高中數(shù)學(xué)專題08外接球與內(nèi)切球

專題08外接球與內(nèi)切球技巧導(dǎo)圖技巧詳講一．外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)說(shuō)明：r為底面外接圓的半徑，R為球的半徑，l為兩面公共邊的長(zhǎng)度為兩個(gè)面的二面角，h是空間幾何體的高，H為某一面的高1.墻角模型(1)使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長(zhǎng)方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合（2）推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑a2b2c23aR2(a正方體的邊長(zhǎng)）2R2(a、b、c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高）(2)秒殺公式：（4）圖示過(guò)程44(3)秒殺公式：2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步：取底面的外心O，過(guò)外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置1,h2Rr22第二步：根據(jù)勾股定理可得4h2Rr22（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程43.斗笠模型（1）使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步：取底面的外心第二步：在O，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)1,h上取一點(diǎn)作為球心OrR2h2h2R22(hR)r2第三步：根據(jù)勾股定理r2h2h2R（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程24.折疊模型（1）使用范圍：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步：過(guò)兩個(gè)平面取其外心H、H，分別過(guò)兩個(gè)外心做這兩個(gè)面的垂線且垂線相交于球心2O1=(CE-HE)2tan22(Hr)2tan(為兩個(gè)平面的二面角）OH2HE2gtan21第二步：計(jì)算第三步：22211OC2OH2CH2(Hr)12tan2r221r22R2(Hr)2tan2（3）秒殺技巧：（4）圖示過(guò)程5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐（2）推導(dǎo)過(guò)程：第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心取BC的中點(diǎn)為F、N，過(guò)兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O，M，連接FM、MN、OF、ONl2QONMF為矩形由勾股可得OA2AN2ON2AN2MFRrr22222第二步：41l2Rrr222（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程41236.麻花模型（1）使用范圍：對(duì)棱相等的三棱錐（2）推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)3組對(duì)棱的長(zhǎng)度分別為x、y、z,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、cxab222x2y2z2y2b2c2R28z2a2c2x2y2z2R2（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程87.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個(gè)平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導(dǎo)過(guò)程：根據(jù)球的定義可知一個(gè)點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等該點(diǎn)為球心可得，斜邊為球的直徑l2R2（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程448.鱷魚模型（1）使用范圍：適用所有的棱錐（2）推導(dǎo)過(guò)程：O、O且過(guò)兩外心做這兩面的垂線相交于球心2O第一步：在兩個(gè)平面上分別找外心1OO第二步：QOOOE四點(diǎn)共圓，正弦定理可得OE=22r=(1）12sin1在OOE中，12OO2=OE2OE2OEOEcos（2）2122121ODOOOD3222（）11第三步：由（1）（2）（3)整理可得ODOOOD22211=OEOEOD22211OOOEOD222112sin21OE2OE2OEOEcos221sin221OEOD2211OE2OE2OEOEcos221sin=21OEOB22211OE=m，OE=n，AB=l,兩個(gè)面的二面角為1第四步：設(shè)2m2n22mncosl2+R2=由第三步可得sin24（3）秒殺公式：m2n22mncosl+2R2=sin24（4）圖示過(guò)程5二．