高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第五章數(shù)列第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四1．理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[要點(diǎn)梳理]1．等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d.第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋_________，(n，m∈N＋)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，則_______________.(n－m)dak＋al＝am＋第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為___.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為___的等差數(shù)列．2dmd第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四7．等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最______值；若a1<0，d>0，則Sn存在最___值．質(zhì)疑探究：等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)分別用了什么方法？提示：前者用的是疊加法，后者用的是倒序相加法．大小第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[基礎(chǔ)自測]1．給出下列命題：①若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四⑤等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．其中正確的命題是(

)A．①②

B．②③C．③④

D．④⑤[解析]

①錯誤．若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，這個數(shù)列就不是等差數(shù)列．②正確．如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，根據(jù)定義an＋2－an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝an＋an＋2；反之，若對任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2，則an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列．第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四③正確．當(dāng)d>0時(shí)為遞增數(shù)列；d＝0時(shí)為常數(shù)列；d<0時(shí)為遞減數(shù)列．④錯誤．根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，只有當(dāng)d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才是n的一次函數(shù)，否則不是．第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[答案]

B第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四2．(2015·海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，則a1a6的值為(

)A．14 B．18C．2 D．27[答案]

A第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四3．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于(

)A．58 B．88C．143 D．176[答案]

B第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________.[答案]

3第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四考向一等差數(shù)列基本量的計(jì)算例1

(1)(2013·安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(

)A．－6

B．－4

C．－2

D．2第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四(2)(2015·石家莊市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，則n的值為(

)A．8 B．9C．10 D．11思路點(diǎn)撥在等差數(shù)列{an}的an，Sn，a1，d，n的五個量中，知其三，求其二．第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四互動探究本例(1)中，已知條件不變，則Sn＝________.[答案]

－n2＋11n第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四拓展提高①此類問題的通法是把條件轉(zhuǎn)化為a1與d的方程(組)，進(jìn)而可求其它問題．②結(jié)合性質(zhì)求解，可簡化計(jì)算．活學(xué)活用1

(1)(2015·荊州市調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，且S10＝60，則S20＝(

)A．80 B．160C．320 D．640第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[答案]

C第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四(2)(2015·鄭州市質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和等于前2項(xiàng)和，若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.[答案]

6第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四思路點(diǎn)撥由題設(shè)條件構(gòu)造(an＋1－an)－(an－an－1)的值，并累加求和．第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四拓展提高等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．提醒：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷.

第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四考向三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3

(1)(2014·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝(

)A．5 B．8C．10 D．14(2)(2015·武漢市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大的n是(

)A．18 B．19C．20 D．21第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[解析]

(1)由題意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.故選B.(2)a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，則{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n＝20.第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四(3)命題判斷過程結(jié)論p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列由an＋1－an＝d>0，知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.真命題p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列由(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)(a1＋nd)－n[a1＋(n－1)d]＝a1＋2nd，僅由d>0是無法判斷a1＋2nd的正負(fù)的，因而不能判定(n＋1)an＋1，nan的大小關(guān)系.假命題第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[答案]

(1)B

(2)C

(3)D

(4)5第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四拓展提高利用等差數(shù)列性質(zhì)的常見題型與求解策略：第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四思想方法12函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值中的應(yīng)用典例在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值．審題視角由a1＝20及S10＝S15可求得d，進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解．第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四方法點(diǎn)睛求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；②利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四即時(shí)突破已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝20，公差d＝－2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為________．第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[答案]

110第45頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四[思維升華]【方法與技巧】1．等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an＋