《自動(dòng)化控制原理與系統(tǒng)》第四章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

自動(dòng)化控制原理與系統(tǒng)1自動(dòng)控制的基本概念系統(tǒng)框圖第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.1典型控制過程及性能指標(biāo)4.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.4系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.5穩(wěn)定性能的時(shí)域分析控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

時(shí)域分析法是對(duì)于線性定常系統(tǒng)，基于系統(tǒng)的微分方程，利用拉普拉斯變換直接求解控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，并利用響應(yīng)表達(dá)式及響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性、平穩(wěn)性、快速性、準(zhǔn)確性等。本章介紹時(shí)域分析法，主要包括：典型輸出信號(hào)及時(shí)間響應(yīng)；系統(tǒng)穩(wěn)定性分析；一階、二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析；穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析。典型控制工程及性能指標(biāo)4.1

一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)c(t),既取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，又與系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及作用于系統(tǒng)上的外作用有關(guān)。為了在同一條件下分析和評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能，規(guī)定對(duì)以下典型初始狀態(tài)、典型輸入信號(hào)作用所產(chǎn)生的典型響應(yīng)過程，進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)。4.1.1典型初始狀態(tài)規(guī)定控制系統(tǒng)初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在t=0-時(shí)有

表示在輸入信號(hào)駕馭系統(tǒng)的瞬時(shí)（t=0-）之前，系統(tǒng)相對(duì)靜止，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零。第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法典型控制工程及性能指標(biāo)4.1

典型輸入信號(hào)作用是對(duì)眾多復(fù)雜的實(shí)際信號(hào)的一種近似和抽象，它的選擇應(yīng)使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)便且便于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。常用的典型輸入信號(hào)如下：4.1.2典型輸入信號(hào)第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法圖4-1典型輸入信號(hào)(a)階躍信號(hào)(b)斜坡信號(hào)(c)拋物線信號(hào)(d)(e)脈沖信號(hào)（b）（c）（d）（a）（e）典型控制工程及性能指標(biāo)4.14.1.2典型輸入信號(hào)1階躍信號(hào)及其時(shí)間響應(yīng)第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法典型控制工程及性能指標(biāo)4.12斜坡信號(hào)第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.1.2典型輸入信號(hào)典型控制工程及性能指標(biāo)4.13拋物線信號(hào)第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.1.2典型輸入信號(hào)典型控制工程及性能指標(biāo)4.14脈沖信號(hào)第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

脈沖信號(hào)又稱沖擊信號(hào)。在實(shí)際物理系統(tǒng)中，沖擊信號(hào)常用一種平頂窄脈動(dòng)信號(hào)表示，如圖4-1（d）所示。其定義為（d）式中，R為常數(shù)，等于矩形脈沖的面積，表示沖擊作用的強(qiáng)度。這類信號(hào)的函數(shù)值與ε、R均有關(guān)，但當(dāng)ε0時(shí)，不論R取何值，其函數(shù)值趨于。因此用一般函數(shù)的概念很難表示這類沖擊函數(shù)在極限情況下的強(qiáng)弱，它屬于廣義函數(shù)，只能用其面積大小來衡量?！?.1.2典型輸入信號(hào)典型控制工程及性能指標(biāo)4.1第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法（e）4.1.2典型輸入信號(hào)典型控制工程及性能指標(biāo)4.14.1.3階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，從時(shí)間的順序上，可分為動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個(gè)過程。動(dòng)態(tài)過程指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。通過研究它可評(píng)價(jià)系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性。穩(wěn)態(tài)過程指時(shí)間t趨于無窮時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)狀態(tài)。通過研究它可評(píng)價(jià)系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。典型控制工程及性能指標(biāo)4.1第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.1.3階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)

通常以階躍響應(yīng)來衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義時(shí)域性能指標(biāo)。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)如下圖所示：（1）延遲時(shí)間tα。指單位階躍響應(yīng)曲線c(t)上升到其穩(wěn)態(tài)值的50%所需時(shí)間。（2）上升時(shí)間tr。指單位階躍響應(yīng)曲線c(t)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需時(shí)間（對(duì)欠阻尼系統(tǒng)，指從零上升到穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間）。（3）峰值時(shí)間tp。指單位階躍響應(yīng)曲線c(t)超過其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。典型控制工程及性能指標(biāo)4.1第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.1.3階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)典型控制工程及性能指標(biāo)4.1第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.1.3階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)上述六項(xiàng)性能指標(biāo)中，延遲時(shí)間tα、上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp系統(tǒng)響應(yīng)初始速度反映調(diào)節(jié)時(shí)間ts系統(tǒng)的快速性反映系統(tǒng)響應(yīng)過程的平穩(wěn)性反映穩(wěn)態(tài)誤差ess系統(tǒng)的準(zhǔn)確性反映超調(diào)量σ%一階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.2第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法一階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.2第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法一階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.2第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法1典型二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法1典型二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法2典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析主要研究二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。由于閉環(huán)系統(tǒng)特征根與阻尼比有密切的關(guān)系，阻尼比不同，單位階躍響應(yīng)的響應(yīng)曲線也不同，如圖4-7所示。圖4-7響應(yīng)曲線二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法2典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