內(nèi)切球的半徑---等體積法1.推導(dǎo)過(guò)程以三棱錐P-ABC為例11ShRS131313VRSRSRS33PABCPABPACPBCABC底面13=R(SSSS)PACPBCPABABC1=RS3表面積3VSR=幾何體表面積3VSR=幾何體2.秒殺公式：3.圖示過(guò)程表面積特別說(shuō)明：下面例題或練習(xí)都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式6例題舉證技巧1外接球之墻角模型510，【例1】已知長(zhǎng)方體ABCDA'B'C'D'中，A'B'3，B'C'1，A'B與平面ACC'A'所成角的正弦值為則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（）16C．332D．3B．16A．4【答案】B【解析】作BEAC，垂足為，連接A'E，BE.E因?yàn)槠矫鍭BC平面ACC'A'，平面ABC平面ACC'A'AC，BE平面所以BE平面ACC'A'，所以BA'E是A'B與平面ACC'A'所成的平面角.ABC，331(3)132，A'B(3)2AA'3AA'2.所以又BEBEsinBA'EA'B5，102223AA'2解得AA'23.(23)2(3)2124.故該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R，則2R4，解得R2.所以該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為S4R242216.故選B.7【舉一反三】21．棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（）4D．43A．4B．3C．12【答案】C【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以2R23，解得R3，所以球的表面積為：S4R212.故選：C2．球面上有A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)，若AB,AC,AD兩兩垂直，且ABACAD4，則該球的表面積為（）80A．3B．32C．42D．48【答案】D【解析】由題意可知，該球是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，2R424242,據(jù)此可得：R212，外接球的表面積為：R設(shè)球的半徑為，由題意可得：2S4R241248.本題選擇D選項(xiàng).技巧2外接球之漢堡模型【例2】已知四棱錐ABCDE中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB3且AB平面BCDEBCDE，則該四棱錐外接球的表面積為（）17B．4C．17D．8A．4【答案】C【解析】由題意，四棱錐ABCDE中，四邊形BCDE是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB3且AB平面BCDE，可把四棱錐ABCDE放置在如圖所示的一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3，則四棱錐ABCDE的外接球和長(zhǎng)方體的外接球表示同一個(gè)球，172設(shè)四棱錐ABCDER的外接球的半徑為，可得2222322R，解得R，所以該四棱錐外接球的表面積為S=4R=4(217)2172.故選：C.8【舉一反三】1．）各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）高為2，體積為8，則這個(gè)球的表面積是（）A．16C．10D．8B．12【答案】B【解析】因?yàn)檎睦庵邽?，體積為8，所以它的底面邊長(zhǎng)是2，所以它的體對(duì)角線的長(zhǎng)是23，因此它的外接球的直徑是23，所以這個(gè)球的表面積是：S4(3)212.故選：B．2．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝11，則三棱錐A﹣BCD外接球的體積為（）3C．2π3D．4πA．4πB．3π【答案】DABCDABCD1中，ABCC2，BC1，點(diǎn)M在正方形CDDC內(nèi)，CM平面ACM1，3．在長(zhǎng)方體1111111則三棱錐MACC的外接球表面積為（1B．7π）111A．2πC．11πD．14π【答案】CACAD平面CDDC，CM平面CDDC，∴CMADCM平面1ACM，1中，，又【解析】長(zhǎng)方體11111111111AC1ACM1CMAC1ACADA1CM平面ACDCDACD平面，∴，∵，∴，而平面，∴1111111111CMCD，CDDC是正方形，∴M是CD與CD交點(diǎn)，即為CD的中點(diǎn)，也是11CD1的中點(diǎn)．11111△CMC1中點(diǎn)，則由EF//BC可得EF平面BBMCC（長(zhǎng)方體中棱與1是直角三角形，設(shè)E是CC1F中點(diǎn)，是1△CMC1AMCCO的外接球球心在直線11EF上（線段EFEF或的延長(zhǎng)線E相交面垂直），是的外心，三棱錐22223h(2)2(1h)2，解得h上）．