高考數(shù)學(xué)練習(xí)題目詳解42數(shù)列應(yīng)用題的解法

【知識(shí)要點(diǎn)】一、數(shù)列的應(yīng)用主要是從實(shí)際生活中抽象出一個(gè)等差、等比的數(shù)列問(wèn)題解答，如果不是等差等比數(shù)列的，要轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列的問(wèn)題來(lái)解.二、與增長(zhǎng)量和降低量有關(guān)的問(wèn)題一般是等差數(shù)列，與增長(zhǎng)率和降低率有關(guān)的問(wèn)題一般是等比數(shù)列三、單利問(wèn)題：設(shè)本金為

，期利率為r

，則

期后本利和

nr)

，對(duì)應(yīng)的是等差數(shù)列；復(fù)利問(wèn)題：設(shè)本金為

，期利率為r

，則n期本利和p)n

n

，對(duì)應(yīng)的是等比數(shù)列.四、數(shù)列的問(wèn)題注意弄清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、首項(xiàng)、公差和公比.【方法講評(píng)】方法一使用情景解題步驟

等差數(shù)列與等差數(shù)列有關(guān)一般先判斷和證明數(shù)列是等差數(shù)列，再確定等差數(shù)列的相關(guān)元素，利用等差數(shù)列的性質(zhì)解答【例1】某地為了防止水土流失植樹(shù)造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：新植畝數(shù)沙地畝數(shù)

年100025200

年140024000

2005年180022400而一旦植完，則不會(huì)被沙.問(wèn)）每年沙化的畝數(shù)為多少2）到那一年可綠化完全部荒沙地？

（）設(shè)2005年及其以后各年造林畝數(shù)分別為a、、2

、…，則點(diǎn)評(píng)）利用等差數(shù)列的性質(zhì)解答，首先要判斷和證明數(shù)列是等差數(shù)列利等差數(shù)列的性質(zhì)解答時(shí)，一定要弄清數(shù)列的首項(xiàng)、公差和首項(xiàng)等，要分清是數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題還是數(shù)列的求和問(wèn).【反饋檢測(cè)1】杭州某通訊設(shè)備為適應(yīng)市場(chǎng)需求，提高效益，特投98萬(wàn)引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備奔騰6號(hào)并馬上投入生第一年需要的各種費(fèi)用是12萬(wàn)，從第二年開(kāi)始，所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬(wàn)，而每年因引入該設(shè)備可獲得的年利潤(rùn)為50萬(wàn).請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決下列問(wèn)題）引該設(shè)備多少年后，開(kāi)始盈利？（2）進(jìn)該設(shè)備若干年后，有兩種處理方案：第一種：年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出；第二種：盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài).問(wèn)哪種方案較為合算？并說(shuō)明理由方法二使用情景解題步驟

等比數(shù)列與等比數(shù)列有關(guān)一般先判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列，再確定等比數(shù)列的相關(guān)元素，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解答【例2】商學(xué)院為推進(jìn)后勤社會(huì)改革，與桃園新區(qū)商定：由該區(qū)向建設(shè)銀行貸500萬(wàn)元在桃園新區(qū)為學(xué)院建一棟可容納一千人的學(xué)生公寓，工程于2002年動(dòng)工，年底竣工并交付使用，公寓管理處采用收費(fèi)還貸償還建行貸款（年利率％，按復(fù)利計(jì)算所費(fèi)

用除去物業(yè)管理費(fèi)和水電費(fèi)18萬(wàn)元．其余部分全部在年底還建行貸款．（）公寓收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為每生每年800元，問(wèn)到哪一年可償還建行全部貸款；（）公寓管理處要在2010年把貸款全部還清，則每生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是多少元（精確到元據(jù)：lg1.73430.2391,lg1.050.0212，1.05＝1.4774）【解析】依意，公寓2002年建成2003年始使用．（）公寓投入使用后n年償還全部貸款，則公寓每年收費(fèi)總額為100080（元）＝800000（）80萬(wàn)，扣除18萬(wàn)，可償還貸款萬(wàn)元．依題意有

62[1

2n

]

n

．化簡(jiǎn)得

nn

．∴

1.7343

．兩邊取對(duì)數(shù)整理得

n

0.0212

．∴取

＝12（年∴到2014年底可全部還清貸．【點(diǎn)評(píng)）銀行的單利問(wèn)題和利問(wèn)題，要理解清.利是一個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題，復(fù)利是一個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題（）用比數(shù)列的性質(zhì)解答，首先要判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）用等比數(shù)列的性質(zhì)解答時(shí)，一定要弄清數(shù)列的首項(xiàng)、公比和首項(xiàng)等，要分清是數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題還是數(shù)列的求和問(wèn).學(xué)#【反饋檢測(cè)2】為促進(jìn)個(gè)人住房品化的進(jìn)程，我國(guó)1999元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：貸款期年數(shù))