表4-1給出了二階系統(tǒng)特征根在s平面上的位置及結(jié)構(gòu)參數(shù)ξ、ωn與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系。阻尼系數(shù)特征方程根在復(fù)平面上的位置單位階躍響應(yīng)表4-1典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法2典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)阻尼系數(shù)特征方程根在復(fù)平面上的位置單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法2典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)阻尼系數(shù)特征方程根在復(fù)平面上的位置單位階躍響應(yīng)

由上表可以看出，ξ越小，系統(tǒng)響應(yīng)的振蕩越激烈。當(dāng)ξ≥1時(shí)，c(t)變成單調(diào)上升，成為非振蕩過程。二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

下面以欠阻尼二階系統(tǒng)為例，討論其性能指標(biāo)。欠阻尼二階系統(tǒng)的特征根和特征量的關(guān)系如下圖4-8所示。圖4-8

欠阻尼二階系統(tǒng)特征根與特征量由圖可知，衰減系數(shù)σ是閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離；振蕩頻率ωd是閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離；無阻尼系數(shù)振蕩頻率ωn是閉環(huán)極點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；若直線Os1與負(fù)實(shí)軸的夾角為φ，則阻尼比等于φ角的余弦，即

此φ角為欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的初相位。二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)欠阻尼的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征根為其單位階躍響應(yīng)象函數(shù)為二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)由拉氏變換求得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：化簡(jiǎn)成：式中：（4.23）（4.24）把式（4.22）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，得：二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1峰值時(shí)間tp整理得：由定義，tp為第一個(gè)峰值所需的時(shí)間，取n=1，得（4.33）（4.35）二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)2超調(diào)量σ％當(dāng)t=tp時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)最大值，把式（4.33）代入到（4.22），得由式（4.35）可見，僅與阻尼比有關(guān)，越小，越大。σ％σ％二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)σ％與關(guān)系如圖4-9所示。σ％圖4-9二階系統(tǒng)最大超調(diào)量

和間的關(guān)系二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)3上升時(shí)間tr

根據(jù)定義，當(dāng)t=tr時(shí)，c(tr)=1，由欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式（4.22）得：即二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)即

由定義可知，上升時(shí)間為第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，取n=1，則或

增大自然振蕩頻率ωd或減小阻尼比ξ，均能減小tr，從而加快系統(tǒng)的初始響應(yīng)速度。二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)4調(diào)整時(shí)間ts

根據(jù)定義，調(diào)整時(shí)間ts應(yīng)由下式求得：

但由于上式求解十分困難，我們用衰減正弦振蕩的包絡(luò)線近似的代替正弦衰減振蕩，描述單位階躍響應(yīng)c(t)的包絡(luò)線b(t)為響應(yīng)曲線總是在上下包絡(luò)線之間，故將上式（4.38）近似寫成（4.38）二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)即由于系統(tǒng)阻尼較小，對(duì)于，有對(duì)于，有（4.41）由式（4.41）可知，調(diào)整時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部數(shù)值成反比，即極點(diǎn)距虛軸較遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間較短。二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4.3第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)5振蕩次數(shù)N由c(t)可知阻尼振蕩的周期Td，則振蕩次數(shù)為：由式（4.24）可知阻尼振蕩的周期所以振蕩次數(shù)見下式（4.42），二階系統(tǒng)的振蕩次數(shù)N與ξ的關(guān)系如圖4-10所示。（4.42）圖4-10二階系統(tǒng)的振蕩次數(shù)N與ξ之間的關(guān)系系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.1穩(wěn)定的基本概念

設(shè)系統(tǒng)處于某種平衡狀態(tài)，由于擾動(dòng)的作用，系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，但當(dāng)擾動(dòng)消失后，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間，系統(tǒng)恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性，否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身固有的特性，與初始條件及輸入信號(hào)無關(guān)。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.1穩(wěn)定的基本概念系統(tǒng)的穩(wěn)定性絕對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性使之系統(tǒng)穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）的條件，即形成如圖4.15（b）所示狀況的充要條件。系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。例如，圖4.15（a）所示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就明顯好于如圖（b）所示的系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

圖4.15自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定（a）相對(duì)穩(wěn)定性好（b）相對(duì)穩(wěn)定性差4.4.1穩(wěn)定的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