設(shè)OEh，∴外接球半徑為，則2222221132211，表面積為S4r4112r2．故選：C．249ABCABC中，AA平面ABCACAB，AC1，AB3，AA2，則該三棱柱，14．三棱柱1111ABCABC的外接球的體積為（）11142821628D．A．B．C．333【答案】BO，連BC交BCO于點(diǎn)，【解析】如圖，取BC中點(diǎn)111RtABC的外接圓圓心，ACAB，O為1BC21,AB3，AC1，BC2，ABC外接圓半徑為OO//CC//AA，AA平面ABC，OO平面1ABC，1111BB又OO11，點(diǎn)O為三棱柱ABCABC的外接球球心，11121外接球半徑ROBOO2BO22，114外接球體積VR3382.故選：B.310技巧3外接球之斗笠模型【例3】正三棱錐SABC中，SA2，AB22，則該棱錐外接球的表面積為（）A．43【答案】CB．46D．C．12【解析】正三棱錐SABC中，SA2，AB22,所以SA2SB2AB2,故SASB,同理可得SASC,SBSC,以SA,SB,SC為棱構(gòu)造正方體，則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，如圖，所以(2R)222222212，故球的表面積為S4R12,故選：C2【舉一反三】1．已知正三棱錐SABC的側(cè)棱長(zhǎng)為43，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.【答案】64π【解析】過(guò)點(diǎn)S作SE平面ABCEO于點(diǎn)，記球心為.23∵在正三棱錐SABC中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為43，∴BE623，∴32SESBBE6.∵球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑22OR長(zhǎng)，∴，OBROE6R.在RtBOE中，OB2BE2OE2，即R2126R2，解得R4，∴外接球的表面積為S4R64.2故答案為：64π.2．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（）81A．427D．4B．16C．9【答案】APO4OO1PO上，記為O，PO=AO=R，，1=4-R，1【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高981R，∴球的表面積S，故選A.44AOO中，AO2，由勾股定理R224R2得在Rt△1111技巧4外接球之折疊模型A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長(zhǎng)為【例4】在三棱錐2的等邊三角形，且二面角ABDC的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）1628A．7πB．8πC．D．33【答案】D【解析】如圖，取BD中點(diǎn)H，連接AH，CH因?yàn)椤鰽BD與△CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設(shè)△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)22AH3331，EHAH3333可得AE則由AH＝223分別過(guò)E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點(diǎn)記為O，連接AO，HO，則由對(duì)稱性可得∠OHE＝60°21R＝OAAE2EO2所以O(shè)E＝1，則321284R2493則三棱錐外接球的表面積故選：D12【舉一反三】P-AB-C的大小為120°，且PABABC90，ABAP，ABBC6.若點(diǎn)P、A、B、1．已知二面角C都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為_(kāi)_____.288【答案】722．如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為3，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（）7134A．3πB．3πC．3πD．3π【答案】A【解析】取線段BC的中點(diǎn)3，由題意得D，連結(jié)BC⊥平面AD，SD，由題意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴E，F(xiàn)分別作直線垂2∠ADSADS，分別取AD，SD的三等分點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過(guò)點(diǎn)1，AD2313，6AD，DE3直于AD，SD，兩條直線的交點(diǎn)即球心O，連結(jié)OA，則球O半徑R＝|OA|，由題意知BD272AEAD33，連結(jié)33，OE31DE，∴OA2＝OE2+AE2ODEOD，在Rt△ODE中，12，27．3∴球O的表面積為S＝4πR2故選：A．13技巧5外接球之切瓜模型【例5】已知三棱錐PABC中，PA1，PB3，AB22，CACB5，面PAB面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（）14A．