單調(diào)遞減,可知函數(shù)的極小值為,極大值為.(2)可以變形為,可得,可知函數(shù)在

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