公積金貸款

月利率‰

商業(yè)性貸款

月利率‰………………

1112131415……

4.3654.4554.5454.6354.725……

5.0255.0255.0255.0255.025……汪先生家要購(gòu)買(mǎi)一套商品房，計(jì)劃貸款25萬(wàn)元，其中公積金貸款10萬(wàn)，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬(wàn)元分十五還清．每種貸款分別按月等額還款，問(wèn)：(1)汪先生家每月應(yīng)還款多少?(2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多?(參考數(shù)據(jù)：1.004455＝，1.005025＝2.05811.005025＝2.4651)方法三使用情景解題步驟

構(gòu)造等差等比數(shù)列一般是非等差等比數(shù)列，但可以轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù).先通過(guò)題目構(gòu)造一個(gè)等差或等比數(shù)列，再利用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解.【例】2008年底某縣的綠化面積占全總面積的

0

％，從年始計(jì)每年將綠化面積的8％綠化,由于修路蓋房等用原有綠化面積的％被非綠化⑴設(shè)該縣的總面積為1年綠化面積為

,經(jīng)過(guò)年綠化的面積為

,試用a表示a

；⑵求數(shù)列

項(xiàng)

；⑶至少需要多少年的努力,才能使綠化率超過(guò)

60%(參考數(shù)據(jù)lg20.3010,0.4771

)

⑵

4a()

.數(shù)列

4是公比為,首55

的等比數(shù)列∴a

)()

.⑶

939)()n(),102【點(diǎn)評(píng)）構(gòu)造數(shù)列關(guān)鍵是從知條件入手找到數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)要弄清.【反饋檢測(cè)3】某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進(jìn)行著艱苦的斗爭(zhēng)，到2000年全縣的綠地已占全縣總面積的30%．從2001年起，市政府決定加大植樹(shù)造林、開(kāi)辟綠地的力度則年有16%的原沙漠地帶成了綠地但同時(shí)原有綠地的4%又被侵蝕變了沙漠．（Ⅰ）在這種政策之下，是否有可能在將來(lái)的某一年，全縣綠地面積超過(guò)8？（Ⅱ）至少在多少年底，該縣的綠地面積才能超過(guò)全縣總面積的60%？

高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解歸納及反饋檢測(cè)第42講：數(shù)列應(yīng)用題的解法參答案【反饋檢測(cè)1答）年開(kāi)始盈利采用方案一合.【反饋檢測(cè)2答）汪先生前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元）當(dāng)月還款元學(xué)科#網(wǎng)【反饋檢測(cè)2詳解析】設(shè)月利率為，月還款數(shù)為元總貸款數(shù)為

元，還款期限為

月第1月末欠款數(shù)：A(1)第2月末欠款數(shù)：

[A(1x)a](1x)

2

(1)第3月末欠款數(shù)：[(1

2

))(1)

3

2

(1)……第n月欠款數(shù)

A(1)(1r)r)

(1r)

得：rar)(1)對(duì)于12年的萬(wàn)貸款r

4.455‰

1.004455

1.004455

942.37對(duì)于年期15萬(wàn)貸款，

，r

＝5.025‰∴

a

0.005025

1268.22由此可知生家前12年月款942.371268.22＝元年月還款元．(2)至12年末，汪先生家按計(jì)劃款以后還欠商業(yè)貸款X)

(1)

(1)

)

其中A＝150000，a＝，r＝

105110515.025‰∴

＝41669.53再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)元，當(dāng)月共還款43880.12元．【反饋檢測(cè)3答）于意

，均有a

．即全縣綠地面積不可能超過(guò)總面積的80%）2005年，全縣地面積才開(kāi)始超過(guò)總面積的60%．由題可知：0

，

4所以，當(dāng)

時(shí)，

，兩式作差得：

又

a

44a525

，所以，數(shù)列

n

1

為首項(xiàng)，以為比的等比數(shù)列．5所以

1(1())3414)41025

由上式可知：對(duì)于任意nN，均有a

．即全縣綠地面積不可能超過(guò)總面積的80%（Ⅱ）令

，得()

，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：

n

隨