328B．3C．11D．12【答案】BPAB2，【解析】如圖，PA1，PB3，AB22，PAABPB，222所以△ABP的外接圓的圓心為斜邊PBNCACB5，ABC的中點(diǎn),為等腰三角形.CD，DN，CDAB，ADBD2,CDBC2BD23,ABD的中點(diǎn)，連接取又面PAB面ABC，面PAB面ABCAB，過(guò)點(diǎn)N作CDCD面ABC，CDPAB面，O的平行線，則球心一定在該直線上.O上，連接OO,的外接圓的圓心為OCD，,則點(diǎn)在ABC設(shè)111OO平面ABC，則OOND1為矩形.由球的性質(zhì)則，1585105155中，cosCABABC,則sinCAB在2522BC5532OA1sinCAB1535ABC的外接圓的半徑所以153251則ONOD1，則ODOA2AD212所以O(shè)A16122323119所以球的半徑為OPON2NP1242123212212844所以三棱錐的外接球的表面積為393故選：B14【舉一反三】1．已知三棱錐ABCD中，平面ABD平面BCD，且△ABD和△BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）16B．320D．3C．8A．4【答案】D【解析】如圖，由已知可得，△ABD與△BCD均為等邊三角形，BDG中點(diǎn)，連接AG，CG，則AGBD，取∵平面ABD平面BCD，則AG平面BCD，分別取△ABD與△BCD的外心E,F，過(guò)E,F分別作兩面的垂線，相交于，OO則為三棱錐ABCD的外接球的球心，由△ABD與△BCD2均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，1133可得OEOFCG223，33CE23223，2333ROCOE2CE2()2(23)215，3331520∴三棱錐A?BCD的外接球的表面積為4R4()23.故選：D.2315ABCD3，ACBD2，ADBC5，則四面體ABCD的外接球的中，若表面積為（）A．2C．6D．8B．4【答案】C3，【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以5為三邊的三角形作為底面，且以分別2，x，y，z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且＝3，所以球的表面積為x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得22R26．S＝4πR2＝6π．故答案為技巧7外接球之矩形模型ABCDAB2，DADBCACB1，則四面體ABCD的外接球的表面積為(【例7】在四面體中，)A．B．2C．3D．4【答案】BAB2DADBCACB1，，【解析】由CA2CB2AB2，AD2BD2AB2所以2ACBADB90，所以O(shè)AOBOCOD可得，22即O為外接球的球心，球的半徑R所以四面體ABCD的外接球的表面積為：21S4R242.故選：B2【舉一反三】SABC中，ACBC，SA平面ABC，SA6，AC7，BC3，則該四面體外接球的表1．四面體面積為（）32A．316B．3C．16D．32【答案】C【解析】如圖所示：SABSBC為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為SB與的中點(diǎn)O，由已知可得ACBC,所以AB=10,因?yàn)锳C7,BC3,且所以SBSA2AB26104,S4R216.故答案選：CSABC的外接球半徑R2,則表面積所以四面體2已知四面體ABCD滿足：ABBCCDDAAC1，BD2，則四面體ABCD外接球的表面積為_(kāi)__.【答案】2【解析】因?yàn)锳BBCCDDA1，BD2，所以BD2AB2AD2，BD2BC2CD2，所以△AB,D△CBD,OCO、AO，如圖：均為直角三角形，取斜邊BD的中點(diǎn)，連接易得COAOBODO，所以點(diǎn)為該四面體外接球的球心，O221所以球的半徑rODBD22，故其表面積S4r422.故答案為：.22217A．9:13BEa，3a【解析】如圖，正四面體ABCDO的中心即為外接球與內(nèi)切球的球心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，可得6AEa36ra121OEAE，ROAa，6，又，443a2S外S9故選：A1312S4R2a2，S4r2a2．所以126外內(nèi)a2內(nèi)6【舉一反三】1．如圖所示，球內(nèi)切于正方體．如果該正方體的棱長(zhǎng)為a，那么球的體積為（）41a3a3aB．3a33A．3C．D．62【答案】D12【解析】因?yàn)榍騼?nèi)切于正方體，所以球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的，a4aa3332所以球的半徑為，所以球的體積為2，故選：D.62．已知直三棱柱ABC-ABC的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積111NAB是底面等邊三角形的中心，點(diǎn)是底邊的中點(diǎn)，連結(jié)23a，因?yàn)槿忮F內(nèi)切球與各面33都相切，所以三棱柱的高是內(nèi)切球的直徑，底面三角形內(nèi)切圓的直徑也是三棱柱內(nèi)切球的直徑，所以3OMMNa，即三棱柱內(nèi)切球的半徑ra，AM323153a，所以O(shè)AOM2AM2a，即3334204r2a2，外接球的表面積S4R2a2，153三棱柱外接球的半徑Ra，所以內(nèi)切球的表面積為33204a2:a25:1所以三棱柱外接球和內(nèi)切球表面積的比值為33故選：D3．