《正弦定理(1)》示范課教案【高中數(shù)學】

正弦定理(1)教學目標教學目標1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系；2.掌握正弦定理及其證明方法，并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個數(shù)問題．教學重難點教學重難點重點：正弦定理的證明及其簡單應用．難點：正弦定理的推導過程，用正弦定理解三角形時的多解問題．教學過程教學過程新課導入回顧：前面，我們定量的探究了三角形邊和角的關(guān)系，得到了余弦定理，我們是用什么方法探究的？答案：用向量方法探究的．如圖在△ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b則：BC=BA+即，a2這節(jié)課我們繼續(xù)探索三角形的邊角關(guān)系．設計意圖：回憶用向量法推導余弦定理的過程，鞏固所學知識，并為新課學習做準備．二、新知探究問題1：在△ABC中，我們通過對等式BC探究：在△ABC中，不妨設C為最大角，過點A作AD⊥BC于點D，AC與AD的夾角為α∵BC=∴BC即，0=BA追問：α與C的度數(shù)有什么關(guān)系？答案：當C為銳角時，α=90°?C當C為直角時，α=0°=90°?C當C為鈍角時，α=C追問：根據(jù)α與C度數(shù)之間的關(guān)系，cosα該如何轉(zhuǎn)化答案：當C為銳角或直角時，cosα當C為鈍角時，cosα即，無論C為銳角、直角或鈍角，都有cosα于是我們把cosα=sin?csin即bsin同理可得asin所以asin綜上可得，在任意三角形中，三角形的各邊與它所對角的正弦的比相等，這就是三角形中的正弦定理．即，asin問題2：你能用其他方法證明正弦定理嗎？分析：根據(jù)△ABC的形狀分類討論．若△ABC為直角三角形，即∠根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有sinA=ac，sinB所以在直角三角形中，邊角等式關(guān)系為asin追問1：剛才在直角三角形中已經(jīng)證明了asinA=b答案：推導步驟如下：第一步：如圖作任意銳角△ABC，過點A作CD⊥AB，則構(gòu)造出兩個直角三角形第二步：由圖可得，在△ABC中，sin在△ADC中，sinC=ADb第三步：同理作AC邊上的高，可以得出asin所以，在銳角三角形中，邊角等式關(guān)系也為asin追問2：若三角形是鈍角三角形，等式仍然成立嗎？答案：推導步驟如下：第一步：如圖，作任意鈍角△ABC，∠C為鈍角，過點B作AC的垂線，交AC的延長線于點第二步：由圖可得，在△ADB中，sin在△CDB中，sin∠BCD=BDa又sinC=sin所以asin第三步：同理作BC邊上的高，可以得出bsin所以，在鈍角三角形中，邊角等式關(guān)系同樣滿足asin說一說：對比以上兩種證明正弦定理的方法，哪一種更好些，為什么呢？答案：使用向量法證明正弦定理不用分類討論，證明過程相對簡潔．問題3：正弦定理可以解哪些類型的三角形？答案：根據(jù)asinA（1）已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．追問1：已知兩條邊的邊長和其中一邊的對角的大小解三角形，它的解有幾種情況？答案：已知a，b和∠A第一步：babababaa僅有一個解有兩個解僅有一個解無解解ababababaa僅有一個解有兩個解僅有一個解無解解a≥bCH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinAAACHACB1ABACB2CHHH第二步：當A為直角或鈍角時，同理可得當a≤b時，無解；當綜上可得：（1）若A為銳角時，a<（2）若A為直角或鈍角時，a≤想一想：前面的3個問題推導出了什么結(jié)果？（1）正弦定理的探索和證明；（2）正弦定理在解三角形中的作用．總結(jié)：正弦定理：三角形中的各邊與它所對角的正弦的比相等，即asin設計意圖：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作.培養(yǎng)學生處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、三角形面積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．【概念鞏固】思考:判斷正誤并說明理由？（1）正弦定理只適用于銳角三角形．（）（2）在某一確定的三角形中，各邊與它所對的角的正弦的比值是一定值．（）（3）在△ABC中，∠A（4）在△ABC中，已知A=30°，a=80，分析：判斷上述問題的正誤需要熟練掌握余弦定理的公式和應用，并且運用到實際問題中．答案:（1）錯誤，正弦定理適用于任意三角形；（2）正確，根據(jù)正弦定理可知，當三角形確定時，則各邊與其所對的角的正弦的比值是定值；（3）錯誤；根據(jù)正弦定理可知，sinAsinB（4）正確．因為bsinA三、應用舉例例1如圖，在△ABC中，A=30°，C=100°，a=10，求b，c解：∵A=30°，C=100°，∵asin∴b=ac=a因此，b，c的長分別為15.32和19.70．例2根據(jù)下列條件解三角形（邊長精確到0.01，角度精確到0.1°）：（1）a=16，b（2）a=30，b解：（1）由正弦定理，得sinB∴B1≈54.3°∵B2+A=125.7°+30°=155.7°<180°．∴B2也符合要求，從而當B1=54.3°時c1當B2=125.7°時c2（2）由正弦定理，得sinB∴B1=25.7°∵B2+A=154.3°+30°=184.3°>180°．∴B2C=180°?c=例3求證:如圖（1）,以Rt△ABC斜邊AB為直徑作外接圓,設這個外接圓的半徑為R,則分析：利用圓心角和圓周角的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)進行證明.證明：在Rt△ABC中，C=90°又asinA=所以asin追問1：對于鈍角三角形（2），銳角三角形（3），上述結(jié)論還成立嗎？證明：如圖（2）、（3），作△ABC的外接圓，O為圓心，連結(jié)AO并延長交圓于B'，設AB'=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到∠ACB'=90°同理，可得asinA=2R所以asin這就是說，在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比等于其外接圓的直徑．設計意圖：通過例題的講解，讓學生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.四、課堂練習1．在△ABC中，已知a=22，A=30°，BA.2+23B.C.2?23D.2．在△ABC中,a=x，b=2，B=45°，若△A.x>2B.0<x<2C.2<x<22D.3．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A=60°，a=3，b=A.1B.2C.3?14．在△ABC中，a=23，c=6，A參考答案：1．C=因為asinA=bsin故選A．2．因為△ABC有兩解，所以asinB<b<a，即x故選C．3．由正弦定理asinA=即sinB=12，故由a>b，得∠C>∠B，所以∠故選B．4．解：因為asinA=c由csinA<a<c，可得C=當C=60°時，B=當C=120°時，B=五、課堂小結(jié)1.在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴格的演繹推理.在定理證明中我們從直觀幾何角度探求