穩(wěn)定是自動(dòng)控制系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。

由上圖4.15可見，穩(wěn)定的系統(tǒng)，其過渡過程是收斂的，也就是說，其輸出量的動(dòng)態(tài)分量必須漸趨于零。用數(shù)學(xué)的方法來研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性則可以根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)在平面內(nèi)的位置予以確定。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于左半平面。

系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)實(shí)際上是一個(gè)代數(shù)判據(jù)，用于分析在一個(gè)多項(xiàng)式方程中，是否存在不穩(wěn)定根，而不必實(shí)際求解這一方程式。該判據(jù)是根據(jù)特征方程的系數(shù)，直接判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。它的應(yīng)用只能限于有限項(xiàng)多項(xiàng)式中。勞斯判據(jù)的應(yīng)用過程：1列多項(xiàng)式方程（4.43）式中的系數(shù)為實(shí)數(shù)。假設(shè)，即排除掉任何零根的情況。2所有系數(shù)均為正是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3列勞斯行列表并計(jì)算4.4.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)如果所有的系數(shù)都為正，則多項(xiàng)式的系數(shù)排列成為如下的勞斯行列表：勞斯行列表中從第三行開始的系數(shù)根據(jù)下列公式求得：每行系數(shù)用前兩行系數(shù)交叉相乘，直至計(jì)算到該行其余值全為零為止。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)4判斷穩(wěn)定性按行列表第一列系數(shù)符號(hào)確定根的分布。（1）若符號(hào)全為正，則特征根均在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。這也是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。（2）若符號(hào)不全為正，則特征根存在正實(shí)部根，其正根數(shù)等于符號(hào)改變的次數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.4兩種特殊情況如果某一行中的第一列項(xiàng)等于零，但其余各項(xiàng)不全等于零或沒有其余項(xiàng)，這時(shí)下一行元來素則變成無窮大，無法進(jìn)行勞斯檢驗(yàn)。如要繼續(xù)進(jìn)行，則可用一個(gè)很小的正數(shù)ε來代替為零的項(xiàng)，使勞斯表繼續(xù)下去。1例.設(shè)系統(tǒng)的特征方程為，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：寫勞斯行列表為由于，第一列系數(shù)沒有變號(hào)，雖然沒有右半平面的根，但實(shí)際上存在一對(duì)虛根，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法如果某一行的所有系數(shù)都等于零，勞斯檢驗(yàn)也無法進(jìn)行。這種情況表明在平面內(nèi)可能存在等值反號(hào)的實(shí)根、虛根或共軛復(fù)根對(duì)。這些根的特點(diǎn)是以原點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)，成對(duì)稱形式存在。由于這類根的存在，系統(tǒng)肯定是不穩(wěn)定的，若要檢驗(yàn)根的分布情況，可用緊靠零行上方的那行系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式（對(duì)應(yīng)這個(gè)多項(xiàng)式方程的根即為上述那些等值反號(hào)的根，故該方程的階次與這些根的個(gè)數(shù)相等，且必是偶次的），并用該多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)代替全零行組成陣列的下一行，使勞斯檢驗(yàn)繼續(xù)下去。24.4.4兩種特殊情況系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法例.設(shè)系統(tǒng)的特征方程為，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：寫勞斯行列表為

可以看出，第一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)正實(shí)部的根。若通過解輔助多項(xiàng)式方程：，可得到等值反號(hào)的對(duì)根：，。顯然，系統(tǒng)不穩(wěn)定的主要原因是一個(gè)正根，其次有一對(duì)虛根。輔助多項(xiàng)式對(duì)s求導(dǎo)構(gòu)成新行4.4.4兩種特殊情況系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.5勞斯穩(wěn)定判據(jù)在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

勞斯穩(wěn)定判據(jù)的一個(gè)重要應(yīng)用就是可以通過檢查系統(tǒng)的參數(shù)值，確定一個(gè)或兩個(gè)系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，界定參數(shù)值的穩(wěn)定范圍問題。例.已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4.16所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。圖4.16系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)穩(wěn)定性分析4.4第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.4.5勞斯穩(wěn)定判據(jù)在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

解：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征方程式為寫勞斯行列表為為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，K必須為正值，并且第一列中所有系數(shù)必須為正值。因此0<K<6。當(dāng)K=6時(shí)，為臨界K值。由前分析，此時(shí)系統(tǒng)存在虛根，使系統(tǒng)變?yōu)槌掷m(xù)的等幅振蕩。穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念

控制系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，其輸出量一般都包含著兩個(gè)分量，一個(gè)是穩(wěn)態(tài)分量，另一個(gè)是暫態(tài)分量。