正三棱柱有一個(gè)半徑為3cm的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.93cm354cm327cm3183cm3D．A．B．C．【答案】B3cm的內(nèi)切球，則正三棱柱的高為23cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為【解析】∵正三棱柱有一個(gè)半徑為31a3a3，解得a6cm，3cm，設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為cm,則213∴正三棱柱的底面面積為6693cm，故此正三棱柱的體積V＝932354cm3．故選：B．222技巧強(qiáng)化ABCABC111的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且ABAC2，BAC90，AA42，則該球11．直三棱柱的表面積為（A．40）C．10D．8B．32【答案】APABCABAC22，BAC120，中，PBPC26，PA25，則該三棱錐的外2．在三棱錐接球的表面積為（）A．40B．20C．80D．60【答案】A中，BC2AB2AC22ABACcosBAC24，即BC26，又PBPC26，BAC【解析】在PBC為等邊三角形∴根據(jù)題意，有如下示意圖：O的外接圓的圓心為OA，BCOAH，連接PH.11ABC，連接OC，1如圖，設(shè)111由題意可得AHBC，且AHOA2，BHBC6.221∴由上知：PHBC且PH(26)26232，又PH2AH2PA2，∴PHAH，由AHBCH，PH平面ABC.OO，OP，OC過(guò)O作ODPH，垂足為D，則外接球的半徑R滿1設(shè)O為三棱錐PABC外接球的球心，連接2，COAB22，ODOHAH2，代入解得足R2OO2COPHOO(OD)2211111OO2，即有R210，1∴三棱錐PABC外接球的表面積為4R240.故選：A.203．已知四棱錐ABCDE中，AB平面BCDE，底面BCDE是邊長(zhǎng)為2的正方形，且AB3，則該四棱錐外接球的表面積為（A．4）17B．4C．17D．8【答案】C【解析】由題意，四棱錐ABCDE中，四邊形BCDE是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB3且AB平面，可把四棱錐ABCDEBCDE放置在如圖所示的一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3，則四棱錐ABCDE的外接球和長(zhǎng)17方體的外接球表示同一個(gè)球，設(shè)四棱錐ABCDE的外接球的半徑為，可得R2222322R，解得R2，所以該四棱錐外接球的表面積為S=4R=4(217)2172.故選：C.4．已知點(diǎn)P，A，B，C在同一個(gè)球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=5，BC=32，PC=，則該球的表面積為（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【解析】如圖，三棱錐PABC補(bǔ)體在長(zhǎng)方體中，三棱錐的外接球就是補(bǔ)體后長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的外接球的直徑PAABABACPAACPB2BC2PC26，222222222RPAABAC2226.即R，則該球的表面積S4R262故選：A215．四面體ABCD中，AB底面BCD，ABBD2，CBCD1，則四面體ABCD的外接球表面積為A．3B．4C．6D．12【答案】B【解析】如圖，在四面體ABCD中，AB底面BCD，ABBD2，CBCD1，可得BCD90，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1，1，2，2121222，則三棱錐ABCD則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為的外接球的半徑為1．其表面積為414．故選：B．26．平行四邊形ABCD中，ABBD，且2AB2BD24，沿BD將四邊形折起成平面ABD平面BDC，則三棱錐ABCD外接球的表面積為（）A．2B．2C．4D．16【答案】C【解析】由題意，平面ABD平面可得AB平面BDC，又因?yàn)槠矫鍭BD平面BDCBD，ABì平面ABD，ABBD，BDCABCD為平行四邊形，所以AB//CD，同理CD平面ABD，所以ABC、，因?yàn)樗倪呅?BO、DO，則AOBOCODOACRACD均為Rt，設(shè)ACO中點(diǎn)為，連R，其中為三棱錐2ABCD外接球半徑，則AC2AB2BC2AB2AD2AB2AB2BD22AB2BD24，AC2，1則RAC1，故三棱錐ABCD外接球的表面積為4.故選：C.2227．張衡(78年~139年)是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家?文學(xué)家?