第四節(jié)有理函數(shù)的積分

第四節(jié)有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡單無理函數(shù)的積分四、小結(jié)思考題1.【有理函數(shù)】兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分2.【真分式與假分式】

假定分子與分母之間沒有公因式稱這有理函數(shù)是真分式；3.【假分式分解】利用多項式除法,假分式可以化成一【例】【難點】將有理函數(shù)化為部分分式之和.稱這有理函數(shù)是假分式。個多項式和一個真分式之和.①分母中若有因式，則分解后為4.【有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律】【特殊地】分解后為②分母中若有因式，其中，則分解后為特殊地：分解后為5.【待定系數(shù)法】真分式化為部分分式之和的方法對未知的因子用假定的字母表示，然后運用恒等關系來求出假設字母近而確定未知的因子。①分子為單字母因子【方法1】恒等式法(比較系數(shù)法)并將A、B值代入(1)代入特殊值(賦值)來確定系數(shù)取取取【方法2】特殊值法(賦值法)整理得②分子含兩個字母二項因子教材【例1】【解Ⅰ】6.【有理真分式的積分】【另解Ⅱ】【例3】求積分【解】【例2】求積分【解】教材【例2】求積分【解】由于分母是二次質(zhì)因式，而分子是一次式，含有x項，而xdx能湊成，所以首先用湊微分法.【分析】【注】教材例1也可以用上述方法.【例4】求積分【解】令指數(shù)代換⑴.【三角有理式的定義】由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．二、可化為有理函數(shù)的積分舉例令（萬能置換公式）一般記為1、三角有理式的積分⑵.【三角函數(shù)有理式的積分】【方法】作代換化為有理函數(shù)積分【例5】求積分【解】由萬能置換公式【例6】

求積分【解】Ⅰ【解】Ⅱ修改萬能置換公式,令【解】Ⅲ可以不用萬能置換公式，用湊微分法【總結(jié)】比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.【例7】求積分【解】“1”的妙用⑴【討論類型】⑵【解決方法】作代換去掉根號.化為有理函數(shù)的積分.【例10】求積分【解】令2.簡單無理函數(shù)的積分【例11】求積分【解】令【說明】2.若被積函數(shù)含有簡單根式或時，可以令或這樣的變換具有反函數(shù)，且反函數(shù)是u的有理函數(shù)，因此原積分可化為有理函數(shù)的積分.1.無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).【例12】

求積分【解】先對分母進行有理化原式該題先有理化,再湊微分，避免了變量代換化為有理式的積分所帶來的麻煩.簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不