暫態(tài)分量反映了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時(shí)間的推移，將逐漸減小并最終趨向于零。

穩(wěn)態(tài)分量反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，即反映控制系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)和抑制擾動(dòng)信號(hào)的能力和準(zhǔn)確度。

穩(wěn)態(tài)性能的優(yōu)劣一般是根據(jù)系統(tǒng)反映某些典型輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差來評(píng)價(jià)的。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，除了首先要保證系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行外，其次就是要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小于規(guī)定的允許值。穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念控制系統(tǒng)的誤差有兩種定義方法：（1）系統(tǒng)誤差，定義為：給定信號(hào)與主反饋信號(hào)之差，即（4.44）（2）系統(tǒng)誤差，定義為：系統(tǒng)內(nèi)應(yīng)的希望值與實(shí)際值之差，即（4.45）穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念通常以偏差信號(hào)來確定希望值，即(4.46)

第一種方法定義誤差是由系統(tǒng)輸入端定義的，又稱為偏差，在實(shí)際系統(tǒng)是可以測(cè)量的，因而，具有一定的物理意義。第二種方法定義的誤差是由系統(tǒng)的輸出端定義，在性能指標(biāo)提法中常用到，但在實(shí)際系統(tǒng)中是無法測(cè)量的，因而只有數(shù)學(xué)意義。由上述可知：從輸入端定義誤差與從輸出端定義誤差具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。故本書以下敘述的誤差均采用從輸入端定義的誤差，如圖4.15所示。穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念（3）穩(wěn)態(tài)誤差，定義為：當(dāng)時(shí)間時(shí)，穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值，即由拉氏終值定理得（4.47）圖4.15控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.2系統(tǒng)類型由于穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及輸入信號(hào)的形式有關(guān)，對(duì)于一個(gè)給定的穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)形式為：（4.48）式中：——開環(huán)傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目(或稱無差度)?？刂葡到y(tǒng)按的不同值可分為：(1)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是0型系統(tǒng)(有差系統(tǒng))；(2)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)(一階無差系統(tǒng))；(3)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是Ⅱ型系統(tǒng)(二階無差系統(tǒng))：(4)大于2的系統(tǒng)很少見。的大小反映了系統(tǒng)跟蹤階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)、拋物線輸入信號(hào)的能力。系統(tǒng)的無差度越高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小，但穩(wěn)定性變差。穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.3參考輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在圖4.16中，參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(又稱為跟隨穩(wěn)態(tài)誤差)為：（4.49）圖4.16閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.3參考輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差1階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位量誤差系數(shù)在單位階躍輸入下，，由輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為

令，稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差可寫成（4.50）對(duì)于不同的類型的系統(tǒng)，相應(yīng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差如下：對(duì)于0型系統(tǒng)：,對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：，對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：，穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.3參考輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

令，稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：（4.51）2斜坡(等速)輸入信號(hào)作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差與速度誤差系數(shù)在單位斜坡輸入信號(hào)作用下，，由輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)于不同的類型的系統(tǒng)，相應(yīng)的速度誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差如下：對(duì)于0型系統(tǒng)：,對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：，對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：，由此可知，0型系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)正常跟蹤斜坡函數(shù)輸入。穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.3參考輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

令，稱為系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：（4.52）在單位拋物線輸入信號(hào)作用下，，由輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為可見，加速度函數(shù)輸入時(shí)0型和Ⅰ型系統(tǒng)皆無法正常工作，其穩(wěn)態(tài)誤差趨于無窮大。3拋物線(加速度)輸入信號(hào)作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差與加速度誤差系數(shù)對(duì)于不同的類型的系統(tǒng)，相應(yīng)的加速度誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差如下：對(duì)于0型系統(tǒng)：,對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：，對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：，穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.3參考輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差現(xiàn)將三種典型輸入信號(hào)作用下，0型、Ⅰ型和Ⅱ型三種類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差列于表3.2中。表3.2誤差系數(shù)、穩(wěn)態(tài)誤差、系統(tǒng)型號(hào)及參考輸入的關(guān)系系統(tǒng)類型誤差系數(shù)單位階躍輸入單位斜坡輸入單位拋物線輸入0型00∞∞Ⅰ型∞00∞Ⅱ型∞∞00可知，在相同的輸入信號(hào)作用下，增大系統(tǒng)的型號(hào)和開環(huán)放大系數(shù)可以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析4.5第四章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法4.5.4擾動(dòng)輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

擾動(dòng)輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差又稱為擾動(dòng)誤差。圖4.17所示框圖中擾動(dòng)量為。圖4.17有擾動(dòng)的控制系統(tǒng)誤差信號(hào)為還可寫成擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為(4.54)(4.55)