數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出A結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B，若線段AB的最小值為31，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為（）A．30B．1010C．1210D．36【答案】Car，正方體的外接球半徑滿足：22a22a【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的內(nèi)切球半徑為RRa2，2233則Ra.由題意知：Rra31，則a2，R3，該正方體的外接球的表面積為12π，a222π52168又因?yàn)閳A周率的平方除以十六等于八分之五，即故選：C.，所以π10，所以外接球的表面積為1210.ABCABCO的頂點(diǎn)都在球上，且AB4，AA6，ACB30，則此直三棱柱的外接18．已知直三棱柱111O球的表面積是（）500πB．50πC．100πD．3A．25π【答案】CO為ABC外接圓的圓心，因?yàn)锳CB30，【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)所以AOB60，又OAOBr，所以△AOB是等邊三角形，ABCABCO的頂點(diǎn)都在球上，所以rOAOBAB4，又直三棱柱111AA2Rr所以外接球的半徑為215，所以直三棱柱的外接球的表面積是OS4R2100，2故選：CABCABC(側(cè)棱AA底面ABC，底面△ABC1AB與底面ABC是正三角形)內(nèi)接于球，O9．已知三棱柱1111111111111ABCABC的體積是23cm17π3，則球的表面積是（O所成的角是45°.若正三棱柱）1128π56πcm14πcm22cm2cm2A．B．C．D．3333【答案】A2310．在四棱錐PABCD中，BC//AD，ADAB，AB23，AD6，BC4，PAPBPD43，則三棱錐PBCD外接球的表面積為（）A．60B．40C．100D．80【答案】DOE【解析】如圖，取AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)、，連接1CEBD、OC、1，設(shè)BDOCH，連接PH、AH.11則AOAD2，ODBC4，又QBC//AD，BC//OD，3111BCDOOCBDHH為BD，1為平行四邊形，的中點(diǎn)，所以，四邊形111所以，AHBHDHBD123623，222由勾股定理可得OBAO2AB222234，則OBOD，1111AB3，AOB3，1RtOAB△中，tanAOB在AO1113，又QBC//AD，CBO1BCODOB，則△OBC為等邊三角形，111OCOBOD4，則O是BCD1的外接圓的圓心.111因?yàn)镻APBPD43，H為BD的中點(diǎn)，PHBD，2，PAPB，AHBH，PHPH，△PAH△PBH，PHAPHBPHAH，又PHBD，AHBDH，PH平面ABCD，22且PHPA2AH243236.OO、OP、OD，過(guò)O作OFPH，垂足為F，1O設(shè)為三棱錐PBCD外接球的球心，連接6OOOH2，ROO42222R則外接球的半徑滿足111x166x4，解得x2，設(shè)OOx，則122從而R2x24220，故三棱錐PBCD外接球的表面積為4R80.2故選：D.2411．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）D．32A．10B．20C．24【答案】C12．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹ABCABCABC是以AB為斜邊的直角三角形且AB5，AC3，為一個(gè)“塹堵”，底面堵”．如圖，三棱柱111BB上，且PCPC，當(dāng)APC的面積取最小值時(shí)，三棱錐PABC的外接球表面積為（）點(diǎn)P在棱11145π455πA．2B．C．30πD．45π2【答案】DABC為直角三角形，故BCAB2AC24，【解析】由“塹堵”的定義可知，易知ACPC，又PCPC，PCPCP，111PC平面1APC，而AP平面APC，于是得APPC．設(shè)BBz，BPt，則BPzt，1所以11則APAB2BP225t2，PCBC2BP216zt2，1ACAC2CC29z2，1121116zt2，整理得t由APPC，得9z225t216z1，1121APPC211625t241t4001621622所以PC16zt162，所以S△APC122x2t2t121002412t18，t222400t2APC的面積取得最小值18．此時(shí)AP2522535．，即t25時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)t21設(shè)三棱錐PABC的外接球半徑為，R因?yàn)锳CCP，ABBP，故線段AP為外接球的直徑，45故所求外接球的表面積S4π45π．4故選：D．25ABCABC11的體積為54，AB6，記三棱柱ABCABC1O1O，則外接球的1的外接球?yàn)榍?3．已知正三棱柱111表面積是__________．【答案】60π1的底面積S6sin6093，2ABCABC11【解析】因?yàn)檎庵?16底面外接圓半徑r2sin6023，VhABCABC11的高S23所以正三棱柱，1h2O1Rr15，則S4πR60π，2的半徑所以外接球22故答案為：60π．14．在三棱錐PABC中，側(cè)棱PA底面AB,CBAC120,ABAC1且PA2BC,則該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)_________．32【答案】3【解析】ABC中，由余弦定理可知：BCAB2AC22ABBCcosBAC11211cos1203,在因?yàn)锽AC120,ABAC1，所以ABC是頂角為鈍角的等腰三角形，BC3ABC的外接圓的直徑為AD，由正弦定理可知：ADsinBACsin1202，設(shè)ABCPA2BC23，所以三棱錐PABC的外接球的直徑為PD，，因?yàn)閭?cè)棱PA底面由勾股定理可知：PDAD2PA222(23)24，1R42，所以三棱錐PABC的外接球的半徑為：24432.RV23所以三棱錐PABC的外接球的體積為：3333323故答案為：26，AB3，BCBD2，則三棱錐15．如圖所示，在三棱錐BACD中，ABCABDDBC3BACD的外接球的表面積為_(kāi)_____.192【答案】AC29412cos7AB,CCB,DDBA中，根據(jù)余弦定理有：，【解析】由題意知：在3CD2448cos4DA24912cos7，∴3CAD中有ACDA7,CD2，，3CBD為等邊三角形，若E為CD中點(diǎn)，連接BE,AE，可得BE3,AE6，而AB3，則在△AEB中即有AB2BE2AE2，BE∴BE⊥AE，又BECD且AECDE，即ACD，又由BE面CBD知：面面CBDACD，面∴三棱錐BACD的外接球球心：在△AEB中，過(guò)BE三等份點(diǎn)E作BE的垂線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)即為33，則：EEO球心，所以令外接球半徑為R，198，所以由球的表面積1919，故答案為：.4R2(6R21)2，解得R23S4R22232716．鱉臑（biēnào）出自《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國(guó)對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐ABCD是一個(gè)鱉臑，其中ABBC，ABBD，BCCD，且ABBCDC4，過(guò)點(diǎn)向BACEECD的平行線，交AD于引垂線，垂足為，過(guò)作S點(diǎn)F，連接BF．設(shè)三棱錐ABCD的外接球的表面積為，三棱錐ABEF的外接球的表面積為S，則21S1S________．212【答案】5．【解析】ABBC，ABBD，BCBDB，則AB平面BCDCD，平面BCD，∴ABCD，又CDBC，BCIABB，∴CD平面ACB，BE,AC平面ACB，∴CDAC，CDBE．又CD//EF，∴EFBE，ACEF，又BEAC，可補(bǔ)形成以EA,EF,EB為棱的一個(gè)長(zhǎng)方體，其外接球的直徑的平方等于EA,EF,EB的平方和，∴三棱錐EABF而由ABBD,ACDC，則AD是三棱錐ABCD外接球的直徑．∵ABBCDC4，∴AC42，EF2，EB22，EA=22，BD42，AD4(42)43，22∴EA2EB2EF220，202S420，AD248484，S414222S48121∴S205．212故答案為：5．2817．若體積為8的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在一球面上，則該球的體積為_(kāi)_____.【答案】43π【解析】因?yàn)檎襟w的體積為8，故棱長(zhǎng)為2，因此正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為23，34343，故正方體外接球的直徑為23，所以半徑為3，故球的體積為3故答案為：43.ABCABC11118．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個(gè)“塹堵”，其中ABBB2，BC1，AC5，則這個(gè)“塹堵”的外接球的表面積為_(kāi)_______.1【答案】9【解析】因?yàn)锳B2,BC1,AC5，所以AB2BC2AC2，所以ABBC，ABCABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖：111所以可將三棱柱32.R則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于這個(gè)“塹堵”的外接球的直徑2R，所以2R2222113，所以3所以外接球的表面積為4R24()29.2故答案為：929ABCDABCD中，ABCC2，BC1，點(diǎn)M在正方形CDDC內(nèi)，CM平面ACM，11111119．在長(zhǎng)方體111則三棱錐MACC的外接球表面積為_(kāi)_____.11【答案】11【解析】如圖所示：CM平面1ACM，連接CD，又CDDC為正方形，點(diǎn)M為正方形CDDC對(duì)角線的交點(diǎn)，111111則△MCC是等腰直角三角形，M是直角頂點(diǎn)，設(shè)是△MCC1BBF的外心，取是中點(diǎn)，ECC1E中點(diǎn)，則是11DCCD1DCCD1MACCO的外接球的球心在直線EF1則EF//BC，而BC⊥平面，EF平面，三棱錐1112226,AF210FC，22上，由已知可計(jì)算，F(xiàn)C12